理学图论第七章

第七章代数结构预备知识7.1集合与映射定义1

设和是给定的两个集合,如果有一个规则，使对任意一个元素,在中有唯一的元素与之对应，则称是到的一个映射。记作和，称为的定义域，称为的值域，称为的象，称为的原像。例1设为一个非空集合。是到的一个映射，称为上的恒等映射或单位映射。定义2

两个映射，当且仅当，且对任意，都有，称和是相等的映射，记为。3.若既是单射又是满射,则称它是到的双射。定义3

设是到的一个映射。1.若对任意,都有，称是到的单射。2.若，则称是到的满射。定义4

设是三个集合，有两个映射：，则由和可确定一个到的映射,称为与的合成，记作，亦即映射的合成一般不满足交换律，但满足结合律。因此中的恒等映射，则定理1

设是到的映射，和分别是与是可逆映射。定义5

设两个映射，若成立，则称是左可逆映射，是右可逆映射，并称是的左逆映射，是的右逆映射。又若也成立，则称和都定理2

到的映射是左可逆的充要条件是为单射，是右可逆的充要条件是为满射。推论：是可逆映射,当且仅当是双射。定理3

设是到的映射，且，则。7.2等价关系当时,说与没有关系,记作。定义1

集合和的笛卡尔积的任一子集称为与之间的一个二元关系，它的元素是有序对，记为，其中。则称是上的等价关系。用符号～表示。定义2

设是集合上的二元关系，如果1.对所有的,都有，即具有自反性；2.对所有的,若，则,即具有对称性；3.对所有的，若，则，即具有传递性。其中是该等价类的一个代表元。这样，对任一元素，所有与有关系的元素构成一个集合，称之为的一个等价类，记作，即～依据等价关系的定义，等价类具有以下性质：1.2.若，则。～3.若且，则。～，若非，则有。定理1

设～是上的一个等价关系,对任意元素定理2

设是上由等价关系～确定的全部等价类，那么常用记号表示,并称之为关于～的商集。等价类的集合,称为等价类族记为～例1

设是非负整数集合，是一个正整数，令是中的模同余关系。则显然是等价关系，因此定理3

集合的一个划分可以确定的一个等价关系。定理4

设是到的一个满射，则可以确定的一个等价关系。定理5

设是到的一个满射，则存在唯一双射，使，其中～是由～确定的等价关系，是到的自然映射。～7.3代数系统的概念称为的一个二元代数运算，简称定义1

设是非空集合，到的一个映射二元运算。定义2

设是非空集合，是正整数，到的一个映射称为的一个元运算,简称为元运算。当是有限集合时,也称该系统是有限代数系统。定义3

设是一个非空集合，分别是的元运算,是正整数，。称集合和运算所组成的系统为一个代数系统（或一个代数结构）,简称为一个代数，用记号表示。定理1

若对二元运算适合结合律，则对于任何正整数和，有1.。2.。若既是左单位元又是右单位元,则称之为单位元。定义4

给定一个代数系统，如果存在一个元素（或者），使得对于任意元素，有（或），称（或）是上关于运算的一个左（或右）单位元。定理2

若代数系统有左单位元,又有右单位元,则是的唯一的单位元。定义5

设是有单位元的代数系统，对于,若存在一个元素,使得，则称是左可逆的，并称是的一个左逆元；若存在,使得,则称是右可逆的，并称是的一个右逆元；若既是左可逆又是右可逆的,则说是可逆元。右逆元，则有唯一逆元，并且定理3

设代数系统具有单位元，且适合结合律，对于，有左逆元，又有。7.4同构与同态定义1

设和是两个代数系统,若和都是元运算，是正整数，，则说代数系统和是同类型的。定义2

设和是两个同类型的代数系统，是一个双射。如果对任意元，恒有则称是到的一个同构映射，并称与同构，用表示。定义3

设和是两个同类型的代数系统，是到一个映射。如果对任意的，都有,则称是到的一个同态映射，简称同态。例1

一个代数系统;另一个代数系统，其中和分别是模的加法和乘法运算，即这样可定义映射，即则是到的一个同态，因为总有定义4

设是一个代数系统，是的一个非空集合，如果在运算下是封闭的，则称是的一个子代数系统或子代数。子代数，并称它是在的作用下的同态象。定理1

设映射是从代数系统到的一个同态，则是的一个定义5

设是从到的一个同态，如果1.是单射，称是单一同态。2.是满射，称是满同态，用表示，～并称是的一个同态象。3.是双射，则是同构。则对运算，每一个元素都有逆元定理2

给定代数系统和，其中和都是二元运算。设是到的满同态，则1.如果是可交换的或可结合的运算，则