山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024－2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试题考试时间：120分钟试题满分：150分一、单选题（共8小题）1.(5分)已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是()A.3B.4C.5D.62.(5分)已知直线l的一方向向量为，则直线l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°3.(5分)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A.k1<k3<k2B.k3<k1<k2C.k1<k2<k3D.k3<k2<k14.(5分)如图，在三棱锥S-ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足＝，若＝a，＝b，＝c，则＝()A.a＋b＋cB.a－b＋cC.－a－b＋cD.a－b＋c5.(5分)若直线与平行，则的值为（）A.0B.2C.3D.2或36.(5分)已知a>0，b>0，直线l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为()A.2B.4C.8D.97.(5分)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是()A.B.C.D.{k|k<2}8.(5分)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则实数a应满足的条件是()A.a＝1或a＝－2B.a≠±1C.a≠1且a≠－2D.a≠±1且a≠－2二、多选题（共4小题）9.(5分)已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若AP→∥BC→，且||＝，则点P的坐标为()A.(4，－2,2)B.(－2,2,4)C.(－4,2，－2)D.(2，－2,4)10.(5分)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2B.若斜率k1＝k2，则l1∥l2C.若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2D.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α211.(5分)下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角为B.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2C.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为D.过两点的直线方程为12.(5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是()A.B1的坐标为(2,2,3)B.＝(－2,0,3)C.平面A1BC1的一个法向量为(－3,3，－2)D.二面角B-A1C1-B1的余弦值为三、填空题（共4小题）13.(5分)点到直线的距离为______．14.(5分)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=________.15.(5分)已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.16.(5分)已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.四、解答题（共6小题）17.(10分)如图，在空间四面体OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c．(1)试用向量a，b，c表示向量；(2)若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值．18.(12分)已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)．(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．19.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．20.(12分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．21.(12分)直线l经过两直线l1：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交点．(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．22.(12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.数学参考答案1.【答案】C【解析】因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.2.【答案】B【解析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tanθ＝，∴θ＝60°．故选B．3.【答案】A【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tanα1<0，tanα2>tanα3>0，即k1<0，k2>k3>0.4.【答案】B【解析】＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋×＝－＋＝a－b＋c．故选B．5.【答案】B【解析】由题意，所以，解得，或，当时，，，此时，符合题意，当时，，，此时两直线重合，不符合题意，所以.故选：B.6.【答案】C【解析】因为l1⊥l2，所以(a－1)×1＋1×2b＝0，即a＋2b＝1，因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为8．故选C．7.【答案】A【解析】∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如图，∵直线l与线段AB始终没有交点，∴斜率k的取值范围是.8.【答案】D【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若l1∥l2，是由a×a－1×1＝0，得a＝±1.②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1.③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1.当a＝1时，l1，l2与l3三线重合，当a＝－1时，l1，l2平行．④若三条直线交于一点，由解得将l2，l3的交点(－a－1,1)的坐标代入l1的方程，解得a＝1(舍去)或＝－2.所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.9.【答案】AB【解析】设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．又||＝，∴＝，解得λ＝±1，∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，∴或解得或故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．10.【答案】BCD【解析】对于A，若l1∥l2，且l1与l2的倾斜角均为，则直线l1与l2的斜率不存在，故A错误；对于B，若斜率k1＝k2，且直线l1与l2为两条不重合的直线，则l1∥l2，故B正确；对于C，若倾斜角α1＝α2，且直线l1与l2为两条不重合的直线，由平行线的性质可得l1∥l2，故C正确；对于D，若l1∥l2，由平行线的性质可得倾斜角α1＝α2，故D正确．故选B、C、D．11.【答案】AB【解析】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；对于B，直线交轴分别于点，该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.故选：AB.12.【答案】ABD【解析】因为AB＝AD＝2，AA1＝3，所以A1(2,0,3)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，所以＝(－2,0,3)，＝(0,2，－3)，故A、B正确；设平面A1BC1的法向量m＝(x，y，z)，所以m∙A1B→=0,m∙BC1→=0,即令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0,0,1)，由于cos〈m，n〉＝＝＝－，结合图形可知二面角B-A1C1-B1的余弦值为，故D正确．故选A、B、D．13.【答案】1【解析】点到直线的距离.故答案为：.14.【答案】22【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,∴2a·b=46,|a-b|2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.15.【答案】【解析】因为直线与互相平行，所以，解得，则，所以与之间的距离.故答案为：；.16.【答案】00【解析】因为AB→＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC→＝(2，－2，6由A，B，C三点共线，得AB→∥AC即λ-12＝－12解得λ＝0，μ＝0.17.【答案】解(1)∵2＝，∴＝＝(－)＝(c－b)，故＝＋＝b＋(c－b)＝b＋c，∵点E为AD的中点，故＝(＋)＝a＋b＋c．(2)由题意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a，故·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－．18.【答案】解(1)因为直线l的两点式方程为＝，所以＝，即＝x－1.所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.所以＋＝1.故所求截距式方程为＋＝1.(2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，由x4+y8=1可知|OA|＝4，故S△AOB＝×|OA|×|OB|＝×4×8＝16.故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.19.【答案】(1)证明以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，Ea，a2，0，P(0,0，a)∵EF→·DC→＝-a2，0，a2·(0，a，0)＝0，∴EF(2)解设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n即x即a取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2，1)是平面DEF的一个法向量，∴cos〈BD→，n〉＝BD→∙nBD→∙设DB与平面DEF所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BD→，n〉|＝320.【答案】解(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．∴m＝－．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1．由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．【解析】【知识点】根据直线的一般式方程求斜率、截距、参数值及范围21.【答案】解(1)直线l1方程与l2方程联立得交点坐标为(－2,2)，设直线l的方程为3x＋y＋m＝0，代入交点(－2,2)得m＝4，所以l的方程为3x＋y＋4＝0．(2)当直线l的斜率不存在时，得l的方程为x＝－2，符合条件；当l斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，根据d＝＝5，解得k＝，所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0．综上所述，l的方程为12x－5y＋34＝0或x＝－2．22.【答案】(1)证明直线l的方程可化