数学与应用数学论文范文

附件1：XXXX大学XXXXX毕业论文（设计）论文题目：定义域在解题中的应用年级：20XX级专业：数学与应用数学姓名：XXXXXX学号：XXXXXXXXXX指导教师：XXXXXXX完成日期：20XX年X月X日摘要函数作为中学数学的重要一部分，也是高中数学的基础。而函数定义域是构成函数的三大要素之一，是在学习函数的第一步就会接触到的。求定义域看起来十分容易，并很快就能熟悉地做对题。但学到后面，我们才发现并没有深度掌握，尤其是对于复合函数的定义域，因为这需要我们基础知识扎实，抽象思维能力，综合应用数学能力较高。前辈们曾说过“万丈高楼平地起”，因此，本文首先从基本概念开始，逐步向复合函数的定义域探析，并介绍了函数定义域的应用范围，求法，并研究求反函数，复合函数，函数最值，奇偶性，单调性，图像，三角函数，解不等式和方程中的应用。在每个工程中用经典例题加深理解，方能更好地运用。关键词：定义域；值域；单调函数；复合函数ABSTRACTAsanimportantpartofmiddleschoolmathematics,functionisalsothefoundationofhighschoolmathematics.Thedomainoffunctiondefinitionisoneofthethreeelementsthatconstituteafunction,whichwillbetouchedinthefirststepoflearningafunction.Findingthedomainlooksprettyeasy,andyou'llgetfamiliarwithitprettyquickly.However,afterlearningit,wefoundthatwedidnothaveadeepgraspofit,especiallyforthedefinitiondomainofcomplexfunctions,becausethisrequiresustohavesolidbasicknowledge,abstractthinkingabilityandhighcomprehensiveappliedmathematicsability.Predecessorshadsaidthat"greatoaksgrowfromlittleacorns",thispaperstartingfromthebasicconcept,graduallytothecompositefunctionofdomainanalysis,andintroducestheapplicationscopeoffunctiondomain,calculationmethods,andtheinversefunction,complexfunction,thefunctionmostvalue,parity,monotonicity,images,trigonometricfunction,theapplicationoftheinequalitiesandequations.Ineachproject,useclassicexamplestodeepenunderstandingsoastomakebetteruseofthem.Keywords:domain;Domain;Monotonefunction;Compositefunction目录1.基本概念 52.求函数的定义域 53.求根据已知函数的定义域，求复合函数的定义域 64.根据复合函数的定义域，求原函数的定义域 75.函数定义域的运用 75.1相同函数的判断 75.2将函数解析表达式进行变形或化简 86.定义域在函数中的应用 86.1研究函数值域时定义域的应用 96.2求反函数时定义域的应用 96.3求复合函数时定义域的应用 96.4研究函数最值时定义域的应用 106.5判断函数奇偶性时定义域的应用 106.6讨论函数单调性时定义域的应用 117.定义域在其他方面的应用 117.1定义域在函数图像中的应用 117.2定义域在解三角函数中的应用 117.3定义域在解不等式中的应用 127.4定义域在解方程中的应用 13引言定义域是一个基本而重要的数学概念，是函数自变量所能取值的集合，也是函数不可缺少的一个重要因素。在十七世纪伽利略就提出了函数的概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。十八世纪，由莱布尼茨引入了函数的符号开始，一些专家学者就开始对函数的研究。函数定义域是非常简单，而在解题中若不加以注意，会使人误人歧途。虽然上世纪起函数在中学的教材中就有很重要的地位，但是有关于函数定义域的求法依然存在各种各样的错误。若函数的定义域求错了，则函数最值，奇偶性，单调性，值域等一系列与定义域关联的问题一般也会发生改变，就避免不了一些不该发生的错误。因此，我们在解决各种问题时，要加强对定义域的理解和重视，先考虑函数的定义域，才能对函数问题有更深层次的研究。于是我认为关于定义域在解题中的应用方面进一步研究是有必要的。1.基本概念一，对于函数来说，使函数有实际意义的自变量的集合，叫做函数的定义域。一般地常见定义域的求法是：若是整式表达式，则的定义域是全体实数。若是分式表达式，则的定义域是使分母不为零的所有实数。若是偶次根式表达式，则的定义域是使根号内式子的值不小于零的一切实数奇次根式表达式的定义域是全体实数。若是指数函数且底数和指数都含有，则必须满足指数和底数大于零且不等于。若是某一表达式的零次幂，则底数必须是非零数。若是对数函数表达式，自变量只出现在真数上时，要满足真数上所有式子大于零且式子本身有意义即可；若自变量同时出现在底数与真数上时，要同时满足真数大于零，底数要大于零且不等于。若是包含根号的分式且根号在分母上时，开偶次方的定义域是正数集开奇次方的定义域是非零实数集。若是三角函数式表达式，对于和，其定义域为一切实数；对于，其定义域是不等于的一切实数；对于，其定义域为不等于的一切实数；对于和，则其定义域是；对于，则其定义域是全体实数。涉及到实际问题的函数关系，其定义域必须结合实际来确定。若是由几个部分组成的数学式子，则的定义域是使各部分有意义的自变量所代表的取值范围的集合交集。若是分段函数，则的定义域是各段的并集。注：求定义域时，不要对函数解析式进行变形，以免发生错误。二，定义域的表示法：用不等式表示不等式法。用区间表示区间法。用集合表示集合法。用语言叙述来表示叙述法。2.求函数的定义域第一步：找出每个式子有意义的条件。第二步：根据每个式子的有意义条件列出不等式或不等式组。第三步：解不等式或不等式组，得的定义域。例：求函数的定义域。解：是分式与根式相结合的函数表达式，只有根号下的且才有意义。因此，的定义域为。例：用长为的铁丝编成上下部为半圆，中间部分为矩形的框架，若，则求此框架围成的面积关于的函数解析式，并求出它的定义域。解：因为所以，因此由题意且即，所以函数解析式是，定义域是。3.求根据已知函数的定义域，求复合函数的定义域若已知函数的定义域为，则求复合函数的定义域时，只需要解不等式，该不等式的解集为所求复合函数的定义域。例：求下列函数的定义域：已知函数的定义域为，求函数的定义域；已知函数的定义域为，求函数的定义域。解：令得即所以函数的定义域为。由题得得所以函数的定义域为。注：求函数的定义域时，先分别求出与的定义域与,再求即可得所求函数的定义域。4.根据复合函数的定义域，求原函数的定义域若复合函数的定义域为，则求原函数的定义域时，根据求出函数的值域，即可得到原函数的定义域。例：若函数的定义域为，求函数的定义域。解：因为的定义域为即在中，，令，，则即在中，，所以的定义域为。5.函数定义域的运用5.1相同函数的判断定义域，值域以及对应法则都对应相同的函数叫相同函数。若两个函数的定义域，对应法则相同，则值域是必然相同的。因此，判断函数是否相同函数时，必须先判断定义域，对应法则完全一致，只完全一致，才叫相同函数。例：判断下列函数是否相同函数：与；与；解：因为的定义域为全体实数，而的定义域为，其两个函数的定义域不同，所以与不是相同函数。因为的定义域为全体实数，而的定义域也是全体实数，因此这两个函数是相同函数。5.2将函数解析表达式进行变形或化简例函数：是否能变形为。解：不能。因为函数的定义域为于是当时，可变形为。但是，在时，无意义，也就谈不上恒等变形。例：已知，求。解：因为，是以为自变量的函数，为了求出对应法则，应把化成关于的代数式。6.定义域在函数中的应用定义域是函数的主要元素之一，是研究函数的基础，应用范围很广泛。定义域有用，可是需会用。那怎样应用函数的定义域呢？6.1研究函数值域时定义域的应用例：求下列函数的值域。解：因为其定义域为，所以由而的值域为。因为，所以即，所以，的值域为。6.2求反函数时定义域的应用为了两个函数互为反函数，不仅仅是解析式而言，而且是原函数的定义域与值域分别是反函数的值域与定义域。求反函数时，原函数的定义域对反函数的解析式会有直接影响。例：求，的反函数。解：由得，又因为所以，。6.3求复合函数时定义域的应用例：设，，求复合函数，并指出定义域。解：，定义域为且，又中，而当时，，所以中应用。6.4研究函数最值时定义域的应用在研究函数最值问题时，先建立函数的解析式，画函数图像，求函数的最值，以及讨论函数的其他性质时，都要注意函数的定义域。例：已知，求的最值。解：因为，所以当时，因而函数当在定义域之外，所以在有限区间上。当时，有最大值；当时，有最小值。6.5判断函数奇偶性时定义域的应用函数的奇偶性是在整个定义域上讨论的，无论奇函数还是偶函数，和都同时在内，因此一定是关于原点对称的。如果一个函数的定义域不是关于原点对称的，则可判断该函数是非奇非偶函数。例：判断函数，的奇偶性。解：。虽然，但定义域不是原点对称区间，所以不是偶函数，而是非奇非偶函数。6.6讨论函数单调性时定义域的应用讨论函数的单调性，除了考虑增减区间外，还要考虑该函数的定义域。总之，函数的单调区间是定义域的子区间。例：的单调递减区间。解：由解得或的定义域是。的减区间是函数的单调递减区间。所以的减区间是，因此的单调递减区间是。7.定义域在其他方面的应用7.1定义域在函数图像中的应用函数图像是函数的表现形式之一，因此函数图像也只在定义域中存在，定义域外不存在，也不能画图像，这是因为函数与自变量的制约。所以在做图像之前应先把定义域求出来。例：画出函数的图像。解：因为函数的定义域为 7.2定义域在解三角函数中的应用例：求下列函数的定义域：解：要使函数有意义，必须使，所有函数的定义域为除零以外的全体实数。注意：这里不能把约成，的定义域是全体实数，与是两个不同的函数。因为是对数式，所以因此，函数的定义域是。7.3定义域在解不等式中的应用例：已知且，解不等式。解：由原不等式：当时，该函数是减函数，不等式的解应满足或。当时，不等式的解应满足。综上可知：当时，原不等式的解集为。当时，原不等式的解集为。7.4定义域在解方程中的应用例：解方程。解：两边同乘以得：即解得或。当时，，所以是增根。当时，，所以是原方程的解。这道题中把乘上了原方程而得到了增根且这个增根就是乘式的零点。总之，在解题的过程中，若某一式子乘上原方程会出现增根且这增根是它的零点；若把原方程除以某一式子则会出现漏根现象且这个漏根也是除式的零点。因此这种跟补上就行了。总结定义域是数学中非常重要的概念之一，且贯穿在中学数学的始终。定义域的定义，求法，表示法，应用都很重要，应重点研究。尤其是定义域在函数中的作用很重要，应用很广泛，且任何函数都可以被限制到定义域的子集上。本文主要通过具体的例子和定义介绍了它在相同函数的判断，解析表达式进行变形或化简中的运用，同时定义域在求值域，反函数，最值，奇偶性，单调性，做图像，三角函数，解不等式和解方程中的应用等。函数的定义域是函数的主要性质之一，在实际问题中，还必须考虑所代表的具体的量允许值的范围。定义域主要是在函数中比较重要，比较广泛应用，任何函数都可以被限制到其定义域的子集上，在这里主要讲的是定义域在函数中的应用.不管是简单函数，还是复合函数，定义域是指其中的的取值集合.但实际上定义域的应用不止是这些，还有好多方面的应用，由于我知识水平有限，而在本文中只讲了上面这些方面的应用。本文主要用例举法来介绍了定义域在函数，式，方程，不等式中的应用.参考文献刘玉翘,王元阳.代数函数与解题[M].天津科学技术出版社，1987年11月钱永耀.高中数学复习指导[M].辽宁人民出版社，1982年6月阿布拉江·阿布都瓦克.初等代数上下[M].喀什师范学院，2008年10月名知白，侯文超.高中数学教学八十讲[M].北京师范大学出版社，1982年12月程晓亮，刘影.初等数学研究[M].北京大学出版社，2011年1月[苏联]齐普金.中学数学手册[M].知识出版社，1983年5月李长明，周焕山.初等数学研究[M].高等教育出版社，199