人教版九上数学新课标教学课件21.2.5一元二次方程根与系数的关系（课件）

21.2.5

一元二次方程的根与系数的关系九年级上

人教版学习目标新课引入新知学习课堂小结12341.掌握一元二次方程的根与系数的关系.2.会用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.学习目标重点难点

方程ax²+bx+c=0(a≠0)的求根公式是什么？新课引入(b²-4ac≥0)问题：求根公式是由一元二次方程的系数来表示的，那么除了这个特点之外，一元二次方程根和与系数之间还有什么其它关系？

你能将方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为方程两根

)化为x2＋px＋q＝0的形式吗？x1，x2与p，q之间有什么关系?整理方程(x-x1)(x-x2)=0x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，一般形式一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1·x2.

如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2=-p，

x1·x2=q.

新知学习

一元二次方程ax2

+bx

+c

=0（a≠0）中，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？知识点

由求根公式知思考

若x1，x2是一元二次方程ax2

+bx

+c

=0（a≠0）的两个根，

则有：

任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．说明：b2-4ac≥0.归纳例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2

-6x

-15

=0；

(2)3x2

+7x

-9

=0；(3)5x

-1

=4x2.

解：(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.(3)方程化为

4x2－5x＋1＝0，∴

二

一元二次方程的根与系数的关系的应用例1

已知关于

x

的一元二次方程

x²＋ax＋a

-5

=0，若该方程的一个根为

1，求

a

的值及该方程的另一个根.解:

将

x

=1

代入方程得，1+a+a-5

=0，解得

a

=2.

由根与系数的关系可知，该方程的另一个根为-3.例2

已知x1，x2

是

一元二次方程

x²＋ax＋16=0的两个根，

，求

a

的值及该方程的另一个根.解：由方程有两个实数根，得

Δ=a2-4≥0，

即a≥2或a≤-2.由根与系数的关系得

x1+x2=2a，x1x2=16.

∴

解得a

=8例3

已知x1，x2

是

一元二次方程3x²＋4x-3=0的两个根，利用根系数之间的关系，求下列各式的值.(1)(2)(3)(4)解：根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)常见求值公式变形1.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2和1，则：p=

,q=

.1-22.已知m，n为一元二次方程x2-4x-3=0的两个实数根，则m²-mn+n²的值为（

）A.25

B.27C.5D.-5A随堂练习3.

设

x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且

x12+x22=4，求

k的值.解：由方程有两个实数根，得

Δ=4(k-

1)2

-

4k2≥0，

即-8k+4≥0.由根与系数的关系得

x1+x2=2(k

-

1)，x1x2=k2.

∴x12+x22=(x1+x2)2

-

2x1x2=4(k-

1)2

-

2k2

=2k2

-

8k+4=4.解得k1=0，k2=4.

∵，∴k=0.4.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围；

(2)若

，求k的值.(2)∵

x1，x2是方程x2+(2k+3)x+k2＝0的实数根，

∴x1+x2=-(2k+3)，x1x2=k2，∴

，解得k1=3，