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文档简介
2024届西南名校高考模拟金典卷数学试题(五)试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合,,若,则的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.42.已知复数满足(其中为的共轭复数),则的值为()A.1 B.2 C. D.3.已知函数,则函数的零点所在区间为()A. B. C. D.4.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤5.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.4006.自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速,采取了有效的防控阻击措施,把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住户属在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.72种7.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()A. B. C.24 D.8.已知双曲线:的左右焦点分别为,,为双曲线上一点,为双曲线C渐近线上一点,,均位于第一象限,且,,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.9.已知空间两不同直线、,两不同平面,,下列命题正确的是()A.若且,则 B.若且,则C.若且,则 D.若不垂直于,且,则不垂直于10.在中,,,,点满足,则等于()A.10 B.9 C.8 D.711.“”是“函数的图象关于直线对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:),则该几何体的表面积为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,若关于的方程有实数解,则实数的取值范围_____.14.已知中,点是边的中点,的面积为,则线段的取值范围是__________.15.已知一组数据1.6,1.8,2,2.2,2.4,则该组数据的方差是_______.16.展开式中项系数为160,则的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)若,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并说明理由.18.(12分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.19.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若的图象与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.20.(12分)已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,过的直线交椭圆于两点(均异于左、右顶点).(1)求椭圆的方程;(2)已知直线,为椭圆的右顶点.若直线交于点,直线交于点,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知在等比数列中,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列前项的和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
解出,分别代入选项中的值进行验证.【详解】解:,.当时,,此时不成立.当时,,此时成立,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.2、D【解析】
按照复数的运算法则先求出,再写出,进而求出.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,属于基础题.3、A【解析】
首先求得时,的取值范围.然后求得时,的单调性和零点,令,根据“时,的取值范围”得到,利用零点存在性定理,求得函数的零点所在区间.【详解】当时,.当时,为增函数,且,则是唯一零点.由于“当时,.”,所以令,得,因为,,所以函数的零点所在区间为.故选:A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质,考查符合函数零点,考查零点存在性定理,考查函数的单调性,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.4、A【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.5、B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.6、C【解析】
先将4名医生分成3组,其中1组有2人,共有种选法,然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去,有种方法,由分步原理可知共有种.【详解】不同分配方法总数为种.故选:C【点睛】此题考查的是排列组合知识,解此类题时一般先组合再排列,属于基础题.7、A【解析】
推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【详解】解:在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,,,分别取的中点,连结,则,且,,,,平面,平面,,四面体的体积为:.故答案为:.【点睛】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.8、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为,为双曲线上的一点,为双曲线的渐近线上的一点,且都位于第一象限,且,可知为的三等分点,且,点在直线上,并且,则,,设,则,解得,即,代入双曲线的方程可得,解得,故选D.点睛:本题考查了双曲线的几何性质,离心率的求法,考查了转化思想以及运算能力,双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).9、C【解析】因答案A中的直线可以异面或相交,故不正确;答案B中的直线也成立,故不正确;答案C中的直线可以平移到平面中,所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直,是正确的;答案D中直线也有可能垂直于直线,故不正确.应选答案C.10、D【解析】
利用已知条件,表示出向量,然后求解向量的数量积.【详解】在中,,,,点满足,可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算,关键是利用基向量表示所求向量.11、A【解析】
先求解函数的图象关于直线对称的等价条件,得到,分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称,则,解得,故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断,考查了学生逻辑推理,概念理解,数学运算的能力,属于基础题.12、C【解析】
由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,据此可计算出答案.【详解】由三视图知,该几何体是一个圆锥,其母线长是5,底面直径是6,该几何体的表面积.故选:C【点睛】本题主要考查了三视图的知识,几何体的表面积的计算.由三视图正确恢复几何体是解题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先求出,从而得函数在区间上为增函数;在区间为减函数.即可得的最大值为,令,得函数取得最小值,由有实数解,,进而得实数的取值范围.【详解】解:,当时,;当时,;函数在区间上为增函数;在区间为减函数.所以的最大值为,令,所以当时,函数取得最小值,又因为方程有实数解,那么,即,所以实数的取值范围是:.故答案为:【点睛】本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,导数的应用,属于中档题.14、【解析】
设,利用正弦定理,根据,得到①,再利用余弦定理得②,①②平方相加得:,转化为有解问题求解.【详解】设,所以,即①由余弦定理得,即②,①②平方相加得:,即,令,设,在上有解,所以,解得,即,故答案为:【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理在平面几何中的应用,还考查了运算求解的能力,属于难题.15、0.08【解析】
先求解这组数据的平均数,然后利用方差的公式可得结果.【详解】首先求得,.故答案为:0.08.【点睛】本题主要考查数据的方差,明确方差的计算公式是求解的关键,侧重考查数据分析的核心素养.16、-2【解析】
表示该二项式的展开式的第r+1项,令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.【详解】该二项式的展开式的第r+1项为令,所以,则故答案为:【点睛】本题考查由二项式指定项的系数求参数,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)不存在.【解析】
(1)由已知,利用基本不等式的和积转化可求,利用基本不等式可将转化为,由不等式的传递性,可求的最小值;(2)由基本不等式可求的最小值为,而,故不存在.【详解】(1)由,得,且当时取等号.故,且当时取等号.所以的最小值为;(2)由(1)知,.由于,从而不存在,使得成立.【考点定位】基本不等式.18、y=2sin2x.【解析】
计算MN,计算得到函数表达式.【详解】∵M,N,∴MN,∴在矩阵MN变换下,→∴曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.【点睛】本题考查了矩阵变换,意在考查学生的计算能力.19、(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】试题分析:(Ⅰ)由题意零点分段即可确定不等式的解集为;(Ⅱ)由题意可得面积函数为为,求解不等式可得实数a的取值范围为试题解析:(I)当时,化为,当时,不等式化为,无解;当时,不等式化为,解得;当时,不等式化为,解得.所以的解集为.(II)由题设可得,所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,的面积为.由题设得,故.所以a的取值范围为20、(1)(2)定值为0.【解析】
(1)根据直线方程求焦点坐标,即得c,再根据离心率得,(2)先设直线方程以及各点坐标,化简,再联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理代入化简得结果.【详解】(1)因为直线过椭圆的右焦点,所以,因为离心率为,所以,(2),设直线,则因此由得,所以,因此即【点睛】本题考查椭圆方程以及直线与椭圆位置关系,考查综合分析求解能力,属中档题.21、(1)见证明;(2)【解析】
(1)设是的中点,连接、,先证明是平行四边形,再证明平面,即(2)以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建空间直角坐标系,分别计算各个点坐标,计算平面法向量,利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:设是的中点,连接、,是的中点,,,,,,,是平行四边形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,过点作,垂足为,平面,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,,,
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