数学自我小测：数列的递推公式（选学）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精自我小测1．数列｛an｝满足a1＝1，an＝an－1＋n（n≥2）,则a5为()A．13B．14C．15D．162．在数列{an｝中，a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n）－1（n≥1），则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于（)A．－1B．1C．0D．23．已知在数列｛an}中，a1＝b（b为任意正数），an＋1＝－eq\f（1，an＋1）(n＝1，2，3，…),能使an＝b的n的数值可以是（）A．14B．15C．16D．174．若数列{an｝满足：an＋1＝1－eq\f(1，an）,且a1＝2，则a2015等于（）A．1B．2C．eq\r（2)D．eq\f（1，2)5．已知数列｛an｝中，a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2），则通项公式为（）A．3nB．2nC．nD．eq\f(1,2）n6．已知在数列{an}中，an＝2n＋1．在数列｛bn}中，b1＝a1，当n≥2时，bn＝，则b4＝________，b5＝________．7．已知a1＝1,an＋1＝eq\f(2an，an＋2）(n∈N＋)，依次写出{an}的前5项为________,归纳出an＝________．8．若数列{an｝满足eq\f（an＋2，an＋1）＋eq\f（an＋1，an)＝k（k为常数），则称数列｛an}为等比和数列,k称为公比和．已知数列{an｝是以3为公比和的等比和数列,其中a1＝1，a2＝2，则a2012＝________．9．已知a，b为两个正数，且a〉b,设a1＝eq\f(a＋b,2），b1＝eq\r（ab)，当n≥2，n∈N＋时,an＝eq\f（an－1＋bn－1，2）,bn＝eq\r（an－1bn－1)．(1)求证：数列{an｝是递减数列,数列｛bn}是递增数列;（2)求证：an＋1－bn＋1<eq\f（1,2)（an－bn)．10．已知数列｛an}满足a1＝2,an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，n)）),写出该数列的前四项并求数列的通项公式．参考答案1．解析：由an＝an－1＋n（n≥2)，得an－an－1＝n,则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15．答案：C2．解析：由已知an+1＝aeq\o\al(2，n)－1＝(an＋1）（an－1)，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1,∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1．答案：A3．解析：∵a1＝b，an+1＝－eq\f(1,an＋1）,∴a2＝－eq\f（1，b＋1），a3＝－eq\f(b＋1，b)，a4＝b．∴｛an｝的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，∴a7＝a10＝a13＝a16＝b．故选C．答案：C4．解析：由an+1＝1－eq\f(1，an），a1＝2，得a2＝1－eq\f（1，2）＝eq\f(1，2)，a3＝1－2＝－1,a4＝2，…，由此可见，数列{an｝的项是以3为周期重复出现的,故a2015＝a3×671+2＝a2＝eq\f（1，2），故选D．答案：D5．答案:B6．解析：题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系,可以逐个推导．∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，∴b1＝a1＝3，b2＝＝a3＝7，b3＝＝a7＝15,b4＝＝a15＝31，b5＝＝a31＝63．答案：31637．解析：已知题中已给出{an｝的第1项即a1＝1，根据递推公式：an+1＝eq\f(2an,an＋2)，将n＝2，3，4，5依次代入可得这个数列的前5项，∴a2＝eq\f(2，3)，a3＝eq\f（1，2）＝eq\f（2，4)，a4＝eq\f（2,5)，a5＝eq\f(1，3)＝eq\f（2,6)．∴an＝eq\f(2,n＋1）．答案：1，eq\f（2,3)，eq\f(1,2），eq\f(2,5），eq\f(1,3)eq\f(2,n＋1)8．答案:210069．证明：（1)易知对任意n∈N+，an〉0,bn>0．由a≠b，可知eq\f(a＋b，2)>eq\r（ab），即a1〉b1．同理，eq\f（a1＋b1,2)〉eq\r(a1b1），即a2〉b2．可知对任意n∈N+，an>bn．所以an+1－an＝eq\f（an＋bn，2)－an＝eq\f（bn－an，2）〈0,所以数列{an｝是递减数列．又bn+1－bn＝eq\r（anbn）－bn＝eq\r(bn）(eq\r（an)－eq\r(bn）)>0,所以数列｛bn}是递增数列．(2）an+1－bn+1＝eq\f（an＋bn,2)－eq\r（anbn)〈eq\f（an＋bn,2）－eq\r（bnbn)＝eq\f(1,2）(an－bn）．∴an+1－bn+1＜eq\f(1，2）(an－bn)．10．解：∵a1＝2，an+1＝an＋lneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n）)),∴a2＝a1＋ln(1＋1)＝2＋ln2，a3＝a2＋lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，2)）)＝2＋ln2＋lneq\f(3,2)＝2＋ln3,a4＝a3＋lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3)）)＝2＋ln3＋lneq\f（4，3)＝2＋ln4．由an+1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,n)))可得：an+1－an＝lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n)））＝lneq\f(n＋1，n），∴an＝(an－an－1)＋（an－1－an－2）＋（an－2－an－3）＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1）＋a1＝lneq\f(n,n－1)＋lneq\f(n－1,n－2）＋lneq\f（n－2,n－3）＋…＋lneq