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文档简介
河北省安平中学2025届数学高三第一学期期末调研模拟试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()A.或 B. C. D.2.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()A. B.4 C.2 D.3.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据分别为,,,,由最小二乘法得到回归直线方程为,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年4.已知的值域为,当正数a,b满足时,则的最小值为()A. B.5 C. D.95.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是边长为4的正三角形,俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成,则该几何体的体积为()A. B. C. D.6.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.集合,,则()A. B. C. D.8.某校在高一年级进行了数学竞赛(总分100分),下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩:555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如图的算法框图中输入的为上表中的学生的数学竞赛成绩,运行相应的程序,输出,的值,则()A.6 B.8 C.10 D.129.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.10.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.11.在中,角的对边分别为,,若,,且,则的面积为()A. B. C. D.12.设,若函数在区间上有三个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若变量x,y满足:,且满足,则参数t的取值范围为_______.14.已知二面角α﹣l﹣β为60°,在其内部取点A,在半平面α,β内分别取点B,C.若点A到棱l的距离为1,则△ABC的周长的最小值为_____.15.如图,、分别是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点,若,,则双曲线的离心率是______.16.过且斜率为的直线交抛物线于两点,为的焦点若的面积等于的面积的2倍,则的值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)新高考,取消文理科,实行“”,成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况,随机调查50人(把年龄在称为中青年,年龄在称为中老年),并把调查结果制成下表:年龄(岁)频数515101055了解4126521(1)分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率;(2)请根据上表完成下面列联表,是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄(中青年、中老年)有关?了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附:.0.0500.0100.0013.8416.63510.828(3)若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查,记选中的3人中了解新高考的人数为,求的分布列以及.18.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.19.(12分)已知椭圆的上顶点为,圆与轴的正半轴交于点,与有且仅有两个交点且都在轴上,(为坐标原点).(1)求椭圆的方程;(2)已知点,不过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,证明:直线与直线的斜率互为相反数.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在处的切线方程;(Ⅱ)当时,要使恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:学生序号1234567数学成绩60657075858790物理成绩70778085908693①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?附:线性回归方程,其中,.768381252622.(10分)已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于,两点,点为椭圆的左焦点.(1)求证:直线与椭圆相切;(2)判断是否为定值,并说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令
,可得
当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.【详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得
,.
令
,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.2、A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用双曲线的定义可用表示出,,用勾股定理得出的等式,从而得离心率.【详解】.又,可令,则.设,得,即,解得,∴,,由得,,,该双曲线的离心率.故选:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来,从而再由勾股定理建立的关系.3、D【解析】
根据样本中心点在回归直线上,求出,求解,即可求出答案.【详解】依题意在回归直线上,,由,估计第年维修费用超过15万元.故选:D.【点睛】本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用,属于基础题.4、A【解析】
利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解:∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选:A.【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.5、A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体,前半部分是一个高为底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为2的半个圆锥,体积为故答案为A.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系,遵循“长对正,高平齐,宽相等”的基本原则,其内涵为正视图的高是几何体的高,长是几何体的长;俯视图的长是几何体的长,宽是几何体的宽;侧视图的高是几何体的高,宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.6、B【解析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.7、A【解析】
计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.【点睛】本题考查了交集运算,属于简单题.8、D【解析】
根据程序框图判断出的意义,由此求得的值,进而求得的值.【详解】由题意可得的取值为成绩大于等于90的人数,的取值为成绩大于等于60且小于90的人数,故,,所以.故选:D【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识;考查运算求解能力,逻辑推理能力和数学应用意识.9、D【解析】
由题知,又,代入计算可得.【详解】由题知,又.故选:D【点睛】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.10、C【解析】
对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.11、C【解析】
由,可得,化简利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面积.【详解】解:,,且,,化为:.,解得..故选:.【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12、D【解析】令,可得.在坐标系内画出函数的图象(如图所示).当时,.由得.设过原点的直线与函数的图象切于点,则有,解得.所以当直线与函数的图象切时.又当直线经过点时,有,解得.结合图象可得当直线与函数的图象有3个交点时,实数的取值范围是.即函数在区间上有三个零点时,实数的取值范围是.选D.点睛:已知函数零点的个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解,对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
根据变量x,y满足:,画出可行域,由,解得直线过定点,直线绕定点旋转与可行域有交点即可,再结合图象利用斜率求解.【详解】由变量x,y满足:,画出可行域如图所示阴影部分,由,整理得,由,解得,所以直线过定点,由,解得,由,解得,要使,则与可行域有交点,当时,满足条件,当时,直线得斜率应该不小于AC,而不大于AB,即或,解得,且,综上:参数t的取值范围为.故答案为:【点睛】本题主要考查线性规划的应用,还考查了转化运算求解的能力,属于中档题.14、【解析】
作A关于平面α和β的对称点M,N,交α和β与D,E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,当四点共线时长度最短,结合对称性和余弦定理求解.【详解】作A关于平面α和β的对称点M,N,交α和β与D,E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,当M,B,C,N共线时,周长最小为MN设平面ADE交l于,O,连接OD,OE,显然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根据余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案为:.【点睛】此题考查求空间三角形边长的最值,关键在于根据几何性质找出对称关系,结合解三角形知识求解.15、【解析】
根据三角形中位线证得,结合判断出垂直平分,由此求得的值,结合求得的值.【详解】∵,∴为中点,,∵,∴垂直平分,∴,即,∴,,即.故答案为:【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法,考查化归与转化的数学思想方法,属于基础题.16、2【解析】
联立直线与抛物线的方程,根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.【详解】如图,设,由,则,由可得,由,则,所以,得.故答案为:2【点睛】此题考查了抛物线的性质,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析,有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联;(3)分布列见解析,.【解析】
(1)分别求出中青年、中老年对高考了解的频数,即可求出概率;(2)根据数据列出列联表,求出的观测值,对照表格,即可得出结论;(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,可能取值为0,1,2,分别求出概率,列出随机变量分布列,根据期望公式即可求解.【详解】(1)由题中数据可知,中青年对新高考了解的概率,中老年对新高考了解的概率.(2)列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050,所以有95%的把握判断了解新高考与年龄(中青年、中老年)有关联.(3)年龄在的被调查者共5人,其中了解新高考的有2人,则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0,1,2,则;;.所以的分布列为012.【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望,考查计算求解能力,属于基础题.18、(1);(2).【解析】
(1)将函数的解析式表示为分段函数,然后分、、三段求解不等式,综合可得出不等式的解集;(2)求出函数的最大值,由题意得出,解此不等式即可得出实数的取值范围.【详解】.(1)当时,由,解得,此时;当时,由,解得,此时;当时,由,解得,此时.综上所述,不等式的解集;(2)当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递减,则,即;当时,函数单调递减,则.综上所述,函数的最大值为,由题知,,解得.因此,实数的取值范围是.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了绝对值不等式中的参数问题,考查分类讨论思想的应用,考查运算求解能力,属于中等题.19、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据条件可得,进而得到,即可得到椭圆方程;(2)设直线的方程为,联立,分别表示出直线和直线斜率,相加利用根与系数关系即可得到.【详解】解:(1)圆与有且仅有两个交点且都在轴上,所以,又,,解得,故椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,联立,整理可得,则,解得,设点,,则,,所以,故直线与直线的斜率互为相反数.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及椭圆的几何性质,关键是求出椭圆的标准方程,属于中档题.20、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求函数的导函数,即可求得切线的斜率,则切线方程得解;(Ⅱ)构造函数,对参数分类讨论,求得函数的单调性,以及最值,即可容易求得参数范围.【详解】(Ⅰ)当时,,则.所以.又,故所求切线方程为,即.(Ⅱ)依题意,得,即恒成立.令,则.①当时,因为,不合题意.②当时,令,得,,显然.令,得或;令,得.所以函数的单调递增区间是,,单调递
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