高考数学一轮复习专练61圆锥曲线中的定值问题

六十一圆锥曲线中的定值问题(时间:45分钟分值:60分)1.(10分)(2024·咸阳模拟)已知点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,纵坐标为2的点N在C上,以F为圆心、NF为半径的圆交y轴于D,E,|DE|=23.(1)求抛物线C的方程;(2)过(1,0)作直线l与抛物线C交于A,B,求kNA+kNB的值.【解析】(1)由题知,N点的横坐标为2p所以|NF|=p2+2p,|OF|=所以|NF|2=|DF|2=|OF|2+|DE|22,所以p22+(所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)由(1)知N(1,2),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my1,代入y2=4x,整理得y24my+4=0,所以Δ=(4m)24×4>0,即m2>1,所以y1+y2=4m,y1y2=4,所以kNA+kNB=y1-2x1-1+y2-22.(10分)(2024·郑州模拟)在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ:x2+y2=a2+b2上,称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆C过P(1,22),(1)求椭圆C的方程;(2)过椭圆C的蒙日圆上一点M,作椭圆的一条切线,与蒙日圆交于另一点N,若kOM,kON存在,证明:kOM·kON为定值.【解析】(1)将P(1,22),Q(62,12)代入到x2a可得1a2+24b2=1所以椭圆C的方程为x22+y2(2)由题意可知,蒙日圆方程为x2+y2=3.若直线MN斜率不存在,则直线MN的方程为x=2或x=2.不妨取x=2,易得M(2,1),N(2,1),kOM=12=22,kON=-1所以kOM·kON=12若直线MN斜率存在,设直线MN的方程为y=kx+t.联立y=kx+tx22+y2=1,化简整理得(2据题意有Δ=16k2t24(4k2t24k2+2t22)=0,于是有t2=2k2+1.设M(x1,y1)(x1≠0),N(x2,y2)(x2≠0).y=kx+tx2+y2=3化简整理得(kΔ1=4k2t24(k2+1)(t23)=4(3k2t2+3)=4(3k2+32k21)=4(k2+2)>0,x1+x2=2ktk2+1,x1x则kOM·kON=y1y2x1x2=(kx1+t=k2t2因为t2=2k2+1,所以kOM·kON=2k2+1-3综上可知,kOM·kON为定值123.(10分)(2024·哈尔滨模拟)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±34x,焦距为10,(1)求C的方程;(2)设点P是直线l:x=2上的任意一点,直线PA1,PA2分别交双曲线C于点M,N,A2Q⊥MN,垂足为Q,求证:存在定点R,使得|QR|是定值.【解析】(1)依题意ba=342c=10c2(2)如图:设Q(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN:yy0=x0-4y0即MN:y=x0-4y(记k=x0-4y0,m=(x0-4)x0+y02y0)代入9x216所以x1+x2=32km9-16k2,x又因为直线A1M:y=y1x1直线A2N:y=y2x2-4(x4),联立得:13=y1x1+4⇒(16k2+3)x1x2+4(4km+3)(x1+x2)+16(m2+3)=0⇒(m2+9)(16k2+3)8km(4km+3)+(m2+3)(16k29)=0⇒24km6m2+16×12k2=0,即32k24kmm2=0⇒m=8k或m=4k(舍),所以x0-4y0·8=(所以Q点轨迹为以(6,0)为圆心,2为半径的圆,所以R(6,0),|QR|=2.4.(10分)(2024·宁德模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆F1:(x+2)2+y2=4,F2(2,0),P是圆F1上的一个动点,线段PF2的垂直平分线l与直线PF1交于点M.记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点F2作与x轴不垂直的任意直线交曲线C于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点H,求证:|AB|【解析】(1)如图所示,连接MF2,根据题意,|MP|=|MF2|,则||MF2||MF1||=||MP||MF1||=|PF1|=2<|F1F2|=4,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,设双曲线方程为x2a2y2b2其中2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b2=c2a2=41=3,故所求C的方程为x2y23(2)设直线AB的方程为y=k(x2),A(x1,y1),B(x2,y2),y=k(x-2)x2-y23=1,(3k所以x1+x2=4k2k2-3,x1x2=4k2+3k2-3,则y1+y2=k(x1所以AB中点为Q(2k2k当k=0时,Q(0,0),H(0,0),A(1,0),B(1,0),此时|AB||当k≠0时,则AB的垂直平分线的方程为y6kk2-3=1k(x2k2k2-3),令所以|F2H|=|28k2k又|AB|=1+k2|x1x2|=1+k2·于是得|AB||F综上可得,|AB||5.(10分)(2023·潍坊模拟)已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C的右顶点A在圆O:x2+y2=3上,且(1)求双曲线C的方程;(2)动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,设O为坐标原点.求证:△OMN的面积为定值.【解析】(1)不妨设F1(c,0),F2(c,0),因为A(a,0),从而AF1=(ca,0),AF2故由AF1·AF2=a2又因为a2+b2=c2,所以b=1,又因为A(a,0)在圆O:x2+y2=3上,所以a=3,所以双曲线C的标准方程为x23y2(2)设直线l与x轴交于D点,双曲线的渐近线方程为y=±33x由于动直线l与双曲线C恰有1个公共点,且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,当动直线l的斜率不存在时,l:x=±3,|OD|=3,|MN|=2,S△OMN=12×3×2=3当动直线l的斜率存在时,且斜率k≠±33,不妨设直线l:y=kx+m故由y=kx+m,x23-y2=1消y得(1依题意,13k2≠0且m≠0,Δ=(6mk)24(13k2)(3m23)=0,化简得3k2=m2+1,故由y=kx+my=同理可求,xN=m3所以|MN|=1+k2|xMxN|=又因为原点O到直线l:kxy+m=0的距离d=|m所以S△OMN=12|MN|d=3又因为3k2=m2+1,所以S△OMN=3m2|1-故△OMN的面积是定值,定值为3.6.(10分)(2024·大庆模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=(1)求椭圆C的方程;(2)已知经过定点P(1,1)的直线l与椭圆相交于A,B两点,且与直线y=34x相交于点Q,如果AQ=λAP,QB=μPB,那么λ+μ是否为定值?若是,请求出具体数值;若不是,请说明理由【解析】(1)由题意得b=3ca=12a2=b2+c2(2)当直线l的斜率不存在时,A(1,32B(1,32),Q(1,34),则AQ=(0,94),AP=(0,12),QB=(0,34),PB此时AQ=92AP,QB=310PB,λ+