2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈工大附中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈工大附中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知数集A、B满足：A∩B={2,3}，A∪B={1,2,3,4}，若1∉A，则一定有(

)A.1∈B B.1∉B C.4∈B D.4∉A2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+aA.60 B.72 C.120 D.1443.下列说法正确的是(

)A.“a<b”是“1a>1b”的必要不充分条件

B.“x>0”是“x>2”的充分不必要条件

C.若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2)4.已知函数f(x)=(2x+a⋅2−x)cosxA.−1 B.1 C.−2 D.25.已知向量a=cosθ,sinθ，b=2,−1，若A.13 B.35 C.456.连云港海滨浴场是我省最优质的天然海滨浴场，浪缓滩平，水清沙细.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用ID=I0e−KD表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数，D(单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I0(单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光强.已知某海区5米深处的光强是海面光强的40%，则该海区消光系数KA.0.2 B.0.18 C.0.16 D.0.147.如图，某港口某天从6ℎ到18ℎ的水深y(单位：m)与时间x(单位：ℎ)之间的关系可用函数f(x)=Acos(ωx+φ)+5(A>0,ω>0,|φ|<π2)近似刻画，据此可估计当天12ℎ的水深为(

)A.72m B.C.(5−328.设a=ln1.02，b=sin0.02，c=151，则a，b，c大小关系为(

)A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(x,1),b=(4,2)，则A.若a/​/b，则x=2

B.若a⊥b，则x=12

C.若x=3，则向量a与向量b的夹角的余弦值为7210

10.已知复数z满足zi=3i−1，则下列说法正确的是A.z的虚部为i

B.z−2i=z

C.若复数z1，z2满足z1=z2=2，且z111.已知函数f(x)=2sinxcosx−23sin2A.函数f(x)的最小正周期为π

B.直线x=π6是函数f(x)的图象的一条对称轴

C.若x∈[0,π2]时，m<f(x)恒成立，则实数m的取值范围为(−∞,−3)

D.将函数f(x)的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的12，再将所得的图象向右平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知|a|=2，|b|=1，|a13.化简：(3cos10°−14.某公司购置了一台价值220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d>0)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废，但若每年花费1万元进行设备维护，则可使设备的使用年限提升至20年，每经过一年其价值就会减少d1(d1>0)万元，超过20年，它的价值将低于所有花费的5%四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，若3a=2bsinA．

(1)求角B的大小；

(2)若△ABC不是钝角三角形，且b=3，a+c=3，a>c，求a16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(x+π6)−cos(x+π3)+sin(π2+x)．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；

(Ⅱ)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的17.(本小题15分)

某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=253米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．

(1)设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；

(2)经核算，三条走廊每米建设费用均为400018.(本小题17分)

设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．

(1)若3a2=3a1+a3，S3+T319.(本小题17分)

设ℎ′(x)为ℎ(x)的导函数，若ℎ′(x)在区间D上单调递减，则称ℎ(x)为D上的“凸函数”.已知函数f(x)=−sinx+ax2+ax．

(1)若f(x)为[0,π2]上的“凸函数”，求a的取值范围；

(2)证明：当参考答案1.A

2.B

3.C

4.A

5.B

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.BD

11.ACD

12.713.−414.(20815.解：(1)在△ABC中，3a=2bsinA，

由正弦定理3sinA=2sinBsinA，

在△ABC中，∵sinA≠0，∴sinB=32，

∵B为三角形内角，

∴B=π3或2π3；

(2)因为△ABC不是钝角三角形，b=3，a+c=3，

由(1)可得B=π3，

由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=16.解：f(x)=sin(x+π6)−cos(x+π3)+sin(π2+x)

=32sinx+12cosx−12cosx+32sinx+cosx

=3sinx+cosx

=2sin(x+π6)，

(Ⅰ)令π2+2kπ≤x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

则π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，17.解：(1)∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，

∴OE=25cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，

∴OF=25sinα．

又∠EOF=90°，

∴EF=OE2+OF2=25cosαsinα，

∴l=OE+OF+EF=25(sinα+cosα+1)cosαsinα．

当点F在点D时，这时角α最小，此时α=π6；

当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=π3．

故此函数的定义域为[π6,π3]；

(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．

由(1)得，l=25(sinα+cosα+1)cosαsinα，α∈[π6,π3]，

设18.解：(1)(ⅰ)根据题意，等差数列{an}中，若3a2=3a1+a3，变形可得3d=a1+2d，解得a1=d，

则S3=3a2=3(a1+d)=6d，又T3=b1+b2+b3=2d+62d+123d=9d，

有S3+T3=6d+9d=21，即2d2−7d+3=0，解得d=3或d=12(舍去)，

所以an=a1+(n−1)⋅d=3n．

(ⅱ)an=3n，则bn=n2+nan=n2+n3n=n+13，

19.解：(1)由f(x)=−sinx+ax2+ax，则f′(x)=−cosx+2ax+a．

由题意可知，f(x)为x∈[0,π2]上的“凸函数”，

则f′(x)在区间x∈[0,π2]上单调递减，设φ(x)=f′(x)，

则φ′(x)=sinx+2a，所以sinx+2a≤0在x∈[0,π2]恒成立，

则2a≤−sinx在x∈[0,π2]恒成立，

又当x=π2时，函数y=−sinx取最小值，且最小值为−1，

所以有2a≤−1，解得a≤−12，

即a的取值范围为(−∞,−12]．

(2)证明：当a=−1时，由f(x+1)=−sin(x+1)−(x+1)2−(x+1)得

g(x)=−sin(x+1)−(x2+2x+1)−(x+1)+x2+3x+ln(x+2)+2=−sin(x+1)+ln(x+2)．

令H(x)=g(x−1)=−sinx+ln(x+1)，x>−1，其中H(0)=0，

则H′(x)=−cosx+1x+1，其中H′(0)=0．

①当x≥2时，H(x)=−sinx+ln(x+1)≥−1+ln3>0，

故H(x)在[2,+∞)无零点；

②当π2≤x<2时，由−cosx≥0,1x+1>0，则H′(x)>0，

故故H(x)在[π2,2)单调递增，

H(π2)=−sinπ2+ln(π2+1)<0，且H(2)=−sin2+ln3>−1+1=0，

故由零点存在性定理可知H(x)在(π