外接球-【巅峰课堂】2021-2022学年高一数学下学期热点题型归纳与变式演练(人教A版2019必修第二册)（解析版）公开课

专题05外接球

目录

一、热点题型归纳...............................................................................1

【题型一】球定义型......................................................................1

【题型二】长方体模型1：三线垂直........................................................3

【题型三】长方体模型2：四个表面直角三角形型............................................5

【题型四】长方体模型3：对棱相等或等边直角三角形构造长方体型...........................7

【题型五】棱锥模型1：三棱锥.............................................................9

【题型六】棱锥模型2：正四棱锥（或圆锥）型.............................................10

【题型七】棱锥模型3：面面垂直型........................................................12

【题型八】线面垂直型1：直棱柱（圆柱）型...............................................15

【题型九】线面垂直型2：棱锥型..........................................................16

【题型十】内切球........................................................................18

【题型十一】圆台型......................................................................21

【题型十二】综合构造型..................................................................22

二、最新模考题组练............................................................................25

盘拉点致型归佃

【题型一】球定义型

【例1】

矩形ABC。中，A8=4,BC=3,沿AC将ABC。矩形折起，使面8AC，面ZMC,则四面体A-BCD的外

接球的体积为（）

125r125-125-125

A.---71B.---C.-----------------71D.---4

69123

【答案】A

【分析】矩形ABC。中，由AB=4,8C=3,£>8=AC=5,设交AC于。，由于。到点A8,C,。的距离均

为g，所以。为四面体A-3C。的外接球的球心，由此能求出四面体A-BCD的外接球的体积.

【详解】如图：

矩形A8CD中，因为AB=4,BC=3,

所以。8=AC=5,

设OB交AC于。，则。是R/AABC和RNDAC的外心，

所以。到点A8.CD的距离均为|,所以。为四面体A-BCZ）的外接球的球心，

所以四面体力-BCQ的外接球的半径R=g,

所以四面体A-BCD的外接球的体积V=-x^xf-Y=丝物.故选:A.

3⑴6

【例2】

矩形A8CZ）中，AB=3,BC=\,现将丛。沿对角线AC向上翻折，得到四面体。-ABC,则该四面体外

接球的体积为（）

A.生叵万B.10万C.5晒兀D.40%

3

【答案】A

【分析】设4c的中点为0,连接OBOD,则由矩形的性质可知04=8=08=03,所以可得0为四面

体。-ABC外接球的球心，求出04的长可得球的半径，从而可求出球的体积

【详解】解：设AC的中点为。，连接。仇。。，

因为四边形A8C。为矩形，所以。4=OC=O8=OD,ZABC=90°,

所以。为四面体。-ABC外接球的球心，

因为A8=3,8C=1,所以AC=JAB，+BC2=，32+代=痴,

所以OA=，AC=巫，所以面体"C外接球的半径为巫，

222

所以该四面体外接球的体积为*/?3=3万（孚）=半兀,

故选：A

【例3】

若正方体ABC。-ABCR的棱长为2,M,N,P,。分别为棱48,BC,CR,的中点，则四面

体MNPQ的外接球的半径为（）

A.&B,2C.1D.6

【答案】A

【分析】由正方体的性质可知正方体ABC。-44Gq的中心为。到每条棱的中点的距离都相等，从而可求

出外接球的半径

（详解】设正方体ABCD-ABCB的中心为。.则易得OM=ON=OP=OQ=应.

即四面体MNPQ外接球的半径为友.故选：A.

AB

【例4】

已知四面体尸-ABC中，AB1AC,ABLPB,S.AB=PB=2AC=2,PC=3,则该四面体的外接球的体

积为（）

9八石27

A.94B.-7tC.8"D.—71

24

【答案】B

【分析】根据勾股定理及逆定理、直角三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、球的体积公式进行求解

即可.

【详解】取AP、CP的中点。、0,连接DO、OB、DB、OA,

因为所以AABP是以口为斜边的直角三角形，

因此AP=JAB?+p3?=J2?+2?=20，DB=3AP=e,

因为AC=1,PC=3,所以有A尸+AC2=FC2,即AC，9,即△ACP是以CP为斜边的直角三角形，显

13

然有0A=0C=0尸=-PC==，

22

因为AC_LQ4,ABVAC,A4cPA=A,A3,24u平面PAB,

所以AC_L平面Q48,因为AP、CP的中点是D、0,所以QD〃AC且O£>=?AC=!，

22

因此ODJL平面R4B,而BDu平面R4B,所以OD_LDB,即是以OB为斜边的直角三角形，所以

OB=yjOD2+DB-=J-+2=~,

V42

3

于是有Q4=0C=0尸=08=5,所以点。是四面体P—ABC的外接球的球心，

439

所以四面体P-A5C的外接球的体积为；・乃•（1）3=；乃，故选：B

322

【题型二】长方体模型1：三线垂直型

【例1】

正方体的棱长为2,则它的外接球半径为（

A.&B.&C.V2D.1

【答案】B

【分加】正方体外接球直径为正方体的体对角线，直接求即可.

【详解】正方体外接球直径为正方体的体对角线，故厂=逗=叵1=6，

22

故选：B.

【例2】

已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为正，则此三棱锥的外接球的表面积为（）

A.nB.3nC.6nD.9兀

【答案】C

【分析】正三棱锥的外接球即是棱长为血的正方体的外接球，即得解.

【详解】正•:棱锥的外接球即是棱长为0的正方体的外接球,

所以外接球的直径2R=J（以）2+（&y+（&）2=瓜,

所以4R2=6,外接球的表面积4乃R2=6乃，故选：c

【例3】

在三棱锥A-8CZ）中，已知A8、AC.A£＞两两垂直，且4BCO是边长为2的正三角形，则该三棱锥的外接球

的体积为（）

A.127rB.4由无C.6兀D.瓜兀

【答案】D

三棱锥的侧棱两两垂直，则底面AABC为等边三角形，所以三棱锥可以补成正方体，且两者的外接球是同一

个，求出正方体的外接球半径即可求出外接球的体积.

【详解】解：山条件可知，三棱锥为正三棱锥，且可以补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的体

对角线就是外接球的直径.

设AB=x,则AC=A£）=x,ABVAC,即有&x=2，所以工=近

则三棱锥的外接球的直径为2R=yjAB2+AC2+AD2=,2+2+2=瓜，

则尺=如，所以体积丫="刑=卡》.

23

故选：D

【例4】

已知三棱锥P-ABC,PA_L平面A8C,且|/科=6，在AABC中，|AC|=1,忸4=2,且满足sin2A=sin2B,

则三棱锥尸-ABC外接球的体积为（）

.272口32c8及「8

A.-----71B.71C.-----71D.-71

3333

【答案】c

先证明AC，BC,设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,把此三棱锥放到长方体中，使三棱锥P-ABC的四个

顶点恰好是长方体的四个顶点，解方程（2R）2=|AC|2+|BC|2+\PAf=8,即得解.

【详解】由sin2A=sin2B且怛。到4。，则2A+2B=T,，A+B=?;.C=],

则ACJ_BC,设二棱锥尸-ABC外接球的半径为R,把此三棱锥放到长方体中，使三棱锥尸-ABC的四个顶点

恰好是长方体的四个顶点，则（2R『=|AC「+忸C『+1/嘴=&...R=&,

则％=g乃*--7T.故选：C

【题型三】长方体模型2：四个表面直角三角形

【例1】在三棱锥P-ABC,若以，平面ABC,ACLBC,\AC\=5,|BC|=VH,|PA|=8,则三棱锥P—ABC

外接球的表面积是（）

A.IOOTTB.50兀C.144兀D.727t

[答案]A

【与加】根据三棱锥的几何特征，可将二棱锥放于长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球.

【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：

则三棱锥的外接球就是长方体的外接球,为三棱锥P—ABC外接球的直径，

V|PB|=6+（717）2+82=10,

二外接球的表面积为：4乃x[?J=]0G万故选：A.

【例2】

若三棱锥尸-ABC的四个面都为直角三角形，且丛_L平面ABC,PA=AB=l,AC=2,则其外接球的表

面积为（）

A.6冗B.5万C.4%D.34

【答案】B

【分析】构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为R可得2R=PC=J|抬f+|AC『,

结合球的表面积计算公式即可.

【详解】构造如图所示的长方体,设其外接球的半径为上

贝lj2R=PC=yl\PA^+\AC[=V12+22=V5，

所以外接球的表面积为：4兀（e=5小

故选：B

【例31

《九章算术.商功》中有这样段话：“斜解立方，得两曲堵（qiandu）.斜解凄堵，其一为阳马，一为鳖席（bienao）.”

这里所谓的“鳖席”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥

A-8Cr＞是一个"鳖膈''，45,平面5c。，AC1CD,且48=0，BC=CD=\,则三棱锥A—BC。的

外接球的表面积为（）

A.3zrB.4HC.7〃D.9%

【答案】B

【分加】将：棱锥A-BCD补为长方体可求得结果._

【详解】如图所示，将三棱锥A-58补为一个长宽高分别为1,1,夜的长方体，则三棱锥A-BC。的外接球

即长方体的外接球.设外接球的半径为R,则（2R『=l+l+2=4,所以R2=I，

所以：棱锥A-的外接球的表面积5=47K=4".故选：B.

【例4】

已知三棱锥S—ABC中，SAJ_平面ABC,SA=AB=BC=五,AC=2,点E,F分别是线段AB,BC的

中点，直线AF,CE相交于点G,则过点G的平面a与截三棱锥S-ABC的外接球。所得截面面积的取值范

围为（）

8乃08乃3

A.产B.一，一九

92

2乃3空2万

C.一,-乃D.

323

【答案】B

【分析】可用补形法求球的半径，当截面垂直0G时，截面面积最小，截面过球心时面积最大可得.

【详解】解：因为Afi2+5C2=AC2,故AB_LBC,将二棱锥S—ABC补形成反方体，易知二棱锥S—ABC的

外接球0的半径R=12+2+2=叵取AC的中点Q,连接8。必过点G,因为AB=BC=g，故

22

因为84,故。d=

DG=-BD=-工，则过点G的平面截球。所得截面圆的最小半

33

/、L

径产=半-H=|,故截面面积的最小值为^,最大值为万R2=T%,

故选:B.

【题型四】长方体模型3：三棱锥对棱相等与等边直角三角形构造长方体型

【例1】

已知在四面体ABCD中，AB=CD=2®AD=AC=BC=BD=5则四面体A3C£>的外接球表面积为

【答案】9兀

【分析】

把四面体A3。补成为一个长方体，利用长方体求出外接球的半径，即可求出外接球表面积.

【详解】

对于四面体ABCD中，因为AB=C。=2及,AD=AC=BC=BDf,

所以可以把四面体48a）还原为一个长方体，如图：

设从同一个顶点出发的三条边长分别为X、八Z则有:

x2+y2=8x=2

^2+Z2=5,解得:,y=2点A、B、C、。均为长、宽、高分别为2,2,1的长方体的顶点,

y2+z2=5Z=1

且四面体ABCD的外接球即为该长方体的外接球,于是长方体的体对.角线即为外接球的直彳仝，

不妨设外接球的半径为R，,2R=VF万了=3，外接球的表面积为4忒2=兀（2/?>=9n.故答案为：9兀.

【例2】

已知三棱锥P-ABC,AC=BC^1,AB=s/2,P在平面ABC的射影是M,M、C两点关于AB对称，且PM=1,

则三棱锥P-ABC外接球半径是（）

A.3B.立C.立D.1

234

【答案】A

【分析】根据几何关系，证明。、4、8、C为正方体的顶点，则三棱锥的外接球为正方体外接球.

【详解】：AC=BC=LAB=0,AABC是等腰直角三角形，

•；M、C两点关于A8对称，，四边形AC8M是正方形.

=1且垂直平面ABC,；.P、4、B、C、M是棱长为1的正方体的顶点，

.•.正方体的外接球就是该三棱锥的外接球，

正方体体对角线上是外接球的直径，，外接球半径B.

2

【例3】

在三棱锥。-ASC中，AB=AD=2,BD=CB=CD=272.AC=2j5,则该四面体外接球的表面积是

()

32

A.12万B.8〃C.—7tD.24万

3

【答案】A

【分析】由条件可将二棱锥补体为正方体，即可求解外接球的半径，即可求解.

【详解】由下图可知，该儿何体可以补形为正方体，其外接球恰好为正方体的外接球，正方体的体对角线

长为AC=26=2R,故其外接球的表面积为4万穴2=12万.

【例4】

如图，在三棱锥S-AfiC中，SA=SC=AC=2®AB=BC=SB=2,则三棱锥S-AfiC外接球的表面积是

A.124B.4兀C.4岳D.—

3

【答案】A

【I•析】根据题意，将该几何体放置了正方体中截得，进而转化为求边长为2的正方体的外接球，再求解

即可.

【详解】解：因为在三棱锥S-ABC中，SA=SC=AC=242,AB=BC=SB=2,

所以将三棱锥补形成正方体如图所示，正方体的边长为2,

则体对角线长为2百，外接球的半径为R=K，

所以外接球的表由I积为47六=127，

故选：A.

【题型五】棱锥模型1:三棱锥

【例1】

.已知正四面体A-BCO外接球的表面积为12万，则该正四面体的表面积为（）

A.4右B.66C.8石D.12G

【答案】C

【分析】根据球的表面积公式可得半径，利用补全法，可得正四面体的边长，可得结果.

【详解】设外接球半径为R，则S=4万斤=12%，解得R=6,将正四面体A-BCD恢复成正方体，

知正四面体的棱为正方体的面对角线，故ABxXlx百=2后，解得AB=2&，

2

故该正四面体的表面积为4x曰X（2&『=875,故选：C.

【例2】已知正三棱锥P-ABC的外接球。的半径为1,且满足砺+而+元=0,则正三棱锥P-ABC的体积

为

A.-B.BC.3D.迈

4424

【答案】B

【详解】解：由函+砺+反=0可得O,A8,C四点共面且O点是△ABC的重心.则有底面三角形的边长

为2rcos30=6，正四棱锥的体积丫=15小=1乂1'6乂6$M60。*1=且.

3*324

【例3】

在三棱锥尸-ABC中，PA=PB=PC=5AB=AC=BC=^3,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是

（）

1525

A.9兀B.—nC.4兀D.—Tt

24

【答案】D

【分析】由外接球球心在正棱锥的高上，求得外接球的半径后可得表面积.

【详解】由已知尸-ABC是正三棱锥，设尸”是正棱锥的高，由外接球球心。在P”上，如图，设外接球半

径为R，

又CH=与*百=',则PH=JPC2-CH2=2,

由OC2=O〃2+C〃2得/?2=（2-/?尸+『，解得R=。，

所以表面积为S=4万x]£|=坐.

故选：D.

【题型六】棱锥模型2：正四棱锥（或圆锥）

[例1]

已知在高为2的正四棱锥P-A8c。中，AB=2,则正四棱锥P-ABC。外接球的体积为（）

【答案】B

【分析】根据正四棱锥的性质，结合球的体积公式进行求解即可.

【详解】设正方形A8CD的中心为。，正四棱锥P-ABCD外接球的半径为R,有04=夜，/?2=（2-力+（夜丫,

解得R=3，则正四棱锥尸-AfiCD外接球的体积为士%=也.故选：B

23⑴2

【例2】

已知圆锥的侧面积为8万，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为（）

A8x/LrRQ「9乃64zr

A.-----B.97rC.--D.---

323

【答案】D

【分加】由题意首先求得圆锥的底面半径、母线长和高度，然后列方程求得其外接球半径，最后由球的表

面积公式可得表面积的值.

【详解】设圆锥的底面半径为，高为心母线长为/,

则｛,c，解得，/人”^彳=26，设圆锥外接球的半径为R，则（2石-种+22=产，解得

[7vl=2/rr[1=4

R也,

3

则外接球的表面积为47/?2=等.故选：D.

【例3】

已知正方体A8CO-ABGR的棱长为2,其各面的中心分别为点E,F,G,H,M,N,则连接相邻各面中

心构成的几何体的外接球表面积为（）

A.4万B.8〃C.124D.16〃

【答案】A

【分析】依题意可知正方体的中心。满足：OE=OF=OG=OH=OM=ON=l,故外接球半径为1,即可

求其表面积.

【详解】如图所示：设正方体488-A4GR的中心。满足：

OE=OF=OG=OH=OM=ON=i

所以该几何体的外接球的球心为。，半径为1

则外接球表面积为5=4万产=47

故选：A

【例4】

已知正四棱锥P-ABC。所有棱的长均为2,则该棱锥外接球的表面积为（）

A.44B.87

C.127rD.16]

【答案】B

由于尸A=PC=2,AC=20,得PA±PC故球心为AC与即交点则球表面积可求.

【详解】如图所示：

p

所以PA，PC,

设AC与8。交于点O，

则。4=08=OC=O。=OP=啦，

所以正四棱锥尸-ABCD的外接球是以0为球心，半径为亚的球,

所以该棱锥外接球的表面积为4万x（夜丫=8万，故选：B

【题型七】棱锥模型3：面面垂直型

【例1】已知四棱锥F-483）中，平面？M，平面N8CD，其中幺BCD为正方形，为等腰直

角三角形，PA・PD■近,则四棱锥F-4BCD外接球的表面积为

A.10用B.4零C.16才D.8力

【答案】D

【详解】试题分析：画图如下图所示，由图可知圆的半径Q<=OB=GP=',故正方形的对角线的交点

恰好为球心，球的表面积为能*=觊,

【例2】在四边形ABC。中，AB=BC=BZABC=90°,ZV1CO为等边三角形，将△ACO沿边AC折起,

使得平面ACDL平面A5C,则三棱锥O-43C外接球的表面积为（）

cc-4乃e164

A.8万B.124C.—D.

33

【答案】D

由直角三角形的性质确定三角形ABC外接圆的半径，再由。。，平面ABC确定三棱锥。-A5C外接球的球

心在上，由勾股定理求出外接球的半径，进而得出表面积.

【详解】取AC的中点为。一连接

因为/ABC=90。，所以三角形ABC外接圆的圆心为°i,且Cq=g，（夜丫+（应丫=1

因为平面AC。，平面ABC,所以，平面ABC因为八式刀为等边三角形，所以三棱锥。-A8C外接球

的球心在。。1上设球心为。，半径为R,连接8,。01=衣二］7=6由上=09：+0。：=1+（6-/?『，解

得人迫

3

即三棱锥。-ABC外接球的表面积为S=4"x竽］=等故选：D

【例3】

已知矩形ABC。中，Afi-4,AD=3,E,尸分别为边A8和CQ上的动点（不与端点重合），且EF//4）,

将四边形4）在沿EF折起，使平面45F",平面^口石，连接AB,CD,当三棱柱ABE-OCF的体积最

大时，该三棱柱的外接球体积为（）

A68V1752布17V17n/rr

A.--------TCB.--------riC.--------71D.130134

336

［答案］C

设则3E=4-x,折得的几何体为三棱柱ABE-0CF,利用棱柱的体积公式，结合基本不等式求

得体积最大值时工的值，进而求得外接球的半径，根据体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，设AE=x,则跖=4-x,折得的几何体为三棱柱ABE-OCA

I31+4-x

因为平面平面5CEE,可得AEL跖，所以匕加吠=］》（4-力34整（——）2=6,

当且仅当x=4—x时，即x=2时，％比0田的体积最大，

设三棱柱的外接球的半径为R，则2、=8。=>/4+4+9=后，可得R=典，

2

=工组.故选：c

36

【例4】

已知四棱锥P-ABCO中，底面A8C。为边长为4的正方形，侧面叩J•底面ABC。，且△E4B为等边三角

形，则该四棱锥P-AB8外接球的表面积为（）

【答案】A

【分析】取侧面△R4B和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为。”。2,分别过。一。2作两个平面的垂

线交于点0,得到点。即为该球的球心,取线段A5的中点E,得到四边形。再。2。为矩形，分别求得。。2，。2。，

结合球的截面圆的性质，即可求解.

【详解】如图所示，在四棱锥P-ABCD^,取侧面和底面正方形4BCO的外接圆的圆心分别为QQ,

分别过。一。2作两个平面的垂线交于点0，

则由外接球的性质知，点。即为该球的球心，

取线段48的中点E,连QE,02E,O2D,0D,则四边形。无。。为矩形，

在等边△PA8中，可得PE=2ji,则0£=3叵，即。。2=冬叵，

在正方形ABCD中，因为A8=4,可得Q£>=20,

22

在直角AORD中，可得BpR=OO；+O2D=—,

所以四棱锥P-ABCD外接球的表面积为5=4%炉=卫/.

故选：A.

B

【题型八】线面垂直型1:直棱柱型（圆柱型）

【例1】

在直三棱柱A8C-A&G中，AB=AC=AAt=4,ABYAC,则该直三棱柱ABC-A&G的外接球的体积是

（）

A.487B.326兀C.167D.184r

【答案】B

由题意可知将直三棱柱可以补成一个正方体，则直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，而正方体外接球

的直径是正方体的对角线，从而可得答案

【详解】解：因为直三棱柱4BC-A8G中，A8=4C=A4,=4,AB1AC,

所以将直三棱柱补成棱长为4的正方体，如图所示

直三棱柱的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R,则（2/?y=邛+下+下，解得R=26，

所以外接球的体枳为㊁乃於=±乃x12x2石=32岳，故选：B

【例2】

1T

正四棱柱ABCO-ABGR中，AB=2,二面角4-BO-G的大小为则该正四棱柱外接球的表面积为

A.12%B.14万C.16万D.18万

【答案】B

【分析】先根据:面角A-BO-G的大小为?，求出正四棱柱的高，进而可求出正四棱柱外接球的直径，

从而可求出结果.

【详解】取3。的中点0,连结OA，OG，易知在正四棱柱中，OCt±BD.

c）A=OC]，

jr

所以/AOG即为二面角A-5D-G的平面角，即/AOG=[,又=0G，所以为等边三角形,

所以04=4G=20,所以A4,=JOA，-OA2=瓜,

因为正四棱柱的外接球直径等于正四棱柱的体对角线长,设外接球半径为R.

则2R=j22+22+6=VS，所以外接球的表面积为S=4TTR2=14万.

故选B

【例3】

7

如图，在正四棱柱ABCO-AECQ中，底面的边长为几，与底面所成角的大小为出且tan"：,则

该正四棱柱的外接球表面积为（）

【答案】D

【分析】根据正四棱柱ABC。-A/8QD的侧棱DC底面A8CC,判断/。山。为直线8D/与底面A8C。

所成的角，可求出正四棱柱的高,利用体对角线长度即为直径求解球的表面积即可

[详解]♦.•正四棱柱ABCD-A向CM/的侧棱/）小，底面ABCD,：./。网）为直线8。与底面ABCD所成

的角，

.,.tanZD/BD=|,二•正四棱柱ABC。-AJ3/C/D中，底面A8CO的边长为遥，；.8。=2上，

二正四棱柱的高6=26X|=迪・•.正四棱柱的外接球半径为R=D[B=后

'3F~-2---I-

52

正四棱柱的外接球表面积为S=4n/?2=?%.故选：D.

【例4】

学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8万，则该圆柱体的外接球的表面

积的最小值是（）

A.4（A/5—l）zrB.8（5/5—l）zrC.4（-^5+\）TTD.8（A/5+1）TT

【答案】B

4

【分析】设圆柱的高为力，底面圆的半径为小该圆柱外接球的半径为R,根据圆柱的面积得到力=--，

r

0<r<2,再由球与圆柱的结构特征，得到R=进而可表示出球的表面积，从而可求出最小值.

【详解】设圆柱的高为〃，底面圆的半径为「，该圆柱外接球的半径为R,

、[4八

4—广4----r>0

由题意可得24广〃+2万产=8%，则泌+/=4；所以九=-----=—r,5r,则0<rv2,

rr[r>0

根据圆柱与球的对称性可得：R=J+图,

所以该圆柱体的外接球的表面积为5=4乃斤=4万卜+:）=4"产+-4尸=4万（4+捺一

\7

24万（2逐-2）=8（逐-1"当且仅当?=即/=京时一，等号成立.故选：B.

【题型九】线面垂直型2：棱锥型

【例11

《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱

锥称之为“阳马”，在如图所示的堑培48C-A8C中，4A=4C=5,AB=3,BC=4,则在堑堵ABC-

中截掉阳马C-A84A后的几何体的外接球的体积是（）

125岳1250

A.50万--------FD.200万

36

【答案】B

【分析】首先根据题意得到剩余的几何体为三棱锥G-4BC,CG_L平面ABC,AB1BC,再将三棱锥放

入长方体求解外接球体积即可.

【详解】由题知：剩余的几何体为三棱锥G-ABC,CC」平面ABC,ABVBC.

将二棱锥G-ABC放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：

外接球半径R=在小2上=逑

所以外接球体积丫=3万丝孚L故选：B

【例2】

已知三棱锥P-ABC中，氏=4,A8=AC=2石，BC=6,勿，面48C,则此三棱锥的外接球的体积为（）

【答案】A

【分析】在底面AA3C中，利用余弦定理求出cos/BAC,得到sin/8AC,再由正弦定理得到AABC的外接

圆半径，利用勾股定理，得到三棱锥外接球的半径，得到其体积.

【详解】：底面AABC中，AB=AC=273,BC=6,

cosZBAC---sinBAC=—>

...AABC的外接圆半径为'一，"耳

•.•用_1_面43&二三棱锥外接球的半径a=/+（?）=（2后+22=16,，R=4,

所以三棱维P-A8C外接球的体积V=:乃代=詈

故选：A.

【例3】

三棱锥P-ABC中，底面ABC为边长为6的正三角形，以，平面A8C,且以=4,则该三棱锥的外接球的

表面积为（）.

A.647rB.48兀C.32兀D.167t

【答案】A

【分析】根据题意求得外接圆的半径为r=2G，球心到AABC外接圆圆心的距离为d=2,

进而求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.

【详解】由题意，底面AABC时边长为6的正一角形，PA_L平面ABC,且%=4,

可得此三棱锥外接球，即为以AABC为底面，以R4为高的正三棱柱的外接球，

因为AABC时边长为6的正三角形，可得A43C外接圆的半径为,=28，

球心到AABC外接圆圆心的距离为d=2,

所以外接球的半径为R=77寿=4，

所以外接球的表面积为5=4万卡=4^X42=647.

故选：A.

【例4】

已知三棱锥P-ABC中，PAl^ABC,底面A8C是边长为2的正三角形，PA=4,则三棱锥P-ABC的外

接球表面积为（）

【答案】B

【彳析】由已知结合二:棱锥和正三棱柱的几何特征，得到三棱锥的外接即为以“ABC为底面，以R4为高的

正三棱柱的外接球，分别求得棱锥底面外接圆的半径和球心到底面的距离，求得球的半径，利用球的面积

公式，即可求解.

【详解】根据已知中底面AMC是边长为2的正三角形，且始，底面ABC,

可得此三棱锥外接球，即为以为底面，以上4为高的正三棱柱的外接球，

因为AABC时边长为2的正三角形，可得“LBC的外接圆半径为r=2叵，

3

所以球心到AABC的外接圆圆心的距离为」=2,

故球的半径为7?=。7彳=拽，

3

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为5=勿加,=（64万.

故选：B.

【题型十】内切球

［例1］

已知正方体4BCD-A4GA的棱长为1,其内切球与外接球的表面积分别为5，邑，则”=（）

［答案］C

【K析】根据正方体的内切球的直径为正方体的棱，求出其半径，外接球的直径为正方体的对角线，求出

半径，由球的表面积公式，即可求解.

【详解】内切球的半径外接球的半径&=等,

所以表面积之比为&=HQ=L故选：c.

邑⑴3

【例2】

已知正三棱柱的高与底面边长均为2,则该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为（）

A.-B.且C.-D.叵

7777

【答案】A

【5析】根据柱体外接球的特点可知，该正三棱柱的外接球的球心在上下底面中心连线的中点处，再根据

勾股定理即可求出外接球的半径；由正三棱柱的性质可知，当球半径「是底面正三角形内切圆的半径时，该

内切球的半径最大，由此即可求出该内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求出结果.

【详解】设正三棱柱ABC-ABC，取三棱柱ABC-ABC的两底面中心0,。1,

连结。。…取的中点连结80,则BD为正三棱柱外接球的半径.是边长为2的正三角形，

。是AABC的中心，，80=2、6=辿.又•.•OD=Loa=」AA=i，

332,21

BD=j0B、0D2=g=誓....正三棱柱ABC-ABG外接球的表面积47x8。=学.

根据题意可知，当球半径「是底面正三角形内切圆的半径时，此时正三棱柱内的球半径最大，即

_16

r=—xy/j=—,

33

A77,

所以正三棱柱ABC-A4G内半径最大的球表面积为4Txr=号，

47

所以该正三棱柱内半径最大的球与其外接球的表面积之比为虎a一=『1故选：A.

米爪7

【例3】

在正方体A8CO-AMGR中，三棱锥A-8CQ的内切球的表面积为16万，则正方体外接球的体积为（）

A.8反B.288万C.36万D.72近兀

【答案】B

【分析】设正方体的棱长为。，求出三棱锥A-BCQ的内切球半径，设A到平面BG。的距离为儿可得

Xvg0=4%-g",从而可得a=46,求出正方体的对角线可得正方体外接球的半径，利用球的体积公式

即可求解.

【详解】设正方体的棱长为“，则BO=&a，因为三棱锥A-BG。的内切球的表面积为16兀，

所以三棱锥A-BCQ的内切球半径为2.设三棱锥A-BCQ的内切球的球心为0,

=

A到平面BCQ的距离为h,则展他,5cox/z=4x—S^BCDx2=>〃=8,

〃=^x后a=8,