专题10.4 随机事件、频率与概率（举一反三）（新高考专用）（学生版） 2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

专题10.4随机事件、频率与概率【六大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1随机事件与样本空间】 3【题型2随机事件的关系与运算】 4【题型3互斥事件与对立事件的概率】 4【题型4频率与概率】 5【题型5生活中的概率】 6【题型6频率估计概率在统计中的应用】 61、随机事件、频率与概率考点要求真题统计考情分析(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别(2)理解事件间的关系与运算2023年上海卷：第5题，4分从近几年的高考情况来看，随机事件、频率与概率的考查相对较少，主要考查以频率估计概率、互斥事件与对立事件等内容，往往以选择题或填空题的形式考查，难度较易；有时以频率估计概率也会在解答题中出现，与统计等知识结合.【知识点1频率与概率】1．频率与概率的区别频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同.概率本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变.举例辨析例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数，2．频率的稳定性(用频率估计概率)

大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率(A)估计概率P(A).【知识点2随机事件】1．事件(1)随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.

(2)必然事件

A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件.

(3)不可能事件

空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件.2．事件的关系和运算(1)两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生导致B发生并事件（和事件）A与B至少一个发生或交事件（积事件）A与B同时发生或互斥（互不相容）A与B不能同时发生互为对立A与B有且仅有一个发生，(2)多个事件的和事件、积事件

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，，A∪B∪C∪(或A+B+C+)发生当且仅当A，B，C，中至少一个发生，A∩B∩C∩(或ABC)发生当且仅当A，B，C，同时发生.【知识点3随机事件的关系与概率】1．互斥事件、对立事件的判断判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.2．互斥事件的概率求法求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1—P(A)求出所求概率，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法比较简便.【方法技巧与总结】1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.2．概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即.【题型1随机事件与样本空间】【例1】（23-24高二·上海·课堂例题）下列事件：①抛掷一枚硬币，落下后正面朝上；②从某三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；③实数a，b都不为0，但a2+b2=0；④某地区明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中为随机事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【变式1-1】（23-24高一上·全国·课后作业）高一(1)班计划从A，B，C，D，E这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间中样本点的个数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【变式1-2】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（

）①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2③“明天上海要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【变式1-3】（2024高一下·全国·专题练习）下列事件为随机事件的是（）A．投掷一枚骰子，向上一面的点数小于7B．投掷一枚骰子，向上一面的点数等于7C．下周日下雨D．没有水和空气，人也可以生存下去【题型2随机事件的关系与运算】【例2】（2024·全国·模拟预测）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记“点数之和为5”是事件A，“点数之和为4的倍数”是事件B，则（

）A．A+B为不可能事件 B．A与B为互斥事件C．AB为必然事件 D．A与B为对立事件【变式2-1】（2024·四川宜宾·三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（

）A．事件1与事件3互斥 B．事件1与事件2互为对立事件C．事件2与事件3互斥 D．事件3与事件4互为对立事件【变式2-2】（2024·四川内江·三模）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（

）A．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件B．事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件C．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件【变式2-3】（2024·广西柳州·模拟预测）从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治【题型3互斥事件与对立事件的概率】【例3】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知随机事件A，B满足P(A)=13，P(B)=34，P(A∪B)=5A．116 B．18 C．316【变式3-1】（23-24高一下·江苏常州·期末）已知事件A,B互斥，它们都不发生的概率为13，且PA=2PB，则A．13 B．49 C．59【变式3-2】（23-24高一下·广东肇庆·期末）已知样本空间Ω=1,2,3,4，事件A=1,2，B=A．34 B．12 C．14【变式3-3】（23-24高一下·北京·期末）已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且PC=0.8,PB=0.3，则A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5【题型4频率与概率】【例4】（23-24高一下·广西河池·期末）下列说法中正确的是（

）A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性C．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1【变式4-1】（23-24高一下·山东枣庄·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（

）A．2% B．3% C．6% D．8%【变式4-2】（23-24高一下·山西长治·期末）下列说法正确的是（

）A．甲、乙二人进行羽毛球比赛，甲胜的概率为34B．概率是随机的，在试验前不能确定C．事件A，B满足A⊆B，则PD．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%【变式4-3】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（

）A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率是7B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次正面向上C．某地发行彩票，其回报率为47%，有人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D．大量试验后，可以用频率近似估计概率【题型5生活中的概率】【例5】（23-24高一下·青海海南·期末）某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为15%，则下列说法正确的是（

A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖【变式5-1】（23-24高一下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（

）A．随着试验次数的增大，随机事件发生的频率会逐渐稳定于该随机事件发生的概率B．某种福利彩票的中奖概率为11000C．连续100次掷一枚硬币，结果出现了49次反面，则掷一枚硬币出现反面的概率为49D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是：该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为明天不会降水【变式5-2】（24-25高二·全国·课后作业）张明与张华两人做游戏,下列游戏中不公平的是()①抛掷一枚骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则张华获胜;②同时抛掷两枚硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则张华获胜;③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则张华获胜;④张明、张华两人各写一个数字6或8,如果两人写的数字相同张明获胜,否则张华获胜.A．①② B．② C．②③④ D．①②③④【变式5-3】（2024·河南·二模）三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（

）A．动力学方程的知识 B．概率与统计的知识C．气象预报模型的知识 D．迷信求助于神灵【题型6频率估计概率在统计中的应用】【例6】（23-24高一上·广东梅州·开学考试）两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出统计图如图所示，则符合这一结果的试验是（

）

A．抛一枚硬币，正面朝上的概率；B．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率；C．转动如图所示的转盘，转到数字为奇数的概率；D．从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率．【变式6-1】（2024·四川绵阳·三模）某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（

）A．a=0.005B．估计这批产品该项质量指标的众数为45C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在50,70的概率约为0.5【变式6-2】（2024·甘肃陇南·一模）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A,B,C三个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费80元，50元，30元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务，甲分厂加工成本费为40元/件，乙分厂加工成本费为35元/件．该厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABC频数453025乙分厂产品等级的频数分布表等级ABC频数401050(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接加工业务？【变式6-3】（23-24高一上·福建宁德·期末）某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如下该种产品日需求量的频率分布直方图．

(1)求图中a的值，并估计日需求量的众数；(2)某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．（ⅰ）将S表示为x的函数；（ⅱ）据频率分布直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．一、单选题1．（24-25高二上·吉林·阶段练习）若随机试验的样本空间为Ω=0,1,2，则下列说法不正确的是（A．事件P=1,2是随机事件 B．事件Q=C．事件M=−1,−2是不可能事件 D．事件−1,02．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）下列说法一定正确的是（

）A．一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况B．随机事件发生的概率与试验次数无关C．若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元D．一个骰子掷一次得到2的概率是163．（23-24高二上·四川巴中·期末）如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（

）A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮4．（24-25高三上·重庆·开学考试）某池塘中饲养了A､B两种不同品种的观赏鱼，假设鱼群在池塘里是均匀分布的.在池塘的东､南､西三个采样点捕捞得到如下数据（单位：尾），若在采样点北捕捞到20尾鱼，则品种A约有（

）采样点品种A品种B东209南73西178A．6尾 B．10尾 C．13尾 D．17尾5．（2024·浙江温州·三模）设A,B为同一试验中的两个随机事件，则“PA+PB=1”是“事件A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2024·湖南岳阳·模拟预测）从1，2，3，4，5中任取2个数，设事件A=“2个数都为偶数”，B=“2个数都为奇数”，C=“至少1个数为奇数”，D=“至多1个数为奇数”，则下列结论正确的是（

）A．A与B是互斥事件 B．A与C是互斥但不对立事件C．B与D是互斥但不对立事件 D．C与D是对立事件7．（23-24高二上·湖北荆州·期末）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1~5之间的随机数：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（

）A．920 B．12 C．11208．（2024·四川绵阳·模拟预测）某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（

）

A．估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天B．估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3C．估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时D．估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时二、多选题9．（23-24高一下·内蒙古通辽·期末）下列事件中，是必然事件的是（

）A．明天北京市不下雨B．在标准大气压下，水在4℃时结冰C．早晨太阳从东方升起D．x∈R，则x的值不小于010．（2024·全国·模拟预测）某校高三年级有（1），（2），（3）三个班，一次期末考试，统计得到每班学生的数学成绩的优秀率（数学成绩在120分以上的学生人数与该班学生总人数之比）如表所示：班级（1）（2）（3）优秀率80%85%75%则下列说法一定正确的是（

）A．（2）班学生的数学成绩的优秀率最高B．（3）班的学生人数不一定最少C．该年级全体学生数学成绩的优秀率为80%D．若把（1）班和（2）班的数学成绩放在一起统计，得到优秀率为83%，则（1）班人数多于（2）班人数11．（2024·河北沧州·一模）某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A：只参加科技游艺活动；事件B：至少参加两种科普活动；事件C：只参加一种科普活动；事件D：一种科普活动都不参加；事件E：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（

）A．A与D是互斥事件 B．B与E是对立事件C．E=C∪D D．A=C∩E三、填空题12．（23-24高一下·山西太原·期末）投掷两枚质地均匀的硬币，用ai表示“第i枚硬币正面朝上”，bi表示“第i枚硬币反面朝上”i=1,2，则该试验的样本空间Ω13．（2024·全国·模拟预测）设A,B是随机事件，且PA=38,PB14．（2024·重庆·模拟预测）为研究吸烟是否与患肺癌有关，某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法调查了10000人，已知非吸烟者占比75%，吸烟者中患肺癌的有63人，根据统计结果表明，吸烟者患肺癌的概率是未吸烟者患肺癌的概率的4.2倍，则估计本次研究调查中非吸烟者患肺癌的人数是四、解答题15．（23-24高二·上海·课堂例题）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象的例子．（1）明天太阳升起；（2）明天上海局