2024届西双版纳市重点中学高三3月起点调研考试-数学试题

2024届西双版纳市重点中学高三3月起点调研考试-数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（）A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B．天津的往返机票平均价格变化最大C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加2．若，满足约束条件，则的最大值是（）A． B． C．13 D．3．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．84．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面5．在中，在边上满足，为的中点，则（）.A． B． C． D．6．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是()A． B．C． D．7．若a＞b＞0，0＜c＜1，则A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．ac＜bc D．ca＞cb8．下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（）A． B． C． D．9．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边形的边长为，阴阳太极图的半径为，则每块八卦田的面积约为（）A． B．C． D．10．要得到函数的图像，只需把函数的图像（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位11．若函数函数只有1个零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记等差数列和的前项和分别为和，若，则______.14．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______.15．已知点是抛物线上动点，是抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值为______________．16．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明：当时，直线过定点.18．（12分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.19．（12分）如图，在正四棱柱中，已知，.（1）求异面直线与直线所成的角的大小；（2）求点到平面的距离.20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，其短半轴长为1，一个焦点坐标为，点在椭圆上，点在直线上，且．（1）证明：直线与圆相切；（2）设与椭圆的另一个交点为，当的面积最小时，求的长．21．（12分）已知函数.（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函数的定义域和值域.22．（10分）已知中，角，，的对边分别为，，，已知向量，且．（1）求角的大小；（2）若的面积为，，求．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.【详解】对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.故选：D【点睛】本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.2、C【解析】

由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由解得即点到坐标原点的距离最大，即．故选：．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．3、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4、B【解析】

本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误．5、B【解析】

由，可得，，再将代入即可.【详解】因为，所以，故.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.6、C【解析】

对选项逐个验证即得答案.【详解】对于，，是偶函数，故选项错误；对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误；对于，当时，；当时，；又时，.综上，对，都有，是奇函数.又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确；对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误.故选：.【点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.7、B【解析】试题分析：对于选项A，，，，而，所以，但不能确定的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B，,，两边同乘以一个负数改变不等号方向，所以选项B正确;对于选项C，利用在第一象限内是增函数即可得到，所以C错误;对于选项D，利用在上为减函数易得，所以D错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8、C【解析】

分析函数的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域为，在上为减函数.A选项，的定义域为，在上为增函数，不符合.B选项，的定义域为，不符合.C选项，的定义域为，在上为减函数，符合.D选项，的定义域为，不符合.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.9、B【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积，再计算出圆面积的，两面积作差即可求解.【详解】由图，正八边形分割成个等腰三角形，顶角为，设三角形的腰为，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面积为：，所以每块八卦田的面积约为：.故选：B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理与面积公式，属于基础题.10、A【解析】

运用辅助角公式将两个函数公式进行变形得以及,按四个选项分别对变形，整理后与对比，从而可选出正确答案.【详解】解：.对于A：可得.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数图像平移变换，考查了辅助角公式.本题的易错点有两个，一个是混淆了已知函数和目标函数;二是在平移时，忘记乘了自变量前的系数.11、C【解析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点．记，则过原点作的切线，设切点为，则切线方程为，又切线过原点，即，将，代入解得．所以切线斜率为，所以或．故选：C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.12、A【解析】

若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得.【详解】解：，∴，设，∴，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，∴，当时，，当，，函数恒过点，分别画出与的图象，如图所示，，若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，∴且，即，且∴，故实数m的最大值为，故选：A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.14、【解析】

根据流程图，运行程序即得.【详解】第一次运行，；第二次运行，；第三次运行，；第四次运行；所以输出的S的值是.故答案为：【点睛】本题考查算法流程图，是基础题.15、【解析】

过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角.故当和抛物线相切时，的值最小.再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值.【详解】解：由题意可得，抛物线的焦点，准线方程为，过点作垂直于准线，为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角.故当最小时，的值最小.设切点，由的导数为，则的斜率为，求得，可得，，，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题.16、81【解析】

根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.【详解】由于所有项的二项式系数之和为，，故的二项展开式的通项公式为，令，求得，可得含x项的系数等于，故答案为：8；1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析.【解析】

（1）在中，计算出的值，可得出的值，进而可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据已知条件得出，利用韦达定理和斜率公式化简得出与所满足的关系式，代入直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标.【详解】（1）在中，，，，，，，，因此，椭圆的标准方程为；（2）由题不妨设，设点，联立，消去化简得，且，，，，，∴代入，化简得，化简得，，，，直线，因此，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中直线过定点的问题，考查计算能力，属于中等题.18、（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析【解析】

（1）由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判断动点P的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；（2）设出点P的坐标，再表示出点N和Q的坐标，根据题意求出的值，即可判断结果是否成立．【详解】（1）由题知，，所以，因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，又知，，所以曲线的标准方程为.又由题知，所以，所以，又因为点在抛物线上，所以，所以抛物线的标准方程为.（2）设，，由题知，所以，即，所以，又因为，，所以，所以为定值，且定值为1.【点睛】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．19、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空间坐标系，通过求向量与向量的夹角，转化为异面直线与直线所成的角的大小；（2）先求出面的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可．【详解】以为原点，所在直线分别为轴建系，设所以,,所以异面直线与直线所成的角的余弦值为，异面直线与直线所成的角的大小为．（2）因为，，设是面的一个法向量，所以有即，令，，故，又，所以点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力．20、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）分斜率为0，斜率不存在，斜率不为0三种情况讨论，设的方程为，可求解得到，，可得到的距离为1，即得证；（2）表示的面积为，利用均值不等式，即得解.【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且，所以．所以椭圆的方程为．由点在直线上，且知的斜率必定存在，当的斜率为0时，，，于是，到的距离为1，直线与圆相切．当的斜率不为0时，设的方程为，与联立得，所以，，从而．而，故的方程为，而在上，故，从而，