专题9.1 随机抽样、统计图表（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题9.1随机抽样、统计图表【五大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1总体、个体、样本】 5【题型2抽签法与随机数法的应用】 5【题型3抽样方法】 6【题型4统计图表】 7【题型5频率分布直方图】 81、随机抽样、统计图表考点要求真题统计考情分析(1)了解获取数据的基本途径(2)会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样(3)能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性2022年全国甲卷（文数）：第2题，5分2023年新高考Ⅱ卷：第19题，12分从近几年的高考情况来看，高考对随机抽样的考查较少，对统计图表的考查比较稳定，多以选择题、填空题的形式出现，难度不大；有时统计图表会作为条件信息在解答题中出现，与其他知识结合考查，综合性强，需要灵活求解.【知识点1随机抽样】1．总体、个体、样本名称定义总体调查对象的全体.个体从总体中抽取的那部分个体.样本从总体中抽取的那部分个体.样本量样本中包含的个体数.2．简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.(2)（不放回）简单随机抽样的特征①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析.

②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作.

③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算.

④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性.3．两种常见的简单随机抽样方法(1)抽签法

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回

地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量.(2)随机数法

先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量.(3)两种抽样方法的优缺点抽样方法优点缺点适用范围抽签法简单易行.总体量较大时，操作起来比较麻烦.适用于总体中个体数不多的情形.随机数法简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题.总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便.总体量较大，样本量较小的情形.4．分层随机抽样(1)分层随机抽样的概念一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.(2)分层随机抽样的步骤①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层.②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比.③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和为n.④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本.(5)分层随机抽样的特点①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；

②分成的各层互不重叠；

③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量;

④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.5．分层随机抽样的平均数计算在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+.

由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数.

又==，

所以+=+=.

因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.【知识点2统计图表】1．频率分布直方图(1)频率分布表与频率分布直方图的意义

为了探索一组数据的取值规律，一般先要用表格对数据进行整理，或者用图将数据直观表示出来.在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数.

有时，我们更关心各个小组的数据在样本容量中所占比例的大小，所以选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据.

(2)频率分布表与频率分布直方图的制作步骤

与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图.

第一步，求极差

极差为一组数据中最大值与最小值的差.

第二步，决定组距与组数第三步，将数据分组

通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间.

第四步，列频率分布表

计算各小组的频率，作出频率分布表.

第五步，画频率分布直方图

画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示.2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图条形图折线图扇形图特点一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的.用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化.用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.作用及选用情景能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小.能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中.可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况.图例3．统计图表的主要应用(1)扇形图：直观描述各类数据占总数的比例.(2)折线图：描述数据随时间的变化趋势.(3)条形图和直方图：直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.【方法技巧与总结】1．利用按比例分配的分层随机抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，可以进行一定的技术处理，比如将结果取成整数等.2．在按比例分配的分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层的样本平均数分别为，样本平均数为，则.3．频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距，不要和条形图混淆.【题型1总体、个体、样本】【例1】（2024·四川南充·二模）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2∶3∶5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为（

）A．150 B．180 C．200 D．250【变式1-1】（23-24高一下·河北张家口·期末）已知一个总体中有N个个体，用抽签法从中抽取一个容量为10的样本，若每个个体被抽到的可能性是14，则N=（

A．10 B．20 C．40 D．不确定【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）某学校高三年级有男生640人，女生360人．为了解高三学生参加体育运动的情况，采用分层抽样的方法抽取样本，现从男、女学生中共抽取50名学生，则男、女学生的样本容量分别为（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18【变式1-3】（23-24高一下·西藏日喀则·期末）高考结束后，为了分析该校高三年级1000名学生的高考成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩，就这个问题来说，下列说法中正确的是（

）A．100名学生是个体B．样本容量是100C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本D．1000名学生是样本【题型2抽签法与随机数法的应用】【例2】（2024·陕西西安·一模）某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

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3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．457【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）下列抽样试验中，适合用抽签法的是（

）A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验【变式2-2】（2024·云南贵州·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01、02、⋯、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（

）062743132432532709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360701400523261737263890512451793014231021182191A．51 B．25 C．32 D．12【变式2-3】（2024·陕西·一模）我校高三年级为了学生某项身体指标，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650进行编号，001，002，⋯，649，650．从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第7个样本编号是（

）3221183429

7864540732

5242064438

1223435677

35789056428442125331

3457860736

2530073286

2345788907

23689608043256780843

6789535577

3489948375

2253557832

4577892345A．623 B．328 C．072 D．457【题型3抽样方法】【例3】（2024·陕西·二模）某医院有医生750人，护士1600人，其他工作人员150人，用分层抽样的方法从这些人中抽取一个容量为50的样本，则样本中，医生比护士少（

）A．19人 B．18人 C．17人 D．16人【变式3-1】（2024·四川成都·模拟预测）用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（

）A．110，110 B．3C．110，19 D．3【变式3-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（

）A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．抽签法【变式3-3】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在哈尔滨市2024年第一次市模考试中，三所学校高三年级的参考人数分别为500、800,700.现按比例分层抽样的方法从三个学校高三年级中抽取样本，经计算得三所学校高三年级数学成绩的样本平均数分别为92,105,100，则三所学校学生数学成绩的总平均数约为（

）A．101 B．100 C．99 D．98【题型4统计图表】【例4】（2024·辽宁·模拟预测）某高中2023年的高考考生人数是2022年高考考生人数的1.5倍.为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2022年和2023年高考分数达线情况，得到如图所示扇形统计图：

下列结论正确的是（

）A．该校2023年与2022年的本科达线人数比为6:5B．该校2023年与2022年的专科达线人数比为6:7C．2023年该校本科达线人数比2022年该校本科达线人数增加了80%D．2023年该校不上线的人数有所减少【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）当今时代，数字技术作为世界科技革命和产业变革的先导力量，日益融入经济社会发展各领域全过程，深刻改变着生产方式、生活方式和社会治理方式，从而带动了大量的电子产品在市场的销售．现有某商城统计了近两个月在A，B，C三个区域售出的1000个电子产品，其中A，B，C各个区域销量分布的饼状图及售价的频率条形图（按规定这些电子产品的售价均在50,300之间）如图，则在A区域售出的电子产品中，售价在区间(150,200]内比在区间(250,300]内多（

）A．30件 B．114件 C．120件 D．133件【变式4-2】（2024·四川遂宁·三模）某调查机构对某地快递行业从业者进行调查统计，得到快递行业从业人员年龄分布饼状图（图1）、“90后”从事快递行业岗位分布条形图（图2），则下列结论中错误的是（

）A．快递行业从业人员中，“90后”占一半以上B．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数超过总人数的20%C．快递行业从业人员中，从事运营岗位的“90后”的人数比“80前”的多D．快递行业从业人员中，从事技术岗位的“90后”的人数比“80后”的多【变式4-3】（2024·陕西西安·模拟预测）2017年至2022年某省年生产总量及其增长速度如图所示，则下列结论错误的是（

）A．2017年至2022年该省年生产总量逐年增加B．2017年至2022年该省年生产总量的极差为14842.3亿元C．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度逐年降低D．2017年至2022年该省年生产总量的增长速度的中位数为7.6%【题型5频率分布直方图】【例5】（2024·天津武清·模拟预测）某校高三共有200人参加体育测试，将体测得分情况进行了统计，把得分数据按照40,50,50,60,60,70,A．25 B．50 C．75 D．100【变式5-1】（2024·山东·二模）某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为A，则估计获得A的考生人数约为（

）A．100 B．75 C．50 D．25【变式5-2】（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型号芯片的各项指标经过全面检测后，分为I级和Ⅱ级，两种品级芯片的某项指标的频率分布直方图如图所示：若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值K，将该指标大于K的产品应用于A型手机，小于或等于K的产品应用于B型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)若临界值K=60，请估计该公司生产的1000个该型号芯片I级品和1000个Ⅱ级品中应用于A型手机的芯片个数；(2)设K=x且x∈50,55，现有足够多的芯片I级品､Ⅱ级品，分别应用于A型手机､B方案一：直接将该芯片I级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值K的芯片会导致芯片生产商每部手机损失800元；直接将该芯片Ⅱ级品应用于B型手机，其中该指标大于临界值K的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失400元；方案二：重新检测芯片I级品，II级品的该项指标，并按规定正确应用于手机型号，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要130万元；请求出按方案一，芯片生产商损失费用的估计值fx【变式5-3】（2024·四川成都·二模）2024年1月，某市的高二调研考试首次采用了“3+1+2”新高考模式.该模式下，计算学生个人总成绩时，“3+1”的学科均以原始分记入，再选的“2”个学科（学生在政治､地理､化学､生物中选修的2科）以赋分成绩记入.赋分成绩的具体算法是：先将该市某再选科目原始成绩按从高到低划分为A,B,C,D,E五个等级，各等级人数所占比例分别约为15%,35%等级ABCDE比例153535132赋分区间100∼8685∼7170∼5655∼4140∼30已知该市本次高二调研考试化学科目考试满分为100分.(1)已知转换公式符合一次函数模型，若学生甲､乙在本次考试中化学的原始成绩分别为84，78，转换分成绩为78，71，试估算该市本次化学原始成绩B等级中的最高分.(2)现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取100名学生的原始成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，求出图中a的值，并用样本估计总体的方法，估计该市本次化学原始成绩B等级中的最低分.一、单选题1．（2024·江西南昌·模拟预测）已知A,B,C三种不同型号的产品数量之比依次为4:3:7，现用分层抽样的方法抽取容量为N的样本，若样本中A型号产品有20件，则N为（

）A．60 B．70 C．80 D．902．（24-25高一上·全国·单元测试）①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为（

A．分层抽样，简单随机抽样 B．简单随机抽样，简单随机抽样C．简单随机抽样，分层抽样 D．分层抽样，分层抽样3．（2024·河南驻马店·二模）电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（

）A．6人 B．9人 C．12人 D．18人4．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有N个个体的总体中抽取一容量为n的样本，当选取抽签法、随机数法和分层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,pA．p1=p2<p3 B．5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生近视情况形成的原因，采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查，若抽取的小学生人数为70，则抽取的高中生中近视人数为（

）A．10 B．20 C．25 D．406．（2024·云南·二模）本次月考分答题卡的任务由高三16班完成，现从全班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加，将这55位学生按01,02,⋯,55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第6个号码所对应的学生编号为（

）062743132432532709412512631763232616804560111410957774246762428114572042533237322707360751245179301423102118219137263890014005232617A．51 B．25 C．32 D．127．（2024·陕西渭南·模拟预测）在某次高中数学模拟考试中，对800名考生的考试成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间分别为40,50，50,60，60,70，70,80，80,90，90,100.若考生成绩在70,80内的人数为m，考生成绩在80,100内的人数为n，则m−n=（

）A．20 B．10 C．60 D．408．（2024·全国·模拟预测）已知2015—2022年和2023年1～9月某新能源汽车企业的营业收入（单位：亿元）和净利润（单位：亿元）及2015—2022年营业收入的增长率的统计图如图所示，2023年第二、三、四季度的净利润相比上一季度的增长率均为10%，则下列结论正确的是（

A．2015—2022年该企业年营业收入逐年增加B．2015—2022年该企业年营业收入增长率最大的是2015年C．2022年该企业年净利润超过2017—2021年年净利润总和D．2023年第四季度的净利润比第一季度的净利润多约30亿元二、多选题9．（23-24高一下·吉林·阶段练习）某公司生产三种型号的轿车，年产量分别为1500辆、6000辆和2000辆．为检验产品质量，公司质检部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是（

）A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次应抽取9辆、36辆、12辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的可能性相同10．（2024·黑龙江·三模）在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50,100]内，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法错误的是（

）

A．成绩在[70,80)的考生中，甲班人数多于乙班人数B．甲班成绩在[80,90)内人数最多C．乙班成绩在[70,80)内人数最多D．甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小11．（2024·辽宁·二模）下图为某市2023年第一季度全市居民人均消费支出构成图．已知城镇居民人均消费支出7924元，与上一年同比增长4.4％；农村居民人均消费支出4388元，与上一年同比增长7.8％，则关于2023年第一季度该市居民人均消费支出，下列说法正确的是（

）A．2023年第一季度该市居民人均消费支出6393元B．居住及食品烟酒两项的人均消费支出总和超过了总人均消费支出的50％C．城乡居民人均消费支出的差额与上一年同比在缩小D．医疗保健与教育文化娱乐两项人均消费支出总和约占总人均消费支出的20.6％三、填空题12．（2023·山东·一模）为了解某中职学校男生的身体发育情况，对随机抽取的100名男生的身高进行了测量（结果精确到1cm），并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，其中身高超过168cm的男生的人数为.

13．（2024·山东泰安·模拟预测）某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生人．14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是N，缴获的该月生产的n辆坦克编号从小到大为x1，x2，…，xn，即最大编号为xn，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号x1，x2，…，xn，，相当于从0,N中随机抽取的n个整数，这n个数将区间0,N分成n+1个小区间，由于N是未知的，除了最右边的区间外，其他n个区间都是已知的．由于这n个数是随机抽取的，所以可以用前n个区间的平均长度xnn估计所有n+1

四、解答题15．（24-25高一上·全国·课堂例题）有以下两个案例：案例一：从同一批次同类型号的10袋牛奶中抽取3袋分别检测三聚氰胺的含量；案例二：某公司有员工800人，其中具有高级职称的有160人，具有中级职称的有320人，具有初级职称的有200人，其他人员120人，从中抽取容量为40的样本，了解他们的收入情况．(1)你认为这两个案例分别应采用怎样的抽样方式较为合适？(2)在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程．16．（2024·全国·模拟