数学自我小测：应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系是（）A．α〉βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°2．如图所示，设A，B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为（）A．50eq\r（2）mB．50eq\r(3）mC．25eq\r（2)mD．eq\f(25\r(2)，2)m3．如图所示，为测一棵树的高度，在地面上选取A，B两点,从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．（30+30eq\r(3))mB．（30＋15eq\r（3)）mC．（15＋30eq\r（3))mD．（15＋3eq\r(3）)m4．在船A上测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后，于B处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（sin15°＝\f（\r（6)－\r(2),4））)（）A．eq\f（15（\r（6）－\r(2)）,2)海里B．eq\f(15\r（2)－5\r(6）,2）海里C．eq\f(15(\r(6)－\r(2）），4）海里D．eq\f(15\r（2）－5\r（6），4)海里5．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔S在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A．20（eq\r（6）＋eq\r(2）)海里/时B．20（eq\r(6）－eq\r（2））海里/时C．20（eq\r(6）＋eq\r(3)）海里/时D．20(eq\r(6）－eq\r(3））海里/时6．在湖面上高h米处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，则云距湖面的高度为________米．7．如图,某炮兵阵地位于A点，两观察所分别位于C，D两点．已知△ACD为正三角形，且DC＝eq\r（3)km,当目标出现在B时，测得∠CDB＝45°,∠BCD＝75°，则炮兵阵地与目标的距离为________（精确到0．01km)．8．如图所示，飞机的航向和山顶在同一个平面内，已知飞机的高度为海拔hkm，速度为vkm/s，飞行员先看到山顶的俯角为α,经过ts后又看到山顶的俯角为β，求山顶的海拔高度．(用h，v，α，β等表示）9．在△ABC中,角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos2A－3cos（B＋C)＝1．（1）求角A的大小;（2)若△ABC的面积S＝5eq\r（3），b＝5，求sinBsinC的值．

参考答案1.解析：要正确理解仰角、俯角的含义，准确地找出仰角、俯角的确切位置,如图，在A处望B处的仰角α与从B处望A处的俯角β是内错角(根据水平线平行)，即α＝β．答案:B2。解析：在△ABC中，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠ABC＝30°．又AC＝50m,由正弦定理，得AB＝eq\f(AC,sin∠ABC)×sin∠ACB＝eq\f(50,sin30°）×sin45°＝100×eq\f（\r(2),2）＝50eq\r(2）(m)．答案：A3.解析：设树高为hm．由正弦定理，得eq\f（60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°），∴PB＝eq\f(60×\f(1，2),sin15°）＝eq\f(30,sin15°），∴h＝PB·sin45°＝30＋30eq\r(3)(m)．答案：A4.解析:如图所示，设灯塔为C，由题意可知，在△ABC中，∠BAC＝15°，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝30×0．5＝15（海里）,所以由正弦定理，得eq\f(BC,sin∠BAC）＝eq\f(AB,sinC），可求得BC＝eq\f（15，sin120°）·sin15°＝eq\f(15，\f(\r(3)，2)）×eq\f（\r(6）－\r(2),4）＝eq\f(15\r(2)－5\r（6),2)(海里)．答案:B5。答案：B6。解析：如图，设湖面上高h米处为A，测得云C的仰角为α,测得C在湖中之影D的俯角为β,CD与湖面交于M，过A的水平线交CD于E．设云高CM＝x,则CE＝x－h，DE＝x＋h，AE＝eq\f（x－h,tanα)．又AE＝eq\f（x＋h,tanβ),∴eq\f（x－h,tanα）＝eq\f（x＋h，tanβ）．整理，得x＝eq\f（tanβ＋tanα，tanβ－tanα）·h＝－eq\f（sin(α＋β），sin(α－β））h．答案：－eq\f（sin（α＋β),sin(α－β)）h7。解析：在△BCD中，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∴∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°．由正弦定理，得BD＝eq\f(CDsin75°，sin60°）＝eq\f(1,2)（eq\r（6）＋eq\r（2))．在△ABD中，∠ADB＝45°＋60°＝105°，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos105°＝3＋eq\f(1，4)(eq\r(6）＋eq\r（2))2＋2×eq\r（3)×eq\f（1,2)（eq\r(6）＋eq\r（2)）×eq\f(1，4）（eq\r(6)－eq\r(2）)＝5＋2eq\r(3）．∴AB＝eq\r(5＋2\r(3)）≈2．91（km）．∴炮兵阵地与目标的距离约是2．91km．答案:2．91km8.解：根据题设条件，在△ABC中，∠BAC＝α,∠ABC＝180°－β,AB＝vt(km）．设山顶的海拔高度为xkm,则AB边上的高为（h－x)km．在△ABC中，根据正弦定理可得eq\f（AC,sin（180°－β))＝eq\f(AB,sinC)，∴eq\f(AC,sinβ）＝eq\f（AB，sin(β－α))＝eq\f（vt,sin(β－α)），∴AC＝eq\f（sinβ，sin(β－α))vt，∴h－x＝AC·sinα＝eq\f（sinβ·sinα,sin（β－α）)vt，∴x＝h－eq\f（sinαsinβ，sin(β－α))vt．∴山顶的海拔高度为eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(h－\f（sinαsinβ·vt，sin(β－α））))km．9。解:（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即（2cosA－1）（cosA＋2)＝0，解得cosA＝eq\f（1，2)或cosA＝－2（舍去)．因为0〈A〈π,所以A＝eq\f（π，3)．(2)由S＝eq\f（1，2)bcsinA＝eq\f（1,2）bc·eq\f（\r（3)，2）＝eq\f(\r(3),4）bc＝5eq\r(3)，得bc＝