《函数的最大（小）值与导数》教学设计

1/13.3.3函数的最大（小）值与导数（周雪敏）一、教学目标1．核心素养通过学习函数的最大（小）值与导数，形成基本的逻辑推理和数学运算能力，能围绕讨论问题的主题，观点明确，论述有理有据，并依据运算法则解决数学问题．2．学习目标（1）借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值的概念。（2）弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉必有最大值和最小值的充分条件。（3）掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤。3．学习重点利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

4．学习难点 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务 任务1 结合函数在上的图像，想一想：函数在上的极小值是多少？函数在上的最大值、最小值分别是多少？任务2 预习教材P96—P98，完成P98相应练习题，并找出疑惑之处.2．预习自测1．下列说法正确的是()A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值解：D最值是极值与闭区间端点处的函数值比较之后得到的．2．函数在区间上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则()A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解：A由题意知函数在闭区间上所有函数值相等,故其导数为0．3．函数在上的最小值为．解：，当时，，即函数在上单调递减，故当时，函数有最小值为．4．设在区间上的最大值为3，最小值为，且，求，的值．解：[-1,0)0(0,2]+0–↗极大值↘，令，得或，则函数在上的单调性及极值情况如下表所示：∴，又∵，，∴，∴．（二）课堂设计1．知识回顾 ⑴常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.⑵求函数极值的方法和求解步骤.2．问题探究问题探究一函数最大（小）值与导数★▲活动一观察与思考：极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象，你能找出函数在闭区间上的最大值、最小值吗？一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断，⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．●活动二想一想：函数的极值与最值有怎样的关系？函数极值与最值的区别与联系：⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一．⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．（5）对于在闭区间上图像连续不断的函数，函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间端点处取得．问题探究二函数的最大值与最小值的求解★ ●活动一阅读教材P97的例5，根据例5及最值与极值的关系归纳出求函数在闭区间上的最值的步骤．利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值． ●活动二初步运用求函数的最值例1已知函数，⑴求曲线在点处的切线方程；⑵若，求函数的最大值与最小值．【知识点：导数的几何意义、函数的最值；数学思想：数形结合】详解：⑴，所以曲线在点处的切线的斜率，故曲线在点处的切线方程为．⑵令得或，列表如下：＋0－0＋↗↘↗，，又，，∴在的最大值是，最小值是．点拨：⑴求函数最值时，若函数的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点函数值的大小才能确定函数的最值．⑵若的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点．⑶若为单调函数，则端点就是最值点．●活动三对比提升由函数的最值求参数例2已知函数，当（e为自然常数）,函数的最小值为3，求实数的值．【知识点：根据函数最值求参数值；数学思想：分类讨论】详解：由得,因为，所以当时，在是减函数，最小值为，不满足题意；当时，在是减函数，是增函数，所以最小值为，∴实数的值为.问题探究三利用最值解不等式恒成立问题▲ 函数恒成立问题是高中数学里非常具有探讨价值的问题，下列是一些常见结论：（1）不等式在定义域内恒成立；（2）不等式在定义域内恒成立；（3）不等式，恒成立，恒成立．●活动一初步运用例3已知函数．⑴求的最小值；⑵若对所有都有，求实数的取值范围．【知识点：求函数的最小值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】详解：⑴的定义域为，，令，解得；令，解得，从而在上单调递减，在上单调递增，∴当时，取得最小值．⑵依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立．令，则，当时，，故在上是增函数，∴，∴实数的取值范围是．●活动二对比提升例4已知函数．（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）若对恒成立，求的取值范围．【知识点：求函数最值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归、分类讨论】详解：（1）函数的定义域为，当时，，；当时，有；当时，有，∴在区间[，1]上是增函数，在[1，e]上为减函数，又，，∴，.（2），则的定义域为..①若，令，得极值点，，当，即时，在上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有也不合题意；②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是.综合①②可知，当时，对，恒成立.点拨：恒成立问题总是要化为求函数的最值问题来解决，常用分类讨论（求最值）法或分离参数法.在不等式或方程中，参数只出现一次，或在几个项中出现的参数只是一次的形式，可以对不等式或方程进行变形，把参数分离到一边去，而另一边则是的表达式.3．课堂总结【知识梳理】数学知识：⑴最值的存在性定理．⑵最值的求解步骤．一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：①求在内的极值；②将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值．⑶恒成立问题．常见结论：（1）不等式在定义域内恒成立；（2）不等式在定义域内恒成立；（3）不等式，恒成立，恒成立．数学思想：分类讨论、化归与转化等思想．【重难点突破】求函数最值的注意点（1）我们讨论的函数是在闭区间上图像连续不断，在开区间上可导的函数．在闭区间上图像连续不断，保证函数有最大值和最小值；在开区间上可导，才能用导数求解．（2）求函数的最大值和最小值需要先确定函数的极大值和极小值．因此，函数的极大值和极小值的判定是关键．（3）如果仅仅是求最值，可以将上面的方法简化，因为函数在内的全部极值，只能在的导数为零的点或导数不存在的点处取得（以下称这两种点为可疑点），所以只要将这些可疑点求出来，然后将函数在可疑点处的函数值与区间端点处的函数值进行比较，就能得到函数的最大值和最小值．（4）当图像连续不断的函数在内只有一个可疑点时，若在这一点处函数有极大（小）值，则可以判定函数在该点处取到最大（小）值，这里也可以是无穷区间．（5）当图像连续不断的函数在上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得．4．随堂检测1．函数在上（）A．极大值一定比极小值大B．极大值一定是最大值C．最大值一定是极大值D．最大值一定大于极小值【知识点：极值与最值的关系】解：D2．函数在上（）A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值【知识点：单调函数的最值】解：A3．函数在上的最大值是（）A．1B．C．0D．【知识点：函数的最大值】解：A4．函数在区间上的最小值为（）A．B．C．0D．【知识点：函数的最小值】解：D5．设，当时，恒成立，则实数的取值范围为．【知识点：不等式恒成立问题】解：（三）课后作业基础型自主突破1．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A．[0,1)B．(0,1)C．(－1,1)D．【知识点：函数最值与极值的关系；数学思想：转化与化归】解：B∵(x)＝3x2－3a，令(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0,1)，∴0<a<1，故选B．2．函数的最大值为()A．B．eC．e2D．【知识点：函数最大值】解：A令＝0(x＞0)．解得x＝e．当x>e时，y′<0；当0＜x<e时，y′>0．y极大值＝f(e)＝，在定义域内只有一个极值，所以ymax＝．3．函数在定义域内()A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．有最大值2，最小值－2D．无最值【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C令＝0，得x＝±1．x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′－0＋0－y极小值极大值由上表可知x＝－1时，y取极小值也是最小值－2；x＝1时，y取极大值也是最大值2．4．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．【知识点：函数最值与零点关系；数学思想：转化与化归】解：(－∞，2ln2－2]函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．5．函数y＝x＋2cosx在区间上的最大值是________．【知识点：函数最大值】解：y′＝1－2sinx＝0，x＝，比较0，，处的函数值，得ymax＝．6．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2,2]上有最小值－37，求a的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：a＝3；f(x)的最大值为3．(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2(x)＋0－0f(x)－40＋a极大值a－8＋a∴当x＝－2时，f(x)min＝－40＋a＝－37，得a＝3．∴当x＝0时，f(x)的最大值为3．能力型师生共研7.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点：函数的最值；数学思想：数形结合】解：C由于函数在开区间有最小值，则函数的极小值点在内，且在内的单调性是先减再增.,当时，，当，，所以得最小值为.∴只需，得到，故选C.8.设，函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：，当，且时，，∴在上是增函数，，又，∴在上是增函数，．由条件知只需．即．∴．即．9.已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[－1,0]上的最大值．【知识点：函数的最大值；数学思想：分类讨论】解：解析：令(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a，①当a≥0，即a≥0时，f(x)在[－1,0]上单调递增，从而f(x)max＝f(0)＝0；②当a≤－1，即a≤－时，f(x)在[－1,0]上单调递减，从而f(x)max＝f(－1)＝－1－a；③当－1<a<0，即－<a<0时，f(x)在上单调递增；在上单调递减，则f(x)max＝．综上所述：10.设函数(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．【知识点：不等式恒成立、函数的最值；数学思想：转化与化归、数形结合】解：(1)h(t)＝－＋t－1；(2)(1，＋∞)．解析：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－＋t－1．(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－＋3t－1－m，由(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时(t)、g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)(t)＋0－g(t)递增1－m递减∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max＝1－m，h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g(t)<0，对t∈(0,2)恒成立，只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.故实数m的取值范围是(1，＋∞)．探究型多维突破11.已知函数.(Ⅰ)若不等式有解，求实数的取值范围；(Ⅱ)研究函数的极值点个数情况.【知识点：不等式有解与函数的最值的关系、函数的极值；数学思想：转化与化归、分类讨论】解：（Ⅰ）；(Ⅱ)时，有0个极值点；时，有0个极值点；时，有两个极值点；时，有一个极值点解析：（Ⅰ）有解等价于有解，即，设，则，当时，；当时，，所以当时，，即.(2)令得到，得到，,当时，；当时，，又，所以时，无解，有0个极值点；时，有一解，但不是极值点；时，有二解，有两个极值点；时，有一解，有一个极值点.12.已知函数.（1）若，求函数的极小值；（2）设，证明：.【知识点：函数的极值、不等式的证明、函数的最值；数学思想：转化与化归】解：（1）；（2）证明见解析.解析：（1），所以，观察得，而在上单调递增，所以当时，当时；所以在单调递减，在单调递增，故有极小值．证明：（2）因为，所以，令，则，易知在单调递增，，，所以设，则；当时，，当时，；所以在上单调递减，上单调递增，所以，又因为，故，所以，所以当且仅当，即时等号成立，而，所以，即，所以，即．（四）自助餐1.函数在区间（为自然对数的底）上的最大值为（）A.B.C.D.【知识点：函数的最大值】解：A得，所以增区间为，减区间为，所以函数最大值为．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)()A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值 D．既无最大值，也无最小值【知识点：函数的最值】解：D＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选D．3．函数y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是()A．π－1B．eq\f(π,2)－1C．π D．π＋1【知识点：函数的最大值】解：C因为y′＝1－cosx，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，y′>0，则函数在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，故选C．4．已知函数在处取得极值，若，则的最小值是（）A．B．C．10D．15【知识点：函数的极值、最小值】解：A求导得，由函数在处取得极值知，即，∴．由此可得，，已知在上单调递减，在上单调递增，∴当时，．又的图像开口向下，且对称轴为，∴当时，，故的最小值是．故选A．5．已知函数，均为上连续且，则的最大值为（）A．B．C．D．【知识点：单调函数的最大值】解：A，∴函数在上单调递减，∴的最大值为．6．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【知识点：不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：C当时，得，令，则，令，，则，显然在上，，单调递减，∴，因此；同理，当时，的，当时对任意实数不等式也成立，故实数的取值范围是．7．在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，，则函数在区间的最大值与最小值的和为________．【知识点：函数的最值】解：64曲线过点，，∴，∴，∴，，令得，当时，；当时，；当时，，∴最大值与最小值的和为64．8．函数在时的最大、最小值分别是．【知识点：函数的最值】解：，．，即，．而，当＜x＜时，，当＜x＜时，，∴是极小值．又=，，∴．∴函数的最大值为，最小值为．9．函数在[0，2]上的最大值为．【知识点：函数的最值】解：．函数，∈[0，2]．，当∈[0，1）时，＞0，此时函数单调递增；当∈（1，2]时，＜0，此时函数单调递减．∴当=1时，函数取得最大值，．10．已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．【知识点：函数的极值、不等式恒成立；数学思想：转化与化归】解：(1)；(2)(－∞，－18)∪(54，＋∞)．解析：(1)(x)＝3x2－2ax＋b，∵函数f(x)在x＝－1和x＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax＋b＝0的两根．∴，∴．(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x＋c，(x)＝3x2－6x－9.当x变化时，(x)，f(x)随x的变化