福建省漳州市2025届数学高二上期末检测模拟试题含解析

福建省漳州市2025届数学高二上期末检测模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（）A. B.3C. D.22．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）A. B.C. D.3．在空间中，“直线与没有公共点”是“直线与异面”的（）A.必要不充分条件 B.充要条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知等差数列前项和为，若，则的公差为（）A.4 B.3C.2 D.15．已知椭圆与双曲线有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时的值为（）A. B.C. D.6．若函数，则单调增区间为（）A. B.C. D.7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是（）A. B.C. D.8．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.649．如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）A. B.C. D.10．一盒子里有黑色、红色、绿色的球各一个，现从中选出一个球.事件选出的球是红色，事件选出的球是绿色.则事件与事件（）A.是互斥事件，不是对立事件 B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件 D.既不是互斥事件也不是对立事件11．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输人的（）A. B.或C. D.或二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.14．如图，在四棱锥中，O是AD边中点，底面ABCD..在底面ABCD中，，，，.（1）求证：平面POC；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.15．曲线围成的图形的面积为___________.16．在2021件产品中有10件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，O为坐标原点，（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.18．（12分）函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.19．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为，且，，成等比数列(1)求的通项公式(2)求数列的前n项和20．（12分）已知数列的前项和为，并且满足（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：21．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.22．（10分）如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，为的中点，为的中点（1）证明：直线平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据抛物线的定义求得，由此求得的长.【详解】过作，垂足为，设与轴交点为.根据抛物线的定义可知.由于，所以，所以，所以，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查抛物线定义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.2、C【解析】根据导数的概念可得，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为，所以，则曲线在点处的切线斜率为，故所求切线的倾斜角为.故选：C3、A【解析】由于在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面，再根据充分、必要条件的概念判断，即可得到结果.【详解】在空间中，若直线与没有公共点，则直线与平行或异面.故“直线与没有公共点”是“直线与异面”的必要不充分条件.故选：A.4、A【解析】由已知，结合等差数列前n项和公式、通项公式列方程组求公差即可.详解】由题设，，解得.故选：A5、D【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得，，的关系，由此可得，再利用重要不等式求最值，并求此时的的值.【详解】设为第一象限的交点，、，则、，解得、，在中，由余弦定理得：，∴，∴，∴，∴，∴，，即，当且仅当，即，时等号成立，此时故选：D6、C【解析】求出导函数，令解不等式即可得答案.【详解】解：因为函数，所以，令，得，所以的单调增区间为，故选：C.7、B【解析】根据侧视图，没有实对角线，正视图实对角线的方向，排除错误选项，得到答案.【详解】侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应从左上角画到右下角，故C排除.故选：B.8、B【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.9、C【解析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解.【详解】取的中点O，连接OB，过O在平面ACDE面内作交DE于F∵平面平面ABC，平面ACDE平面ABC=AC，平面ACDE，∴平面ABC∴∵是边长为4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，∴以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系则，，，设平面ABD的单位法向量，，由解得取，则∴点C到平面ABD的距离.故选：C10、A【解析】根据事件的关系进行判断即可.【详解】由题意可知，事件与为互斥事件，但事件不是必然事件，所以，事件与事件是互斥事件，不是对立事件.故选：A.【点睛】本题考查事件关系的判断，考查互斥事件和对立事件概率的理解，属于基础题.11、D【解析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，，，因此异面直线与所成角的余弦值等于.故选：D.12、A【解析】根据题意可知该程序框图显示的算法函数为，分和两种情况讨论即可得解.【详解】解：该程序框图显示得算法函数为，由，当时，，方程无解；当时，，解得，综上，若输出的，则输入的.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、24【解析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.【详解】依题意，，，又，解得，，则有，即，连接，如图，因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，因此，四边形是平行四边形，，所以的面积为24.故答案为：2414、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意，证明BCOA是平行四边形，从而可得，然后根据线面平行的判断定理即可证明；（2）证明BCDO是平行四边形，从而可得，由题意，可建立以为轴建立空间直角坐标系，求出平面ABP的法向量，利用向量法即可求解直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【小问1详解】证明：由题意，又，所以BCOA是平行四边形，所以，又平面POC，平面POC，所以平面POC；【小问2详解】解：，，所以BCDO是平行四边形，所以，，而，所以，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，设平面ABP的一个法向量为，则，取x=1，则，，所以，设直线PC与平面PAB所成角为，则，所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.15、##【解析】曲线围成图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可.【详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称，因此只需求出第一象限的面积即可.当，时，曲线可化为：，表示的图形为一个半圆，围成的面积为，故曲线围成的图形的面积为.故答案：.16、【解析】设抽到的次品的个数为，则，求出对应的概率即得解.【详解】解：设抽到的次品的个数为，则，所以所以抽到次品个数的数学期望的值是故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在，，.【解析】（1）根据椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，直接代入方程解方程组即可.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为，联立，根据，结合韦达定理运算，同时满足，则存在，否则不存在，当切线斜率不存在时，验证即可；在该圆的方程存在时，利用弦长公式结合韦达定理得到求解.【详解】（1）因为椭圆E：（a，b>0）过M（2，），N(，1)两点，所以，解得，所以，所以椭圆E的方程为.（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且，设该圆的切线方程为，联立得，则△=，即，，，要使，需使，即，所以，所以，又，所以，所以，即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为，，所以，则所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且.因为，所以，，①当时，，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取”=”.②当时，.③当AB的斜率不存在时，两个交点为或，所以此时，综上，|AB|的取值范围为，即：【点睛】思路点睛：1、解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单2、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(k为直线斜率)注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零18、（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）求出函数的定义域为，求得，分、、三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）构造函数，由题意可知恒成立，对实数分和两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否成立，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.（i）当时，，函数在上单调递增；（ii）当时，令得.若，则；若，则.①当时，，函数在上单调递增；②当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上，可得，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2）设，，则.当时，单调递增，则.所以，函数在上单调递增，且.当时，，于是，函数在上单调递增，恒成立，符合题意；当时，由于，，，所以，存在，使得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故，不符合题意，综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查分类讨论思想的应用，属于难题.19、（1）；（2）【解析】（1）根据等差数列的通项公式，分别表示出与，由等比中项定义即可求得首项，进而求得的通项公式（2）根据等差数列的首项与公差，求出的前n项和，进而可知，再用裂项法可求得【详解】（1）由题意，得，，所以由，得，解得，所以，即（2）由（1）知，则，，【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，等比中项的定义，裂项法求数列前n项和的简单应用，属于基础题20、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）利用和项可求得的通项公式，注意别漏了说明；（2）先用错位相减法求出数列的前项和，从而可知【详解】（1）,①当时，，②由①—②可得：,且数列是首项为1，公差为2的等差数列，即（2）由（1）知数列，,则,①∴,②由①﹣②得,∴,.【点睛】本题主要考查给出的一个关系式求数列的通项公式以及用错位相减法求数列的前n项和.21、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据双曲线的定义可得答案；（2）设，过点的的切线方程为，联立此直线与双曲线的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可证明.【小问1详解】因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，所以，，所以，所以的方程为【小