专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（举一反三）（新高考专用）（教师版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题4.1任意角和弧度制、三角函数的概念【五大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1终边相同的角】 4【题型2象限角】 5【题型3弧度制及其应用】 6【题型4任意角的三角函数的定义及应用】 9【题型5三角函数值符号的判定】 101、任意角和弧度制、三角函数的概念考点要求真题统计考情分析(1)了解任意角的概念和弧度制

(2)能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性

(3)借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义2023年北京卷：第13题，5分2024年北京卷：第12题，5分任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的基础，是高考数学的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，主要考察任意角的概念、三角函数的概念，一般以选择题、填空题的形式出现，试题比较简单.【知识点1三角函数的基本概念】1．任意角(1)角的概念角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)角的表示如图：

①始边：射线的起始位置OA；

②终边：射线的终止位置OB；

③顶点：射线的端点O；

④记法：图中的角可记为“角”或“”或“AOB”.2．象限角与终边相同的角(1)终边相同的角若角,终边相同，则它们的关系为：将角的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角.

一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.(2)象限角、轴线角①象限角、轴线角的概念在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角.

②象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.(2)弧度制的相关概念①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角.②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度.4．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设是一个任意角，∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作，即y=；

②把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作，即x=；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即=(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数余弦函数正切函数(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则=，=，=.【知识点2任意角和弧度制的解题策略】1．终边相同的角的集合利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.2．确定，(k∈N*)的终边位置的方法先写出或的范围，然后根据k的可能取值确定或的终边所在的位置.3．应用弧度制解决问题的几大要点应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.【知识点3三角函数的定义及应用的解题策略】1．三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2．判定三角函数值的符号的解题策略要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【题型1终边相同的角】【例1】（2024·全国·模拟预测）下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（

）A．2kπ+3C．kπ−π【解题思路】利用终边相同角的定义即可求得与7π【解答过程】与7π4的终边相同的角为故选：B.【变式1-1】（23-24高一上·内蒙古·期末）若角α与角−2π5的终边相同，则αA．12π5 B．−10π5 【解题思路】根据α=−2【解答过程】由已知α=−观察选项可得只有−22π5=−2故选：D.【变式1-2】（23-24高一下·河南驻马店·阶段练习）若角α的终边在直线y=x上，则角α的取值集合为（

）A．α∣α=k⋅360∘+C．α∣α=k⋅180∘−【解题思路】根据角α的终边在直线y=x上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角α的集合.【解答过程】由题意知角α的终边在直线y=x上，故α=k⋅360°+45°,k∈Z或α=k⋅360°+225°,k∈Z，即α=2k+1⋅180°−135°,k∈Z或故角α的取值集合为α∣α=k⋅180°−135°,k∈Z.故选：C.【变式1-3】（23-24高一下·安徽蚌埠·阶段练习）将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．【解题思路】根据题意设α+60°=360°k+130°,k∈Z【解答过程】设α+60°=360°k+130°,k∈Z解得α=360°k+70°,k∈Z所以与角α终边相同的角的集合为ββ=k×360°+70°,k∈Z故选：B.【题型2象限角】【例2】（2024·全国·模拟预测）若α是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（

）A．90°−α B．180°−α C．270°−α D．−α【解题思路】根据象限角的概念判断即可.【解答过程】若α是第一象限角，则k⋅360°<α<90°+k⋅360°,k∈Z−90°−k⋅360°<−α<−k⋅360°,k∈Z，则−α−k⋅360°<90°−α<90°−k⋅360°,k∈Z，则90°−α90°−k⋅360°<180°−α<180°−k⋅360°,k∈Z，则180°−α180°−k⋅360°<270°−α<270°−k⋅360°,k∈Z，则270°−α故选：C.【变式2-1】（23-24高一上·河北唐山·期末）已知α=944°，则α是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解题思路】α=944°=224°+2×360°，再根据终边相同的角的集合，判断224°是第几象限角，即可求出结果.【解答过程】因为α=944°=224°+2×360°，又224°是第三象限角，所以α是第三象限角，故选：C.【变式2-2】（23-24高一下·河南·阶段练习）已知角α以x轴正半轴为始边，终边经过点Psin2π3,cosA．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【解题思路】先确定点P在第四象限，即角α的终边在第四象限，3π+α的终边为角【解答过程】sin2π3=3故点P在第四象限，即角α的终边在第四象限，3π+α的终边为角α终边的反向延长线，那么故选：B．【变式2-3】（2024·贵州·模拟预测）“α是第四象限角”是“α2是第二或第四象限角”的（

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【解答过程】当α是第四象限角时，3π2+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，则3π4+kπ<α2<π+kπ,k∈Z，即α2是第二或第四象限角.当故选：A.【题型3弧度制及其应用】【例3】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB≈8cm,AD≈2cm,AO≈5cm，若sinA．6.8cm2 B．9.8cm2 C．【解题思路】根据给定图形求出圆心角∠AOB，再利用扇形面积公式计算即得.【解答过程】显然△AOB为等腰三角形，OA=OB=5,AB=8，则cos∠OAB=12ABOA所以∠OAB≈37∘，于是所以璜身的面积近似为12故选：C.【变式3-1】（2024·新疆克拉玛依·三模）掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是5π6，“弓”所在圆的半径为1.25米，这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距离为（

A．526 B．524 C．【解题思路】由已知结合弧长公式可求AD，进而可得答案．【解答过程】根据题意作出下图，弧AC的长为5π12，∠AOC=所以AB=2AD=2×1.25⋅sin故选：C．【变式3-2】（2024·贵州贵阳·三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12（弦×矢+矢2

A．π3 B．2π3 C．4π3【解题思路】根据弧田面积可求得CD，利用勾股定理可构造方程求得半径r，并根据长度关系得到圆心角弧度数，利用扇形弧长公式可求得结果.【解答过程】如图，

由题意得：AB=23弧田面积=12×设圆半径为r，则有AO2=AD2∴OD=2，则在Rt△AOD中，∠AOD=π3∴所求弧长为4×2π故选：D.【变式3-3】（2023·浙江嘉兴·二模）相传早在公元前3世纪，古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线（经线）的两个城市（赛伊城和亚历山大城）进行观测，当太阳光直射塞伊城某水井S时，亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角θ=82.8∘，又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧AS的长为5000古希腊里，若圆周率取3.125，则可估计地球半径约为（A．35000古希腊里 B．40000古希腊里C．45000古希腊里 D．50000古希腊里【解题思路】利用1∘圆心角所对应的弧长是l=【解答过程】设圆周长为C，半径长为R，两地间的弧长为l，对应的圆心角为n∘∵360∘的圆心角所对应的弧长就是圆周长∴1∘的圆心角所对应的弧长是l=2于是在半径为R的圆中，n∘的圆心角所对的弧长l为：l=∴R=180l当l为5000古希腊里，n=90∘−θR=180l故选：B.【题型4任意角的三角函数的定义及应用】【例4】（2023·福建福州·模拟预测）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosα=55,Pm,2A．−4 B．4 C．−1 D．1【解题思路】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．【解答过程】始边与x轴非负半轴重合，cosα=55则mm2+4=5故选：D．【变式4-1】（2024·江西·二模）已知角α的终边经过点M(2,1)，则cosα=A．63 B．33 C．2 【解题思路】根据三角函数的定义求解.【解答过程】根据题意r=OM由三角函数的定义得cosα=故选：A.【变式4-2】（2023·河南开封·三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且cosα=13x，则tanA．−22 B．−24 C．【解题思路】利用三角函数的定义先解得x，再求正切值即可.【解答过程】由三角函数定义可知：cosα=xx故x=−22，所以tan故选：B.【变式4-3】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知角α的顶点位于平面直角坐标系xOy的原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点−22,22A．−12 B．−22 C．【解题思路】根据终边所在的象限，可以分别求出正弦函数和余弦函数的值，代入即可.【解答过程】因为终边与单位圆交于点−2所以sinα=22，cos故选：A.【题型5三角函数值符号的判定】【例5】（2024·河南·模拟预测）已知α是第二象限角，则点(cos(sinA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】根据三角函数确定横坐标和纵坐标的正负，即可求解.【解答过程】因为α是第二象限角，所以0<sinα<1，进而硧定cos(sinα)>0所以点(cos故选：D.【变式5-1】（2023·四川宜宾·三模）已知角α的终边上一点的坐标a,2，其中a是非零实数，则下列三角函数值恒为正的是（

）A．cosαtanα B．sinαcosα【解题思路】先根据定义求出sinα,【解答过程】因为角α的终边上一点的坐标a,2且a是非零实数，所以根据三角函数的定义知，sinα=2a2+4选项A，cosα选项B，sinαcosα=选项C，sinαtanα=选项D，tanα=2a故选：A.【变式5-2】（2023·河南·模拟预测）已知α是第二象限角，则点（cos(−α)，sin(−α)）所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解题思路】利用诱导公式化简再确定象限.【解答过程】由题意知：cosα<0，sinα>0，进而得到cos(−α)=所以点（cos(−α)，sin故选：C.【变式5-3】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在第三象限.则（

）A．sinα−cosα≤C．sinα⋅cosα<【解题思路】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【解答过程】由题意可得sinα<0、cosα<0，对A：当sinα→0−时，cosα→−1，则此时sinα−对B：当α=5π4对C、D：sinα⋅cosα=故cos2α∈0,1，则cos故C正确，D错误.故选：C.一、单选题1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合A=α∣α=−2024°+k⋅180°,k∈Z中的最大负角α为（A．−2024° B．−224° C．−44° D．−24°【解题思路】利用任意角的定义与集合A所表示的角即可得解.【解答过程】因为−2024°=−44°−11×180°，所以集合A=α∣α=−2024°+k⋅180°,k∈Z中的最大负角α为故选：C.2．（2024·河北衡水·模拟预测）“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−β=0”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】借助α−β的值，直接分别判断充分性和必要性.【解答过程】由角α,β的终边在同一条直线上，得α=β+kπ即α−β=kπ,k∈Z反之，由sinα−β=0，得当m为偶数时，角α,β的终边在同一条射线上；当m为奇数时，角α,β的终边在同一条直线上.综上，“角α,β的终边在同一条直线上”是“sinα−β故选：C.3．（23-24高一下·河南·阶段练习）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是（

）A．α|5π6C．α|−7π6【解题思路】根据任意角的概念以及角的终边所在位置，即可确定角α的集合.【解答过程】终边落在阴影部分的角为5π6+k即终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合是α|5故选：B．4．（2024·山东·模拟预测）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点Psinπ3,cosA．0 B．12 C．22 【解题思路】由三角函数的定义即可求得α，从而得到结果.【解答过程】由题意可得P32,12所以cosα+故选：B.5．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环ABCD，如图（2），砖雕厚度为6cm，AD=80cm，CD=3AB，CD所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：cm

A．3200π B．480π+960 C．6880【解题思路】先求出CD=60πcm，AB=20【解答过程】延长DA与CB交于点O．由CD=3AB，AD=80cm，得OA=40因为CD所对的圆心角为直角，所以CD=60πcm，所以该梅花砖雕的侧面积S侧扇环ABCD的面积为14则该梅花砖雕的表面积S表面积故选：C．6．（2024·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P3,4，则sinα+2cosA．11 B．−10 C．10 D．−11【解题思路】由题意利用任意角的三角函数定义，可求得sinα,【解答过程】因为角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，且角的终边经过点P3,4所以sinα=49+16所以sinα+2故选：B.7．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cotθ=1tanθ，正割函数secθ=1cosθ，余割函数cscθ=1sinθ，正矢函数versinθ=1−cosθ，余矢函数vercosθ=1−sinθ.如图角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点

A．versinθ=AM C．cotθ=BS D．【解题思路】利用单位圆以及三角函数的定义可知sinθ=MP，cosθ=OM，【解答过程】根据题意，易得△OMP∼△OAT∼△SBO∼△PNO，对于A，因为1−cosθ=1−OM=MA，即对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，cscθ=对于C，cotθ=对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得secθ=故选：C.8．（2024·山东青岛·一模）2024年2月4日，“龙行中华——甲辰龙年生肖文物大联展”在山东孔子博物馆举行，展览的多件文物都有“龙”的元素或图案．出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）就是这样一件珍宝．玉璜璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰“S”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：AB≈8cm，AD≈2cm，AO≈5cm，若sin37°≈35，πA．6.8cm2 B．9.8cm2 C．【解题思路】根据给定图形求出圆心角∠AOB，再利用扇形面积公式计算即得.【解答过程】显然△AOB为等腰三角形，OA=OB=5,AB=8，则cos∠OAB=12即∠OAB≈37∘，于是所以璜身的面积近似为12故选：C.二、多选题9．（2023·贵州遵义·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若sinα=sinβ，则αB．若角α的终边过点P3k,4kk≠0C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度D．若sinα⋅cosα>0【解题思路】举反例α+β=π判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由sinα与cos【解答过程】对于A：当α+β=π时，sinα=对于B：r=(3k)2+(4k)2对于C：由2r+l=3,r=1，得l=1,α=l对于D：sinα⋅cosα>0，即sinα与故选：CD.10．（2023·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P52,x，且sinα=2A．±2 B．±1 C．0 D．±【解题思路】根据三角函数的定义及已知列方程求参数x即可.【解答过程】由题设sinα=x54+所以x=0或x=±1.故选：BC.11．（2023·吉林·二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且∠AOB=π6.质点A以π6rad/s的角速度按顺时针方向运动，质点A．经过1s后，扇形AOB的面积为5B．经过2s后，劣弧AB的长为2C．经过6s后，质点B的坐标为−D．经过223s后，质点A，【解题思路】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.【解答过程】对于A，由题意可知：经过1s后，∠AOB=π所以此时扇形AOB的面积为12α⋅r对于B，经过2s后，∠AOB=π所以此时劣弧AB的长为αr=2π3对于C，经过6s后，质点B转过的角度为6×π12=π2，结合题意，此时质点B为角π6+对于D，经过223s后，质点B转过的角度为223×π12=11π18，质点A转过的角度为223×(−故选：BD.三、填空题12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积是π3【解题思路】根据任意角的概念及角度制与弧度制的转化关系化为弧度制，再由扇形面积公式计算可得．【解答过程】时针长度是1厘米，则时针4h（时）转出的扇形面积S=1故答案为：π313．（2024·全国·模拟预测）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若Pm,2是角θ终边上一点，且cosθ=−31010，则【解题思路】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.【解答过程】由题设知cosθ=即10m2=9即m2=36，且解得m=−6，故答案为：−6.14．（2023·广东佛山·一模）若点Acosθ,sinθ关于原点对称点为Bcosπ6−θ,sinπ6【解题思路】根据A、B关于原点对称，所以两角的终边在一条直线上，得：θ=π6−θ+2k+1π【解答过程】∵Acosθ,sin∴θ与π6−θ的终边在一条直线上.即：θ=π∴θ=7π12令k=0得θ=7故答案为：7π12（满足θ=7四、解答题15．（2024高一下·全国·专题练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限：(1)α2(2)α3【解题思路】（1）由α为第四象限角可知3π2+2k（2）由α为第四象限角可知3π2+2k【解答过程】（1）由于α为第四象限角可知3π所以3当k=2n时，3π当k=2n+1时，7π所以α2（2）由（1）得π2当k=3n时，π2当k=3n+1时，7π6当k=3n+2时，11π6所以α316．（23-24高一·全国·随堂练习）写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式−720∘≤β<(1)60∘(2)−45(3)1303∘(4)−225【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据终边相同角的定义可写出满足条件的角的集合，然后解不等式−720∘≤β<360∘【解答过程】（1）解：与60∘终边相同的角的集合为β由−720∘≤当k=−2时，β=60当k=−1时，β=60当k=0时，β=60所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−（2）解：因为−45所以，与−45∘终边相同的角的集合为由−720∘≤当k=−2时，β=315当k=−1时，β=315当k=0时，β=315所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−（3）解：因为1303∘所以，与1303∘18由−720∘≤223.3∘+k⋅360当k=−2时，β=223当k=−1时，β=223当k=0时，β=223所以，适合不等式−720∘≤β<360∘的元素β为−（4）解：因为−225所以，与−225∘终边相同的角的