《椭圆的简单几何性质（第1课时）》教学设计

19/192.1.2椭圆的简单几何性质（第1课时）（名师：张远建）一、教学目标核心素养发展直观想象、逻辑推理、数据分析素养学习目标（1）掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.（2）明确椭圆中的几何意义，以及之间的相互关系.（3）能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题.学习重点利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质学习难点椭圆离心率的概念的理解及椭圆的几何性质的综合应用二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1预习教材，思考椭圆上的点的的取值范围？椭圆具有怎样的对称性？与数轴的交点是什么？任务2完成的练习5，思考椭圆的扁平程度与那些量有关？2．预习自测1.椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（）A．5，3，0.8 B．10，6，0.8 C．5，3，0.6 D．10，6，0.6．答案：B解析：椭圆的几何性质2.椭圆的长轴的端点坐标是（）A．（－1，0）、（1，0） B．（－6，0）、（6，0） C．、 D．、．答案：D解析：椭圆的几何性质（二）课堂设计1.知识回顾（1）椭圆的定义：平面内点到两定点的距离和为常数，即,当时，点的轨迹是椭圆（2）椭圆的标准方程：焦点在x轴上的椭圆标准方程为____焦点在y轴上的椭圆标准方程为____其中a，b，c的关系为_________.（3）关于原点对称的点，关于轴对称的点，关于轴对称的点2．问题探究问题探究一椭圆的几何性质●活动一设椭圆的标准方程为，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围．（1）从形的角度看：椭圆位于直线和所围成的矩形框里．（2）从数的角度看：利用方程研究，易知，故，即；故，即．●活动二（1）从形的角度看：观察椭圆的图形可以发现，椭圆是中心对称图形，也是轴对称图形．（2）从数的角度看：在椭圆方程中以分别代替，方程不变，∴椭圆既关于x轴对称，又关于y轴对称，从而关于坐标原点对称，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．●活动三如图，椭圆与它的对称轴共有四个交点，即和，这四个点叫做椭圆的顶点，线段叫做椭圆的长轴，它的长等于2a；线段叫做椭圆的短轴，它的长等于2b.显然，椭圆的两个焦点在它的长轴_上．●活动四椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的长轴．用e表示，即.(1)离心率的范围：(2)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而越小，因此椭圆越扁当e越接近于0时，c越接近于0，从而越接近于a,因此椭圆越接近于圆；当且仅当时，，这时两个焦点重合，图象变为圆．★▲问题探究二椭圆中的几何意义，以及之间的相互关系例1.求椭圆的长轴和短轴的长、焦点和顶点坐标．【知识点：椭圆的几何性质】详解：把原方程化成标准方程：．这里，所以．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是和，两个焦点分别是，椭圆的四个顶点是．点拔：解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过点，离心率；(2)在轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】详解：(1)若焦点在轴上，则，∵，，∴椭圆的方程为若焦点在轴上，则，∵解得.∴椭圆的方程为综上可知椭圆方程为或.(2)设椭圆的方程为．如图所示，为等腰直角三角形，为斜边的中线(高)，且，故所求椭圆的方程为.点拔：利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，需要解决定位问题和定量问题.定位问题是由顶点、焦点可确定焦点在哪个坐标轴上，不能确定的要分情况讨论.定量问题可由长轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标来确定.利用离心率确定a，b，c时，常用.例3.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且，求椭圆的方程．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的标准方程】详解：∵椭圆的长轴长是6、且，∴点A不是长轴的端点（是短轴的端点）．∴．∴椭圆的方程是：或．点拔：△OFA是椭圆的特征三角形，它的两直角边长分别为、，斜边的长为，∠OFA的余弦值是椭圆的离心率．问题探究三利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题●活动一求椭圆的离心率例4.为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，求椭圆的离心率．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】解析由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为之间的关系．详解：如图所示，设，则.由椭圆定义得.所以.即.所以.又.在中，.即.所以.点拔：求椭圆的离心率的值，即求的值，解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为之间的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、等关系都与离心率有直接联系，同时，之间是平方关系，所以，在求值时，也常先考查它的平方值．●活动二椭圆中的最值问题例5.设为椭圆上任意一点，为它的一个焦点，求的最大值和最小值．【知识点：椭圆的几何性质，椭圆的定义】详解：设为椭圆的另一焦点，则由椭圆定义得：，，，，即，的最大值为，最小值为.点拔：椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长轴的两个端点，应掌握这一性质．例6.若为过椭圆中心的弦，为椭圆的右焦点，则的面积最大值是多少？【知识点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系】详解：设A、B两点的坐标分别为，则：．因为点A、B在椭圆上，所以点A的纵坐标的最大值是．所以的最大值为．点拔：此题关键的地方是写出过椭圆中心的弦与椭圆交点的坐标，然后表示出相应面积．3.课堂总结【知识梳理】依据椭圆的几何性质填写下表：标准方程图形性质焦点焦距范围对称性关于x轴,y轴,坐标原点对称顶点轴长轴长2a，短轴长2离心率【重难点突破】(1)根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长短轴长、焦距、离心率；一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点．(2)通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方程对照、方程与性质对照，通过数形结合的方式探究掌握椭圆的几何性质．(3)根据椭圆几何性质解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，用代数知识解决几何问题，体现了数形结合思想、函数与方程及等价转化的思想方法．（4）如图所示在中，，记则，越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆．4.随堂检测1．已知点在椭圆，则的取值范围是（）A． B．C． D．答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】2．椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（）A．或B．或C．或 D．无法确定答案：C解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.B.C．D.答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】设椭圆方程为如图，∵，∴代入椭圆方程得，∴，∴，即，又∵，∴，∴，又，∴.（三）课后作业基础型自在突破1．已知点在椭圆的内部，则的取值范围是（）A.B.C．D．答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）A.B.C． D．答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】3．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C．2 D．4答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】4.已知椭圆的长轴长8，离心率为，则椭圆的标准方程为（）Ａ． B． 或C． D．或答案：D解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】5．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是______．答案：解析：【知识点：椭圆的几何性质】6．椭圆的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，与离它较近的长轴端点的距离为，则此椭圆的方程为________________________.答案：解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】能力型师生共研7．椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆离心率为()A.B.C. D.答案：A解析：【知识点：椭圆的几何性质】8.已知的两个定点为，且左焦点为是以为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C. D.答案：B解析：【知识点：椭圆的几何性质】9.以椭圆两焦点F1、F2所连线段为直径的圆，恰好过短轴两端点，则此椭圆的离心率e等于__________答案：解析：【知识点：椭圆的几何性质】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）与椭圆有相同的焦距，且离心率为．（2）长轴长是短轴长的倍，且经过点．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】（1）∵椭圆的标准方程为：，∴，∴该椭圆的焦距，．又∵，∴，．∴．∴所求椭圆的方程为：或．（2）设椭圆的标准方程为或，由已知得，且椭圆过点，∴或，解得，或，，∴所求的椭圆方程为或．探究型多维突破11.已知A、B为椭圆C:的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且的最大值是则实数m的值等于()A. B. C. D.答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】由椭圆性质知,当点P位于短轴的端点时取得最大值,则tan.12.设P是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，求椭圆的离心率的取值范围．答案：见解析解析：【知识点：椭圆的定义，椭圆的几何性质】解法一：如下图点P是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，由椭圆定义得，①在△F1PF2中，由余弦定理得.即.由①得，所以②.由①和②根据基本不等式，得.即，又，故，解得.又，所以该椭圆的离心率的范围是.解法二：由解法一得出①，②.由①②可知，是方程的两根．则有，即，所以.所以，又，所以该椭圆离心率e的范围是.解法三：设点，则，.在△F1PF2中由余弦定理，得.化简得，又因为.，即，解得，所以离心率的范围是.解法四：设椭圆交轴于B1，B2两点，则当点P位于B1或B2处时，点P对两焦点的张角最大，故，则.在Rt△OB1F2中，所以离心率的取值范围是.[点评]本题根据椭圆定义及性质从不同角度应用了四种方法求椭圆离心率的范围，法一应用了基本不等式，法二构造一元二次方程，应用了方程思路，可谓奇思妙解，法三通过焦半径公式搭建起应用x范围的桥梁，法四应用了极端思想使问题迅速得解，由此可见，在椭圆中建立不等关系的途径或方法还是比较多的，平时解题时需要根据已知条件灵活选择方法，达到快速而又准确地解答题目的目的．四、自助餐1.已知点（3，2）在椭圆上，则（）．A．点（－3，－2）不在椭圆上B．点（3，－2）不在椭圆上C．点（－3，2）在椭圆上 D．无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（－3，2）是否在椭圆上答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】2.椭圆的焦点在x轴上，长、短半轴之和为10，焦距为4eq\r(5)，则椭圆的标准方程为()A. B.C. D.答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，椭圆的几何性质】3．椭圆上点P到右焦点的距离（）．A．最大值为5，最小值为4 B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6 D．最大值为9，最小值为1答案：D解析：【知识点：椭圆的几何性质】点评：若椭圆上的点P到焦点的距离最小，则P点是椭圆的长轴离焦点近的端点，若椭圆上的点P到焦点的距离最大，则P点是椭圆的长轴离焦点远的端点4.中心在原点，焦点在轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（）．A． B． C． D．答案：A解析：【知识点：椭圆的标准方程，几何性质】5．椭圆的离心率为，则k的值为()A．－21 B．21C．－eq\f(19,25)或21 D.eq\f(19,25)或21答案：C解析：【知识点：椭圆的几何性质】6.点在椭圆上运动，点、分别在圆与上运动，则的最大值是（）A