专题10.3 二项式定理（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题10.3二项式定理【十一大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求二项展开式的特定项】 3【题型2求二项展开式的特定项系数】 3【题型3两个二项式之积问题】 4【题型4三项展开式问题】 4【题型5二项式系数和与系数和问题】 4【题型6二项式系数的最值问题】 5【题型7整除和余数问题】 5【题型8近似计算问题】 6【题型9证明组合恒等式】 6【题型10二项式定理与数列求和】 7【题型11杨辉三角】 81、二项式定理考点要求真题统计考情分析(1)能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题2022年新高考全国I卷：第13题，5分2023年北京卷：第5题，4分2023年天津卷：第11题，5分2023年上海卷：第10题，5分2024年北京卷：第4题，4分2024年天津卷：第11题，5分2024年上海卷：第6题，5分从近几年的高考情况来看，二项式定理是高考的热点内容，主要考查二项展开式的通项、展开式的特定项或特定项的系数以及各项系数和等问题，往往以选择题或填空题的形式考查，难度中等，复习时需要加强这方面的练习，解题时要学会灵活求解.【知识点1二项式定理】1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有

=++++++.(*)

公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.(2)二项展开式的规律

①二项展开式一共有(n+1)项.

②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.

③每一项中a和b的幂指数之和为n.2．二项式系数的性质对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即)增减性当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值最大值当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大各二项式

系数的和【知识点2展开式中的通项问题】1．求二项展开式的特定项的解题策略求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可.2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略(1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.(2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.【知识点3二项式系数的和与各项系数的和问题】1．赋值法“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2．系数之和问题的解题策略若，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项之和为，偶数项系数之和为.3．展开式的逆用根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.【知识点4二项式系数最大项问题】1．二项式系数最大项的确定方法当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第和第项的二项式系数开式中第最大，最大值为或.【方法技巧与总结】1．.2．.【题型1求二项展开式的特定项】【例1】（2024·辽宁·模拟预测）2x−13x8的展开式中的常数项为（

）A．112 B．56 C．−56 D．−112【变式1-1】（2024·辽宁锦州·模拟预测）二项式3−x+1A．5564 B．−552 C．−【变式1-2】（2024·河南·模拟预测）已知x2−a3xA．6项 B．5项 C．4项 D．3项【变式1-3】（2024·河北廊坊·模拟预测）x−2xnA．−160 B．−20 C．20 D．160【题型2求二项展开式的特定项系数】【例2】（2024·北京·模拟预测）在(x−2x)5的展开式中，xA．−20 B．20 C．−40 D．40【变式2-1】（2023·福建泉州·模拟预测）1x−x10的展开式中，A．−45 B．−10 C．10 D．45【变式2-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）2x−1x27展开式中含A．420 B．−420 C．560 D．−560【变式2-3】（23-24高二下·海南·期末）x2−x6的展开式中，A．154 B．52 C．54【题型3两个二项式之积问题】【例3】（2024·山西长治·模拟预测）x+2yx−y5的展开式中x3A．﹣10 B．0 C．10 D．30【变式3-1】（2024·西藏·模拟预测）在yx−2xyx+yA．−4 B．4 C．−8 【变式3-2】（2024·吉林长春·模拟预测）1+x+x2(1−x)10的展开式中A．28 B．35 C．36 D．56【变式3-3】（2024高三·全国·专题练习）已知ax+12x−17的展开式中x3的系数为448，则该展开式中xA．56 B．−98 C．106 D．−112【题型4三项展开式问题】【例4】（2024·新疆喀什·三模）x2+x+15展开式中，xA．20 B．30 C．25 D．40【变式4-1】（2024·河北沧州·二模）在(x−2y+3z)6的展开式中，xy2A．6480 B．2160 C．60 D．−2160【变式4-2】（2024·新疆乌鲁木齐·一模）x2−x+y5的展开式中xA．−30 B．−20 C．20 D．30【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）在x+1−2x2A．721 B．-61 C．181 D．-59【题型5二项式系数和与系数和问题】【例5】（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式x−12xA．常数项为154 C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为−32【变式5-1】（2024·四川乐山·三模）设(x+2024)(2x−1)2023=a0A．1 B．−1 C．2024 D．−2024【变式5-2】（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）多项式ax+16的x2项系数比x3A．1 B．243 C．64 D．0【变式5-3】（2024·广东江门·一模）已知1+x4+1+x5+⋯+A．680 B．−680 C．1360 D．−1360【题型6二项式系数的最值问题】【例6】（2024·四川雅安·一模）(1−x)10的展开式中，系数最小的项是（

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项【变式6-1】（2024·江西南昌·三模）若2x2−A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项【变式6-2】（2024·辽宁丹东·二模）在x−1n的二项展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则n=（

A．5 B．6 C．7 D．8【变式6-3】（23-24高三上·河南安阳·阶段练习）已知x−2xA．−448 B．−1024 C．−1792 D．−5376【题型7整除和余数问题】【例7】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）若Cn1x+Cn2xA．x=4，n=6 B．x=4，n=8C．x=5，n=7 D．x=6，n=9【变式7-1】（2024·湖南怀化·二模）若(2x+1)100=a0+A．4 B．5 C．6 D．7【变式7-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数a,b，若它们除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡bmodm．若a=C171A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【变式7-3】（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的1314+1年后是（A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年【题型8\t"/gzsx/zsd29549/_blank"\o"近似计算问题"近似计算问题】【例8】（2024·湖南·二模）某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为3%，某人存入大额存款a0元，按照复利计算10年后得到的本利和为a10，下列各数中与aA．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34【变式8-1】（2024·安徽合肥·三模）某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为（

A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9【变式8-2】（2024·北京西城·二模）某放射性物质的质量每年比前一年衰减5%，其初始质量为m0，10年后的质量为m′，则下列各数中与mA．70% B．65%C．60% D．55%【变式8-3】（2024·江西南昌·一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，1+x当x比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：1+xa≈1+α⋅x，并且x的值越小，所得结果就越接近真实数据.用这个方法计算5=用这样的方法，估计325的近似值约为（

A．2.922 B．2.926 C．2.928 D．2.930【题型9\t"/gzsx/zsd29550/_blank"\o"证明组合恒等式"证明组合恒等式】【例9】（2024高三·全国·专题练习）k=02n(−1)【变式9-1】（2024高三·全国·专题练习）求证：C2n+10【变式9-2】（2024高三·全国·专题练习）求证：k=02n【变式9-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知函数fn(x)=(1+λx)n=(1)若n=8，a7=1024，求(2)若λ=−1，求证：k=0n【题型10\t"/gzsx/zsd29551/_blank"\o"二项式定理与数列求和"二项式定理与数列求和】【例10】（2024·江西·模拟预测）设2x2−17xA．21 B．64 C．78 D．156【变式10-1】（23-24高二·全国·课后作业）已知2−xnn≥2,n∈N，展开式中x的系数为fn，则A．2019110 B．2019505 C．10091010【变式10-2】（2024·全国·模拟预测）设n∈N∗，在数列an中，a1=1(1)求an(2)在等差数列bn中，b1=【变式10-3】（2024·山东·模拟预测）设a,b∈Z，a≠0.如果存在q∈Z使得b=aq，那么就说b可被a整除（或a整除b），记做a|b且称b是a的倍数，a是b的约数（也可称为除数、因数）．b不能被a整除就记做a∤b．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则a|c；②a，b互质，若a|c，b|c，则ab|c；③若a|bi，则(1)若数列an满足，an=2n−1，其前n(2)若n为奇数，求证：an+b(3)对于整数n与k，Fn,k=r=1nr【题型11杨辉三角】【例11】（2024·河南新乡·三模）如图所示的“分数杨辉三角形”被我们称为莱布尼茨三角形，是将杨辉三角形中的Cnr换成1(n+1)

A．1nCnC．1(n+1)Cn【变式11-1】（2024·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（

）A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai，则D．第34行中第15个数与第16个数之比为2:3【变式11-2】（23-24高二下·山东菏泽·期末）在(1+x+x2)n=Dn0+(1)当n=2时，写出三项式系数D20，D21，D2(2)a+bnn∈N的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当0≤n≤4，n∈(3)求D2016【变式11-3】（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式(1)求图2中第10行的各数之和；(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.一、单选题1．（2024·江西·一模）(2x2A．147 B．−147 C．63 D．−632．（2024·河南·模拟预测）2x+1x5+xA．30 B．40 C．70 D．803．（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）在1+x61+1y4A．200 B．180 C．150 D．1204．（2024·湖北·模拟预测）22024被9除的余数为（

A．1 B．4 C．5 D．85．（2024·陕西西安·模拟预测）在(x+1)(x+2)(x+m)(x+n)的展开式中，含x3的项的系数是7，则m+n=（

A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·湖北·模拟预测）若3x−1xnA．8 B．28 C．70 D．2527．（2024·广东佛山·模拟预测）已知a=1+C2012+CA．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是8．（23-24高二下·云南·期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究，则下列结论错误的是（

）A．1+B．第6行､第7行､第8行的第7个数之和为第9行的第8个数C．第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2:11D．第2020行的第1010个数最大二、多选题9．（2024·山西临汾·三模）在2x−3A．所有奇数项的二项式系数的和为128B．二项式系数最大的项为第5项C．有理项共有两项D．所有项的系数的和为310．（2024·江苏·模拟预测）若x2+x−210A．a0=1024 C．a19=10 11．（2024·山西·三模）已知函数fx=4x−1A．a3=43×C．a1+a2三、填空题12．（2024·河北保定·三模）在(x+ax2)6(a>0)13．（2024·四