江苏省常州一中2025届高二数学第一学期期末监测试题含解析

江苏省常州一中2025届高二数学第一学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线方程为，过点的直线与双曲线只有一个公共点，则符合题意的直线的条数共有（）A.4条 B.3条C.2条 D.1条2．已知，，则在上的投影向量为（）A.1 B.C. D.3．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（）.A. B.C. D.4．某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间的关系如下表：245683040605070若已知与的线性回归方程为，那么当广告费支出为5万元时，随机误差的效应（残差）为万元（残差=真实值-预测值）A.40 B.30C.20 D.105．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则公比()A. B.2C.2或 D.46．已知梯形中，，且，则的值为（）A. B.C. D.7．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）A.35 B.75C.155 D.3158．已知且，则的值为（）A.3 B.4C.5 D.69．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.10．已知，，，则，，的大小关系是A. B.C. D.11．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，不等式的左边增加了（）A. B.C. D.12．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A. B.3C.6 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．不大于100的正整数中，被3除余1的所有数的和是___________14．已知双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线，在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于，两点.若，则双曲线的离心率为___________.15．已知直线，圆，若直线与圆相交于两点,则的最小值为______16．已知过椭圆上的动点作圆（为圆心）：的两条切线，切点分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点满足（1）若平面，求的值；（2）求点到平面的距离；（3）若平面与平面所成角的正弦值为，求的值18．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的极大值与极小值；（2）若函数在上的最大值是最小值的3倍，求a的值.19．（12分）在等差数列中，，前10项和（1）求列通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前8项和20．（12分）甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题21．（12分）已知抛物线C：焦点F的横坐标等于椭圆的离心率.（1）求抛物线C的方程；（2）过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C方程；（2）设点P在直线上，过点P的两条直线分别交曲线C于A，B两点和M，N两点，且，求直线AB的斜率与直线MN的斜率之和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用双曲线渐近线的性质，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可.【详解】解：双曲线的渐近线方程为，右顶点为.①直线与双曲线只有一个公共点；②过点平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；③设过的切线方程为与双曲线联立，可得，由，即，解得，直线的条数为1.综上可得，直线的条数为4.故选：A,.2、C【解析】根据题意得，进而根据投影向量的概念求解即可.【详解】解：因为，，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：C3、A【解析】求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值【详解】解：抛物线的准线方程为，，到准线的距离为2，故点纵坐标为1，把代入抛物线方程可得不妨设在第一象限，则，点关于准线的对称点为，连接，则，于是故的最小值为故选：A【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，属于基础题4、D【解析】分析：把所给的广告费支出5万元时，代入线性回归方程，做出相应的销售额，这是一个预测值，再求出与真实值之间有一个误差即得.详解：与的线性回归方程为，当时，50，当广告费支出5万元时，由表格得：，故随机误差的效应（残差）为万元.故选D.点睛：本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预测y的值，是一个综合题5、B【解析】由两式相除即可求公比.【详解】设等比数列的公比为q，∵其各项均为正数，故q＞0，∵，∴，又∵，∴=4，则q＝2.故选：B.6、D【解析】根据共线定理、平面向量的加法和减法法则，即可求得，进而求出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以又，所以.故选：D.7、C【解析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，所以，，因此前5天所屠肉的总两数为.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.8、C【解析】由空间向量数量积的坐标运算求解【详解】由已知，解得故选：C9、B【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.故选：B10、B【解析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小【详解】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B【点睛】将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目11、B【解析】依题意，由递推到时，不等式左边为，与时不等式的左边作差比较即可得到答案【详解】用数学归纳法证明等式的过程中，假设时不等式成立，左边，则当时，左边，∴从到时，不等式的左边增加了故选：B12、C【解析】利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案【详解】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，.，，当且仅当时取等号，的最小值为6，故选：C【点睛】本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1717【解析】利用等差数列的前项和公式可求所有数的和.【详解】100以内的正整数中，被3除余1由小到大构成等差数列，其首项为1，公差为3，共有项，它们的和为，故答案为：.14、【解析】按题意求得，两点坐标，以代数式表达出条件，即可得到关于的关系式，进而解得双曲线的离心率.【详解】双曲线的右焦点为,其渐近线为，垂线方程为，则，，，由，得，即即，则，离心率故答案为：15、【解析】求出直线过的定点，当圆心和定点的连线垂直于直线时，取得最小值，结合即可求解.【详解】由题意知，圆，圆心，半径，直线，，，解得，故直线过定点，设圆心到直线的距离为，则，可知当距离最大时，有最小值，由图可知，时，最大，此时，此时.故的最小值为.故答案为：.16、【解析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当最小时，可知，此时；根据椭圆性质知，解方程可求得，进而得到离心率.【详解】由椭圆方程知其右焦点为；由圆的方程知：圆心为，半径为；当最小时，则最小，即，此时最小；此时，；为椭圆右顶点时，，解得：，椭圆的离心率.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)连接ME，证明即可计算作答.(2)以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点到平面的距离即可.(3)由(2)中空间直角坐标系，借助空间向量求平面与平面所成角的余弦即可计算作答.【小问1详解】在三棱柱中，因，即点在上，连接ME，如图，因平面面，面面，则有，而为中点，于是得为的中点，所以.【小问2详解】在三棱柱中，面面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又为正方形，即，而平面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图，依题意，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，又，则到平面的距离，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因，则，，设面的法向量为，则，令，得，于是得，而平面与平面所成角的正弦值为，则，即，整理得，解得或，所以的值是或.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.18、（1）的极大值为0,的极小值为（2）2【解析】（1）先求导可得，再利用导函数判断的单调性，进而求解；（2）由（1）可得在上的最小值为，由，，可得的最大值为，进而根据求解即可.【详解】解:（1）当时，，所以，令，则或，则当和时，；当时，，则在和上单调递增，在上单调递减,所以极大值为；的极小值为.（2）由题,，由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值即为的极小值；因为,,所以，因为，则，所以.【点睛】本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求函数的最值,考查运算能力.19、（1）；（2）347.【解析】（1）设等差数列的公差为，解方程组即得解；（2）先求出，再分组求和得解.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则解得所以（2）由题意，，所以所以的前8项和为20、（1）（2）【解析】首先用列举法，求得甲、乙两人各抽一题的所有可能情况.（1）根据上述分析，分别求得“甲抽到判断题，乙抽到选择题（2）根据上述分析，求得“甲、乙两人都抽到判断题”的概率，根据对立事件概率计算公司求得“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题【详解】把3个选择题因此基本事件的总数为.（1）记“甲抽到选择题（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题【点睛】本小题主要考查互斥事件概率计算，考查对立事件，属于基础题.21、（1）；（2）原点在以线段AB为直径的圆上，详见解析.【解析】（1）利用椭圆方程可得其离心率，进而可求抛物线的焦点，即求；（2）设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理法可得，即得.【小问1详解】由椭圆，可得，故，∴抛物线C的方程为.【小问2详解】由题可设直线l的方程为，由，得，设，则，又，故，∴，∴，即，故原点在以线段AB为直径的圆上.22、（1）（2）0【解析】（1）由条件得和，再结合可求解；（2）设直线AB的方程为：，与椭圆联立，得到，同理得，再