数学自我小测：一般形式的柯西不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．已知aeq\o\al(2,1）＋aeq\o\al(2,2）＋…＋aeq\o\al（2,n)＝1，xeq\o\al(2,1）＋xeq\o\al（2，2)＋…＋xeq\o\al(2,n）＝1,则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是（)A．1B．2C．3D．42．已知实数a，b,c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，则aA．1B．2C．3D．43．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是（)A．1B．nC．n2D．eq\f（1，n）4．若实数x＋y＋z＝1，则2x2＋y2＋3z2的最小值为（）A．1B．6C．11D．eq\f（6，11）5．已知a＋b＋c＝1,且a,b，c＞0，则eq\f（2，a＋b)＋eq\f(2，b＋c）＋eq\f(2，c＋a)的最小值为()A．1B．3C．6D．96．设a，b，c为正数，则（a＋b＋c）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，a）＋\f(9,b）＋\f（36，c））)的最小值是________．7．设x,y，z∈R，若x2＋y2＋z2＝4，则x－2y＋2z的最小值为________．8．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，则x2＋4y2＋z2的最小值为________．9．在△ABC中，设其各边长分别为a,b，c,外接圆半径为R,求证：（a2＋b2＋c2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，sin2A）＋\f(1，sin2B)＋\f(1，sin2C))）≥36R2。10．已知二次三项式f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时,必有f（x1）·f(x2)≥1。

参考答案1．解析:（a1x1＋a2x2＋…＋anxn）2≤（aeq\o\al(2，1)＋aeq\o\al(2,2）＋…＋aeq\o\al（2,n))·（xeq\o\al(2，1)＋xeq\o\al（2,2)＋…＋xeq\o\al（2，n）)＝1×1＝1.当且仅当ai＝xi＝eq\f（\r（n),n)（i＝1，2，…，n）时等号成立．∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1。答案:A2．解析：由柯西不等式，得(2b2＋3c2＋6d2)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）＋\f(1,3)＋\f(1,6))）≥（b＋c＋d)2，即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2,当且仅当eq\f(\r(2)b，\r(\f(1,2）））＝eq\f（\r(3)c,\r(\f（1，3)））＝eq\f(\r(6)d,\r（\f（1,6))）时等号成立．又b＋c＋d＝3－a，2b2＋3c2＋6d2＝5－a2故5－a2≥（3－a）2，解得1≤a≤2，即a的最大值是2。答案：B3．解析：设n个正数为x1，x2,…，xn，由柯西不等式，得(x1＋x2＋…＋xn）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，x1）＋\f（1，x2)＋…＋\f（1，xn）））≥eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\r(x1)×\f（1,\r(x1））＋\r（x2)×\f(1,\r（x2）)＋…＋\r(xn)×\f(1,\r(xn））)）2＝（1＋1＋…＋1)2＝n2。当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号．答案：C4．解析：∵(2x2＋y2＋3z2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）＋1＋\f(1，3)))≥eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r(2）x·\f(1，\r（2)）＋y·1＋\r(3)z·\f（1，\r(3）)））2＝(x＋y＋z）2＝1。∴2x2＋y2＋3z2≥eq\f(1，\f（1，2)＋1＋\f(1,3）)＝eq\f（6,11)，当且仅当x＝eq\f（3，11），y＝eq\f(6,11），z＝eq\f（2，11）时等号成立．∴2x2＋y2＋3z2的最小值为eq\f(6，11).答案：D5．解析:∵a＋b＋c＝1，∴eq\f（2，a＋b)＋eq\f（2,b＋c)＋eq\f(2,c＋a)＝2(a＋b＋c）·eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，a＋b)＋\f(1,b＋c)＋\f（1,c＋a）)）＝［(a＋b)＋（b＋c)＋（c＋a)]·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,a＋b)＋\f（1,b＋c)＋\f（1，c＋a）))≥(1＋1＋1）2＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3）时等号成立．答案：D6．解析：(a＋b＋c)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4，a）＋\f(9，b)＋\f（36，c))）＝[（eq\r(a））2＋（eq\r(b）)2＋(eq\r（c））2]eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2,\r(a)）)）2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3，\r（b）)))2＋\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(6,\r（c）))）2)）≥eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（a)·\f(2，\r(a))＋\r(b)·\f（3,\r(b））＋\r(c）·\f（6,\r(c））））2＝（2＋3＋6）2＝121。当且仅当eq\f（a,2）＝eq\f（b,3)＝eq\f(c,6）时等号成立．答案:1217．解析:由柯西不等式得(x2＋y2＋z2）［12＋(－2)2＋22］≥(x－2y＋2z)2，∴（x－2y＋2z）2≤4×9＝36。当且仅当eq\f（x，1）＝eq\f（y,－2)＝eq\f（z,2）＝k，k＝±eq\f（2，3）时，上式取得等号，当k＝－eq\f(2,3)时，x－2y＋2z取得最小值－6.答案：－68．解析：由柯西不等式得（x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.∵x＋2y＋z＝1.∴3(x2＋4y2＋z2）≥1。即x2＋4y2＋z2≥eq\f（1，3)。当且仅当x＝2y＝z＝eq\f（1,3），即x＝eq\f（1，3)，y＝eq\f（1,6)，z＝eq\f(1，3）时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为eq\f（1,3).答案：eq\f(1，3)9．证明：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b，sinB）＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴(a2＋b2＋c2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，sin2A)＋\f(1,sin2B）＋\f(1,sin2C）)）≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a,sinA)＋\f(b，sinB）＋\f（