必修二课后作业第一章　立体几何初步121

平面的基本性质学习目标1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.知识点一平面的概念思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有.水平放置的正方形的直观图梳理(1)平面的概念广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.(2)平面的画法一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.知识点二点、线、面之间的位置关系思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示.梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达位置关系符号表示点P在直线AB上P∈AB点C不在直线AB上C∉AB点M在平面AC上M∈平面AC点A1不在平面AC内A1∉平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB⊂平面AC直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC知识点三平面的基本性质思考1直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在.思考2观察下图，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面.思考3观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.梳理公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A∈α,B∈α))⇒AB⊂α(1)判定直线在平面内；(2)证明点在平面内公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(P∈α,P∈β))⇒α∩β＝l且P∈l(1)判断两个平面是否相交；(2)判定点是否在直线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C确定一个平面α(1)确定一个平面的依据.(2)证明平面重合；(3)证明点、线共面推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面A∉l⇒A和l确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝A⇒a，b确定一个平面α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒a，b确定一个平面α类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.类型二点线共面例2如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，所以α与β重合，所以PQ⊂α.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.解已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面.证明：如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.反思与感悟证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.跟踪训练2已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.类型三点共线、线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图，连结A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上.同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.∴P、Q、R三点共线.方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线.命题角度2线共点问题例4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F，DA三线交于一点.证明如图，连结EF，D1C，A1B.∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF綊eq\f(1,2)A1B.又∵A1B綊D1C，∴EF綊eq\f(1,2)D1C，∴E，F，D1，C四点共面，∴D1F与CE相交，设交点为P.又D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，∴P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点.又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根据公理2，可得P∈DA，即CE、D1F、DA相交于一点.反思与感悟证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.证明如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交.设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.答案A∈l，l⊄α解析∵点A在直线l上，∴A∈l，∵l在平面α外，∴l⊄α.2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.答案无数解析由公理2可得.3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)答案①③④⑤4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.答案1或3解析若三条直线两两相交，且不共点，则只能确定1个平面；若三条直线两两相交，且共点，则可以确定1个或3个平面.5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d共面.证明因为A，B，C三点不共线，所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.因为A∈a，B∈a，所以a⊂α，因为A∈b，C∈b，所以b⊂α，因为B∈c，C∈c，所以c⊂α，所以a，b，c都在α内.因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.又因为D∈d，E∈d，所以d⊂α，所以a，b，c，d共面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.课时作业一、填空题1.下列推理正确的是________.(填序号)①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l⊂α；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若A∈α，A∈l，则l⊂α；④若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α，β重合.答案①②④解析由公理1可知①正确；由公理2可知②正确；若A∈α，A∈l，则l⊂α或l与α相交，即l⊂α不一定成立，③错误；由公理3可知④正确.2.下列说法中，正确的是________.(填序号)①一条直线和一个点确定一个平面；②三角形一定是平面图形；③空间中两两相交的三条直线确定一个平面；④梯形一定是平面图形.答案②④解析因为一条直线和该直线上的一个点可确定无数个平面，所以①不正确；因为三角形的三个顶点确定一个平面，所以②正确；因为长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确定三个平面，所以③不正确；因为梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以④正确.3.如图所示，用符号语言可表示为________.(填序号)①α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A；②α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A；③α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n；④α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n.答案①解析很明显，α与β交于m，n在α内，m与n交于A，故选①.4.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝________.答案PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.∵R∈l，∴R∈β.∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.5.空间任意4点最多可以确定的平面个数为________.答案4解析可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.6.过四条两两平行的直线中的两条最多可确定的平面个数是________.答案6解析如四棱柱中四条侧棱两两平行，过其中两条可确定4个侧面和2个对顶面，共确定6个平面.7.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.8.下列命题中正确的是________.(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可以只有一个交点.答案①解析借助三棱柱，可知②错误；借助正四面体，可知③错误；由公理2，可知④错误；由推论1，可知①正确.9.在底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________.答案5解析如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中的每一个面都是平行四边形，与AB，CC1都共面的棱为BC，D1C1，DC，AA1，BB1，共5条.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________.答案eq\f(3,4)a解析延长DM交D1A1的延长线于G点，连结GN交A1B1于点P.由M，N分别为AA1，C1D1的中点知，P在A1B1的eq\f(1,4)(靠近A1)处，故线段PB1的长为eq\f(3,4)a.11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体经过P，Q，R的截面图形是________.答案正六边形解析如图，连结B1D1，作RG∥B1D1交C1D1于G，连结QP并延长与CB的延长线交于M，连结MR交BB1于E，连结PE，PE为截面与正方体的交线.同理，延长PQ交CD的延长线于N，连结NG交DD1于F，连结QF.∴截面PQFGRE为正六边形.二、解答题12.已知：A∈l，B∈l，C∈l，D∉l，如图所示.求证：直线AD，BD，CD共面.证明因为D∉l，所以l与D可以确定一个平面α，因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以AD⊂α.同理，BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，CD在同一平面α内，即直线AD，BD，CD共面.13.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线