13截一个几何体(备作业)2021-2022学年七年级数学上册（北师大版）

1.3截一个几何体一、单选题1．用一个平面去截正方体，截面形状不可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．据此选择即可．解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形．因此不可能是八边形．故选：B．【点睛】本题考查正方体的应用，熟练掌握正方体的性质是解题关键．2．用一个平面分别截下列几何体，不能得到三角形截面的几何体是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】看所给选项的截面能否得到三角形即可．解：A、长方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；B、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；C、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；D、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查常见几何体的截面的形状，注意长方体的截面经过几个面就可得到几边形．3．用一个平面去截下列几何体，截得的平面图形可能是三角形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解析】根据三棱柱、圆锥、圆柱、长方体的形状特点判断即可．解：用一个平面截下列几何体，截面的形状可能是三角形的是三棱柱、圆锥和长方体．故选：D．【点睛】此题考查的知识点是截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．4．用一平面去截下列几何体，其截面可能是长方形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】根据圆柱，长方体、圆锥、圆柱、四棱柱、圆台的形状判断即可．【详解】解：圆锥、圆台不可能得到长方形截面，能得到长方形截面的几何体有：圆柱、长方体、四棱柱一共有3个．故选：C．【点睛】本题考查几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线，注意：截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．5．一个物体的外形是长方体（如图（1）），其内部构造不祥．用平面横向自上而下截这个物体时，得到了一组截面，截面形状如图（2）所示，这个长方体的内部构造是（）A．圆柱 B．球 C．圆锥 D．圆柱或球【答案】C【解析】观察截面形状可发现，长方体内部的圆自上而下由大圆逐渐变成小圆、点，符合圆锥截面的性质．【详解】解：观察截面形状可知，这个长方体的内部构造是长方体中间有一圆锥状空洞，故选：C．【点睛】本题考查了截一个几何体，解答的关键是熟悉常见的几何体的截面，由截面的形状想象复杂几何体的组成．6．用一个平面去截：①圆锥；②正方体；③圆柱；④五棱柱，能得到截面是三角形的几何体是（）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】根据题意及圆锥、正方体、圆柱、五棱柱可直接进行排除选项．【详解】①圆锥沿轴截面截掉可得截面是三角形，故能得到截面是三角形；②正方体裁掉一个角可得截面是三角形，故能得到截面是三角形；③圆柱的截面只能是圆、长方体、椭圆，不能得到三角形的截面；④五棱柱过顶点和两个棱作截面为三角形，故能得到截面是三角形，综上，能得到截面是三角形的几何体为：①圆锥，②正方体，④五棱柱，故选：C．【点睛】本题主要考查几何初步认识，熟练掌握几何体的平面展开图是解题的关键．7．用平面截一个正方体，可能截出的边数最多的多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】B【解析】正方体的截面，最多可以经过6个面，进而得出结论．【详解】正方体有六个面，截面与其六个面相交最多为六边形，即可能截出的边数最多的多边形是六边形，故选B．【点睛】本题考查正方体的截面，分析截面的边数时，主要是看截线可能经过几个面，即是几边形．8．如图，将正方体沿面ABC截下，则截面的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】根据正方体的6个面大小相等，形状相同解答即可．【详解】解：∵方体的6个面大小相等，形状相同，∴，∴截面的形状为等边三角形．故选A．【点睛】本题考查了截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．9．如图①是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，类比梯形面积公式的推导方法(如图②)，推导图①中的几何体的体积为()A．60π B．63π C．72π D．84π【答案】B【解析】由图形可知：上部分是一个半圆柱底面直径是6，高为86=2，；下部分是一个高为6，底面直径是6的圆柱，根据圆柱的体积公式：v=sh，把数据代入公式解答即可.【详解】解：π（）2×（86）×+π（）2×6，=9π+54π=63π．故选：B.【点睛】此题考查组合图形的体积，首先分析图形是由几部分组成，然后根据相应的体积公式解答即可.10．用一个平面去截正方体，所得截面是三角形，留下较大的几何体一定有（）A．7个面 B．15条棱 C．7个顶点 D．10个顶点【答案】A【解析】【解析】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点．【详解】用一个平面截正方体，若所得的截面是一个三角形，此时剩下的较大的几何体一定比正方体多了一个面，如果过三个面截得的截面是三角形，那么就能多出3条棱和两个顶点，如果过3个顶点截得的截面是三角形，那么就能多出0条棱和两个顶点.故选：A.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握立体图形.11．下面说法，错误的是（）A．一个平面截一个球，得到的截面一定是圆B．一个平面截一个正方体，得到的截面可以是五边形C．棱柱的截面不可能是圆D．甲、乙两图中，只有乙才能折成正方体【答案】D【解析】选项A,B,C均正确，D选项中，甲乙都可以折成正方体.所以选D.12．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是（）A．7个或8个 B．8个或9个C．7个或8个或9个 D．7个或8个或9个或10个【答案】D【解析】如下图，一个正方体锯掉一个角，存在以下四种不同的情形，新的几何体的顶点个数分别为：7个、8个、9个或10个.故选D.二、填空题13．用一个平面去截一个几何体，截面形状为长方形，则这个几何体可能为：①正方体；②三棱锥；③圆柱；④圆锥__________（写出所有正确结果的序号）．【答案】①③【解析】估计正方体、三棱锥、圆柱、圆锥的几何体形状逐项分析解题．【详解】解：①用一个平面去截正方体，截面形状可能是长方形，故①符合题意；②用一个平面去截三棱锥，截面形状不可能是长方形，故②不符合题意；③用一个平面去截圆柱，截面形状可能是长方形，故③符合题意；④用一个平面去截圆锥，截面形状不可能是长方形，故④不符合题意，故正确结果的序号为：①③，故答案为：①③．【点睛】本题考查用一个平面去截一个简单几何体所得到的平面图形，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．如图所示，截去正方体的一角变成一个多面体，这个多面体有____条棱，有____个顶点．【答案】127【解析】截去正方体一角变成一个多面体，这个多面体多了一个面、棱不变，少了一个顶点．【详解】仔细观察图形，正确地数出多面体的棱数及顶点数，它们分别是12，7，故填：12，7．【点睛】本题结合截面考查多面体的相关知识．对于一个多面体：顶点数＋面数−棱数＝2．15．如图，所示的正方体竖直截取了一个“角”，被截取的那个“角”的体积是______．【答案】15cm3【解析】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．【详解】解：根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，

三棱柱的体积=×2×3×5=15（cm3）．【点睛】本题主要考查了直三棱柱体积的计算，判断出被截取的几何体的形状是解题的关键．16．用平面去截正方体，截面最多是______边形，去截n棱柱，截面最多是________边形．【答案】六n+2【解析】长方体有六个面，用平面去截长方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形；n棱柱有n+2个面截面最多是n+2边形．【详解】解：正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形；n棱柱有n+2个面，截面最多是n+2边形．故答案为：六；n+2．【点睛】此题考查用平面截几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．17．下列几何体的截面是____．【答案】长方形．【解析】根据截面的形状，进行判断即可．【详解】解：根据题意，截面的形状是长方形，故答案是：长方形．【点睛】考察截一个几何体截面的形状，读懂题意，熟悉相关性质是解题的关键．18．如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置时，水面的形状是______．【答案】长方形【解析】根据垂直于圆柱底面的截面是长方形，可得答案．【详解】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得

水面的形状是长方形．

故答案为：长方形．【点睛】本题考查了认识立体图形，垂直于圆柱底面的截面是长方形，平行圆柱底面的截面是圆形．19．对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有________个顶点、_______条棱、_______个面．【答案】7127【解析】根据截一个立体图形的知识点判断即可；【详解】根据图形可得截去一角后余下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面．故答案是：7，12，7．【点睛】本题主要考查了截一个立体图形的知识点，准确计算是解题的关键．20．一块长方体的木块，从左面和右面分别裁去长为2厘米和5厘米的长方体，成为一个正方体后，表面积减少了84平方厘米，那么原来长方体的体积为_______．【答案】90立方厘米【解析】设正方体棱长为厘米，根据题意列方程可求得x的值，进而得到原长方体的长、宽、高的值，再计算体积即可.【详解】设正方体棱长为厘米，依题意得，解得，则原长方体的宽为3厘米，高为3厘米，长为厘米，则立方厘米．【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式．三、解答题21．例：（1）写出下列立体图形的名称．（）（）（）（）（）（2）把一个正方体用刀切去一部分，能否得到正方体、长方体、三棱锥、三棱柱、四棱柱、五棱柱？【答案】（1）球体，四棱锥，六棱柱，三棱柱，圆柱;（2）能得到长方体、三棱锥、三棱柱、四棱柱、五棱柱；得不到正方体【解析】试题分析：（1）第一个为球体；第二个有一个且底面是四边形，侧面均为三角形，所以是四棱锥；第三个有两个底面是六边形，是六棱柱；第四个有两个底面是三角形，侧面是平行四边形，所以是三棱柱；最后一个是圆柱．（2）一个正方体用刀切去一部分是不能得到正方体的，可以得到三棱锥、三棱柱、四棱柱、五棱柱，长方体．如图所示，22．把一个正方体用刀切去一块，能否还得到正方体？长方体、三棱柱、三棱锥、四棱柱、五棱柱呢？【答案】正方体不能.其它都可能.【解析】试题分析：如图所示：为几种切法。分别可以得到四棱柱，三棱柱，三棱锥，五棱柱，长方体。解：不能得到正方体，当截面平行正方体一面截取正方形时可以截得长方体，

把正方体按面对角线垂直截取正方体可以得到三棱柱，

经过正方体三个相邻的顶点截取可以得到三棱锥，

经过两个相对面棱上中点截取可以得到四棱柱，

经过上下两面棱的中截取可以得到五棱柱．23．(1)用一个平面去截一个几何体，可以得到圆形的截面的几何体有？(2)用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有？【答案】（1）球，圆柱，圆锥；（2）三棱柱，三棱锥，正方体.【解析】（1）根据截面是圆，可得几何体是旋转体，根据旋转得到的几何体，可得答案；（2）根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形．【详解】(1)用一个平面去截一个几何体，可以得到圆形的截面的几何体有球，圆柱，圆锥；(2)用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有三棱柱，三棱锥，正方体，故答案为：（1）球，圆柱，圆锥；（2）三棱柱，三棱锥，正方体.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握图形的形状结构.24．如图所示是一个圆柱体，它的底面半径为3cm，高为6cm．（1）请求出该圆柱体的表面积；（2）用一个平面去截该圆柱体，你能截出截面最大的长方形吗？截得的长方形面积的最大值为多少？【答案】（1）；（2）能截出截面最大的长方形，长方形面积的最大值为：【解析】（1）用圆柱上下底面积加上侧面积即可；（2）当截得的面积最大时，长方形的长为底面直径，宽为6，可得面积最大值.【详解】解：（1）圆柱体的表面积为：；；（2）能截出截面最大的长方形．该长方形面积的最大值为：．【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法和截几何体，根据截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，得出这个圆柱体的截面面积最大是长方形是本题的关键．25．用平面去截正方体.（1）截面形状能是三角形吗？如果能，请画出一种截法.（2）截面形状能是长方形吗？如果能，请画出一种截法.（3）截面形状能是梯形吗？如果能，请画出一种截法.（4）截面形状能是五边形吗？如果能，请画出一种截法.（5）截面形状能是六边形吗？如果能，请画出一种截法.（6）截面形状能是圆吗？为什么？【答案】（1）能，见解析；（2）能，见解析；（3）能，见解析；（4）能，见解析；（5）能，见解析；（6）不能，见解析.【解析】画出一个正方体，自己试着用平面去截，找出截面为三角形的情况，画出即可，（2）（3）（4），参照（1）的解答，分别画出对应的几何体【详解】解：（1）能，如图1所示.（2）能，如图2所示.（3）能，如图3所示.（4）能，如图4所示.（5）能，如图5所示.图1图2图3图4图5（6）不能，因为正方体的各面都是平面，所以截正方体时，得到的交线都是直线，而圆是曲线围成的，所以截面形状不能是圆.【点睛】此题考查截一个几何体，解题关键在于掌握截面的形状既与被截的几何体有关.26．如图所示的是一个三棱柱，用一个平面先后三次截这个三棱柱．截得的截面能否是三个与该三棱柱的底面大小相同的三角形？若能，画图说明你的截法．截得的截面能否是三个长相等的长方形？若能，画图说明你的截法；截得的截面能否是梯形？若能．画图说明你的一种截法．【答案】（1）能，图示见解析；（2）能，图示见解析；（3）能，图示见解析.【解析】【解析】（1）截面与地面平行时，截面的形状与地面相同；

（2）用垂直于地面的平面截几何体得到的截面可以是三个长相等的长方形；

（3）用一个斜面截掉棱柱的一条棱得到的平面是梯形．【详解】能；如图①所示；能；如图②所示；能；如图③所示．【点睛】考查截一得到的截面几何体，解决本题的关键是理解截面经过三棱柱的几个面，得到的截面形状就是几边形.27．如图①是一个正方体，不考虑边长的大小，它的平面展开图为图②，四边形APQC是截正方体的一个截面．问截面的四条线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的什么位置上？【答案】线段AC，CQ，QP，PA分别在展开图的面ABCD，BCGF，EFGH，EFBA上.【解析】【解析】把立体图形表面的线条画在平面展开图上，找到四边形APQC四个顶点所在的位置这个关，再进一步确定四边形的四条边所在的平面即可．【详解】根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A−A，C−C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．如图：【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．28．如图，用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：(1)截面一定是什么图形？(2)剩下的几何体可能有几个顶点？【答案】(1)三角形；(2)剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点.【解析】【解析】（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一