2022-2013北京中考十年真题分类《几何综合》含答案解析

2022~2013北京中考十年真题分类——几何综合12022•北京）在△中，∠ACB＝°，D为△ABC内一点，连接BDDC，延长DC，使得CE．（1FCFBCAFEF⊥EFBD⊥AF；222（2AE的延长线于点HCH2ABAE，用等式表示线段与的数量关系，并证明．22021•北京）如图，在△ABC中，ABAC，∠BAC＝，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转α得到线段AE，连接BEDE．（1BAE与∠BEBM证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段与的数量关系，并证明．32020•北京）在△ABC中，∠＝°，AC＞，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DED作DFDE，交直线，连接EF．（11E是线段的中点时，设AEaBF＝b，b的（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EFBF之间的数量关系，并证明．42019•北京）已知∠AOB＝°，HOA上一定点，OH＝+1P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PMOMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3M关于点HQQPOPM总有ONQP，并证明．52018•北京）如图，在正方形E上的一动点（不与点、B连接DEA关于直线DE的对称点为FEF并延长交BCGDG点E作DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1GF＝GC；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．6（2017ABCACB＝P是线段CAPBC至点Q＝Q作QHAP于点H于点．（1）若∠＝，求∠AMQ的大小（用含α（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．72016•北京）在等边△ABC（1）如图1PQ是边上的两点，AP＝AQBAP＝°，求∠的度数；（2）点PQ是BC边上的两个动点（不与点BCP在点Q的左侧，且＝AQQ关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②Q＝PM个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：要证明PM，只需证△APM是等边三角形；想法：在上取一点，使得BNBP，要证明PM，只需证△ANP≌△PCM；想法B顺时针旋转BKPM＝CK，PMCK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PM82015•北京）在正方形ABCD中，是一条对角线，点P在射线上（与点CDAPADPD移动到点CBCQQ作QH⊥于H，连接AH，．（1）若点P在线段上，如图1．①依题意补全图1；②与的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝°，正方形ABCD的边长为1写出求DP92014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DEDE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠＝°，求∠的度数；（3）如图2°＜∠90°，用等式表示线段AB，FE之间的数量关系，并证明．102013•北京）在△中，ABAC，∠BACα（°＜＜BC绕点B逆时针旋转°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α（2）如图2，∠BCE＝°，∠ABE＝°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（）的条件下，连接DE，若∠DEC45°，求α的值．2022~2013北京中考十年真题分类——几何综合参考答案与试题解析12022•北京）在△中，∠ACB＝°，D为△ABC内一点，连接BDDC，延长DC，使得CE．（1FCFBCAFEF⊥EFBD⊥AF；222（2AE的延长线于点HCH2ABAE，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SASDBC＝∠EFC，证出BDEF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长到FCF＝，连接AFEF，由（）可知BD∥EFBDEFAEF＝90DHE＝【解答】（）证明：在△和△FCE中，，∴△BCDFCE（SAS，∴∠DBCEFC，∴BDEF，∵AFEF，∴BDAF；（2）解：由题意补全图形如下：CDCH．证明：延长到，使CFBC，连接AFEF，∵ACBF，BCCF，∴ABAF，由（）可知BD∥EF＝EF，222∵＝，222∴＝EF，∴∠AEF＝∴AEEF，∴BDAE，∴∠DHE＝°，又∵CDCE，∴CHCDCE．勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．22021•北京）如图，在△ABC中，ABAC，∠BAC＝，M为的中点，点D在上，以点A为中心，将线段顺时针旋转α得到线段AE，连接BEDE．（1BAE与∠BEBM证明；（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段与的数量关系，并证明．【分析】（DAE＝∠BAC可得∠BAE＝∠SAS证△ABEACD即可；（EHAB交于HBEF≌△得BEBHMH＝MNHF，由平行线分线段成比例即可证出．【解答】）∵∠DAE＝∠BACα，∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△，∴△ABE≌△ACD（SAS，∴BECD，∵M为的中点，∴BM＝CM，∴BE+＝BM；（2）如图，作EHAB交于H，交于F，由（）△ABE≌△得：∠ABE＝∠ACD，∵∠ACDABC，∴∠ABE＝∠ABD，在△BEF和△，∴△BEF≌△BHFASA，∴BEBH，由（）知：BE+MD＝，∴MH＝MD，∵MNHF，∴，∴ENDN．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的对称性等知识，作EH构造出全等三角形是解题的关键．32020•北京）在△ABC中，∠＝°，AC＞，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DED作DFDE，交直线，连接EF．（11E是线段的中点时，设AEaBF＝b，b的（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EFBF之间的数量关系，并证明．【分析】（DE∥BCDE＝矩形得DECF，得出CF，再根据勾股定理得结果；CEDF是（2B作BMAC的延长线交于点MFADE≌△BDM得AE＝BMDE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解答】）∵D是AB的中点，E是线段的中点，∴DEBCDE＝BC，∵∠ACB＝∴∠DEC90∵DFDE，∴∠EDF90∴四边形CEDF是矩形，∴DECF＝BC，∴CFBF＝b，∵CEAE＝a，∴EF＝；222（2AE+＝．证明：过点B作BMAC，与的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB90∵D的中点，∴ADBD，在△ADE和△BDM，∴△ADE≌△BDM（AAS，∴AEBMDEDM，∵DFDE，∴EF＝MF，222∵BM＝MF，222∴+EF．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．42019•北京）已知∠AOB＝°，HOA上一定点，OH＝+1P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PMOMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3M关于点HQQPOPM总有ONQP，并证明．【分析】（）根据题意画出图形．（2150OPN＝150°﹣∠OPMAOB＝°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣°﹣∠OPM150°﹣∠OPM，得证．（3＝QP为已知条件反推OPOMP＝∠OPNPMPNN作NCOB于点C，过点P作PDOA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得＝DMCP＝，则易证得△OCN≌△QDPOCQD∠AOB＝°，设PDNC＝，则OP＝2OD＝＝OCOPPC＝a+MQDMQD＝2+2xMQ关于点HH为MQMH＝MQaxDH＝MHDMaOHODDH＝aa＝+1，a．再设DM＝CPxQD求得＝OP＝OP2证得ONQP．【解答】）如图1所示为所求．（2）设∠OPMα，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段∴∠＝150°，PM＝∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣°﹣α＝150α∴∠OMP＝∠OPN（3OP＝2时，总有＝QP，证明如下：过点N作NCOB，过点P作OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ90°∵∠AOB30OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OHOD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（）∴PDNCDM＝设DMCP＝xOCOPPC＝2+x，＝MDDH＝+1∵点M关于点HQ∴HQ＝MH＝+1∴DQ＝DHHQ＝1++12+x∴OCDQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（）∴ONQP180ON＝QP为条件反推OP2OP2为条件构造全等证明＝QP．52018•北京）如图，在正方形E上的一动点（不与点、B连接DEA关于直线DE的对称点为FEF并延长交BCGDG点E作DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1GF＝GC；（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．【分析】（）如图，连接DF，根据对称得：△ADE≌△FDE，再由HLRt≌RtDCG，可得结论；（2）证法一：如图，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠EDG＝45°，得DE＝，证明△DME≌△EBHEMBH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENHAE＝HN＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】11，连接DF，∵四边形ABCD∴DADC，∠A＝∠C°，∵点A关于直线DE的对称点为，∴△ADE≌△FDE，∴DADFDC，∠＝∠A＝∴∠DFG＝°，在Rt和Rt中，∵，∴RtDFGRtDCGHL，∴GFGC；（2BH＝AE，理由是：证法一：如图，在线段AM，使AM，∵ADAB，∴DM＝BE，由（）知：∠＝∠23＝∠，∵∠ADC90∴∠1+2+∠3+∠＝∴2∠∠＝90°，∴∠2+3＝即∠EDG＝°，∵EHDE，∴∠DEH＝°，△是等腰直角三角形，∴∠AED+BEH＝∠+∠＝°，DEEH，∴∠＝∠BEH，在△DME和△∵，∴△DME≌△EBH（SAS，∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠＝°，AM＝AE，∴EM＝∴BH＝AE，AE；证法二：如图，过点H作⊥于，∴∠ENH90由方法一可知：DEEH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENHAAS，∴AEHNAD＝，∵ADAB，∴ABEN＝AE+BEBEBN，∴AEBNHN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．6（2017ABCACB＝P是线段CAPBC至点Q＝Q作QHAP于点H于点．（1）若∠＝，求∠AMQ的大小（用含α（2）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠＝°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2MEQBAAS证明△APC≌△QMEPC＝MEMEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】）∠AMQ＝45α；理由如下：∵∠，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠＝°，∠45α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠＝45α；（2PQ＝MB；理由如下：连接AQMEQB，如图所示：∵ACQPCQCP，∴∠QAC，∴∠QAM＝+＝∠AMQ，∴APAQQM，在△APCQME中，，∴△APCQME（AAS，∴PC＝ME，∵△是等腰直角三角形，∴PQ＝MB，MB．∴PQ＝方法二：也可以延长到D，使得CDCQ．则易证△ADPQBM．∴BM＝PD＝CD＝QC＝PQ，即PQ＝MB．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．72016•北京）在等边△ABC（1）如图1PQ是边上的两点，AP＝AQBAP＝°，求∠的度数；（2）点PQ是BC边上的两个动点（不与点BCP在点Q的左侧，且＝AQQ关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②Q＝PM个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法：要证明PM，只需证△APM是等边三角形；想法：在上取一点，使得BNBP，要证明PM，只需证△ANP≌△PCM；想法B顺时针旋转BKPM＝CK，PMCK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PM【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为，得到AQAMOAC＝∠，等量代换得到∠＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】）∵APAQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP∠＝°；（2）如图2，∵AP，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠＝60°，∴∠BAP＝∠CAQB顺时针旋转°，得到线段BK，要证＝PM，只需证CKPM…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PM）∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQAMQAC＝∠，∴∠＝∠BAP，∴∠BAP＝∠+CAP60∴∠＝°，∵APAQ，∴APAM，∴△APM是等边三角形，∴APPM．证明△ABP≌△ACM≌△【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．82015•北京）在正方形ABCD中，是一条对角线，点P在射线上（与点CDAPADPD移动到点CBCQQ作QH⊥于H，连接AH，．（1）若点P在线段上，如图1．①依题意补全图1；②与的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝°，正方形ABCD的边长为1写出求DP【分析】（）根据题意画出图形即可；②，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故PHCHHPCHCP，由正方形的性质即可得出结论；（2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥可知△DHQ是等腰直角三角形，再由平移的性质得出＝．作HR⊥，由∠AHQ152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DPxDR＝HRRQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】）1；②解法一：如图1，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DPCQ，在△HDP与△HQC∵，∴△HDP≌△HQC（SAS，∴PHCHHPCHCP．∵是正方形ABCD的对称轴，∴AHCHDAHHCP，∵∠HPC+DPH＝180∴∠DAH+DPH＝180∴∠ADP+AHP180∴∠AHP180°﹣∠ADP＝90∴AHPHAHPH．解法二：如图，连接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB＝∠BCQ＝∴、H、Q∴∠DHC＝∠BQC，由正方形的性质可知∠DHC＝∠AHD，由平移性质可知∠BQC＝∠APD，∴∠AHD＝∠APD，∴、H、D∴∠＝∠PDH＝°，∠AHP＝∠ADP90∴△HAP是等腰直角三角形，∴AHPHAHPH．（2）解法一：如图2，∵四边形ABCD是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PDCQ．作HR，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB62∴∠DAH＝°．设DPxDR＝HRRQ＝．，∵tan17°＝，即tan17∴x＝．解法二：由（）可知∠AHP＝°，∴∠AHP＝∠ADP90∴、HDP又∠AHQ＝152°，∠＝90∴∠AHB152°﹣62°，由圆的性质可知∠APD＝∠AHB＝°，在RtAPD中，∠90°﹣62°＝°，∴PDAD•tan28°＝tan28°．【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．92014•北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DEDE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠＝°，求∠的度数；（3）如图2°＜∠90°，用等式表示线段AB，FE之间的数量关系，并证明．【分析】（）根据题意直接画出图形得出即可；（2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（）由轴对称的性质可得：EFBFAE＝＝ABF＝∠AEF＝∠ADF，进而利用勾股定理得出答案．【解答】）如图1所示：（2）如图2，连接AE，则∠20AE＝ABAD，∵四边形ABCD∴∠BAD90∴∠EAP＝∠BAP＝°，∴∠EAD130°，∴∠ADF＝＝°；（3）如图3，连接AE、BFBD，由轴对称的性质可得：＝BFAE＝ABAD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD90222∴+，222∴+2．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰