2021届 人教a版 平面向量 单元测试

平面向量

一、单选题

1.已知0为AABC的外心，|而|=16,|衣|=1函，若而且

32x+25y=25,则NB=()

(A)—(B)—(C)—(D)—

31264

【答案】D

【解析】

试题分析：=.•.不。2=》而・於+丫抚・而，取AB中点。连

接。。，为MBC的外心，:.OD±AB

Afi-Ad=|AB||/fd|cosZDAOABAB)=128同理

AC-AO=|AC|(^|AC|)=100,AO2=128x+100y=4(32x+25y)=100

ACV2

,-.|AO|=IO.•.AABC的外接圆半径r=10,.-J~L=20,sinB=—

sinB2

•.,|福卜|44，」.48不是最大角，,8=(,故选口.

考点：平面向量的基本定理及其意义.

【易错点睛】本题考查三角形外心的概念，考查向量的数量积的运算及计算公式，考查

余弦函数的定义，以及正弦定理，三角形外接圆半径的求法，已知三角函数值求角，以

及大边对大角定理.本题难点在于如何将向量的问题转化为正余弦定理问题，本题的着

眼在于外接圆的半径的求法.本题涉及的知识在广，难度中等.

2.若函数y=Asin(/x+e)A>0,/>0,陷〈'在一个周期内的图象如图所示，且

在)’轴上的截距为M,N分别是这段图象的最高点和最低点，则两在两方向

上的投影为（）

AV29RV29„V5nV5

292955

【答案】D

【解析】

【分析】

根据图象求出函数的解析式，然后求出点的坐标，进而可得所求结果.

【详解】

根据函数歹=45皿（8+0）缶＞0,啰＞0,冏＜三）在一个周期内的图象，可得

T12%1c式

—=-----=3—1=2,/.co=—.

44①4

'JITT'）1

再根据五点法作图可得一-1+9=—，...。二一，

424

...函数的解析式为y=Asin[?x+7].

♦.•该函数在乡轴上的截距为0,

y=Asin--A->/2>A=2,

42

(JIJI)

故函数的解析式为y=2sin[]X+wJ.

二两•丽=5—4=1，

又|两j=B

OMON_1_75

向量。河在0M方向上的投影为

\OM\一右-5

故选D.

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是正确求出函数的解析式，进而得到两点的坐标，此处要灵

活运用“五点法”求出。的值；二是注意一个向量在另一个向量方向上的投影的概念,

属于基础题.

3.在平面直角坐标系中，已知4(2,2),5(1,1),则向量通的坐标是()

A.(2,2)B.(-2,-2)C.(1,1)D.(-1,-1)

【答案】D

【解析】

【分析】

根据向量的坐标运算即可求出.

【详解】

因为A(2,2),3(1,1),

所以而=(1,1)_(2,2)=(_1,—1).

故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的坐标运算，属于基础题.

4.已知向量。=(2/),6=(加,-1),且M_L(N—Z?),则加的值为()

A.1B.3C.1或3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出口-6，再利用向量垂直的坐标表示得到关于加的方程，从而求出加.

【详解】

因为a=(2,1),各=(机,-1),所以=(2-m,2).

因为万J•(万-B),则G-(G-5)=2(2-机)+2=(),解得〃?=3

所以答案选B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，属于基础题.

5.已知5均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|3力+同=()

A.V?B.V10C.V13D.13

【答案】C

【解析】

【分析】

先由题意，求出@石，再由向量模的计算公式，即可求出结果.

【详解】

因为万，日均为单位向量，它们的夹角为60°,

所以日石=|G|X|卜以"60

2

因止匕用+可=，9同~+6晨5+忖=A/9+3+1=V13•

故选：C.

【点睛】

本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于基础题型.

6.已知向量日、B满足同=1，网=2,且伸+力）1,则万与日的夹角为（）

A.30°B.60。C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量垂直关系可知两向量数量积为零，从而构造出关于两向量夹角余弦值的方程,

解出余弦值即可求得夹角.

【详解】

由（45+匕）J_b得：（4、+£»）•"=4a-b+b2=4xlx2cos<a,b>+4=0

rr1r1

解得：cos<a,b>=--:.<a,b>=120°

本题正确选项：C

【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用向量的垂直关系将问题转变为向量模长

和夹角的关系式.

7.若旧=&,向=2且仅得则1与3的夹角是（）

【答案】B

【解析】

（CI_b}_Ld/-*一、-*一2-__—2|-*|2

试题分析：根据'',有（。一。）。=0,々-a・b=O,得a・b=a=卜=2,

所以cose=/g=YZ，所以夕=工.

I+H24

考点：向量垂直，夹角.

8.如图，长方体ABC。-48GA中，2A6=3AA]=6,帮=2而;，点7在棱A4

UUUUU

上，若TP,平面P8C.则7Pq8=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线面垂直的性质，可知7P，尸3；结合4户=2PB即可证明△产力4]=ABPB],

UUUUU

进而求得TA\.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得7P.B.B.

【详解】

长方体ABC。-44Goi中，2AB=3A41=6,

点T在棱A4上，若7P_L平面P8C.

则7PLEB，乖=20万;

则APTAX=/BPB],所以\PTA^=ABPB],

则TA^=PB]=1,

uiruuirIUITIIUUU

所以叱.8避=|!?’48-cosZPTA

V22+12X2X=^=

Iy/22+l2J

故选：D.

【点睛】

本题考查了直线与平面垂直的性质应用，平面向量数量积的运算，属于基础题.

9.设［3为基底向量,已知向量而=3—无，而=21+元函=3^-兀若A,B,D三

点共线，则实数攵的值等于()

A.10B.-10C.2

D.-2

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得，BD=CD-CB=Oa-b)-(2a+b)=a-2b,因为三

点共线，所以丽=4而0£一。=/10-2杨，解得;1=1,攵=2,故选C.

考点：共线向量的应用.

10.如图，四边形ABCZ)是正方形，延长C。至点E,使得£>£=CD.若点尸为线段

OC上的点，CP=PD.且Q=/n通+〃而，则加一〃=()

-----2——上厂

B

c.-I

【答案】D

【解析】

【分析】

选取而，而为基底，其他向量都用基底表示，可得.

【详解】

由题意P是CD中点,

AP=AD+DP^AD+-AB,

2

mAE+nAB=m{AD+DE)+nAB=m(AD+C£>)+nAB=m{AD-AB)+nAB

=mAD+(n-m)AB，

,:AP=mAE+nAB»

<1,解得<3»***W—71=—.

n-m=—n=—2

122

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量基本定理，解题时选取基底，用基底表示其他向量进行运算即可.

11.已知向量痴夹角为60。，且忖|=1,*2,贝||2万叫=()

A.2B.3C.4D.8-46

【答案】A

【解析】

分析：已知4和6的模长及这两向量的夹角，可以将所求目标利用平方（模的平方等于

向量的平方），转化为G和5的线性运算.

详解：

\2a-b^=（2a-b^=4a2-4«-b+4&2=4xl2-4xlx2xcos60°+22=4,

.•侬-同=2.

故选：A.

点睛：（1）在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对

同=Ji不要引起足够重视，它是求距离常用的公式.

（2）要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中，灵活运用运算律，

就会达到简化运算的目的.

12.已知AASC的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,。为A4BC内一点，若

分别满足下列四个条件：

®abA+bOB+cOC^O；

②tanA•OA+tanB-OB+tanC-OC=0?

③sin2AOA+sin2B-OB+sin2COC=0：

@OA+OB+OC=Qi

则点。分别为的（）

A.外心、内心、垂心、重心B.内心、外心、垂心、重心

C.垂心、内心、重心、外心D.内心、垂心、夕卜白、重心

【答案】D

【解析】

【分析】

先考虑直角AABC,可令a=3,b=4,c=5,可得A（0,4）,3（3,0）,C（0,0）,

设0（相，司,由向量的坐标表示和三角函数的恒等变换公式计算可判断①③④为三角形

的内心、外心和重心;考虑等腰A4BC,底角为30°，设。（-1,6），3（2,0）,A（0,0）,

O（x,y）,由向量的坐标表示和向量垂直的条件，可判断②为三角形的垂心.

【详解】

先考虑直角A46C，可令。=3,。=4,。=5,

可得A（0,4）,8（3,0）,C（0,0）,设0（孙〃）,

@aOA+bOB+cOC=6»即为3（一租,4—〃）+4（3—加,—"）+5（一加,—〃）=（0,（））,

即有一12〃2+12=0,—12〃+12=0,解得〃2=几=1,

即有。到x,丁轴的距离为1,。在/BG4的平分线上，且到A5的距离也为1,

则。为△ABC的内心；

③sin2A-OA+sin2B-OB+sin2C-OC=6，

24?4

即为254-^）+—（3-m,-n）+0（-m,-n）=（0,0）,

3

可得3-2加=0,4—2〃=0,解得加=一,〃=2,

2

由|。4|=|0叫=|0。|=；,故。为AABC的外心；

@O4+dB+OC=0>可得（一加,4一"）+（3-["，一"）+（一租,-〃）=（0,0）,

4

即为3—3加=0,4-3/?=0,解得根=1,〃=

由AC的中点0为（0,2）,|。叫=/，|0目=2坐，即。分中线£>5比为2:3,

故。为AABC的重心；

考虑等腰AABC,底角为3（1，

设C（—1,6），3（2,0）,A（0,0）,O（x,y）,

②tanA-OA+tanB•OB+tanC-OC=6,

即为一V^（一九,-y）+-^-（2—x,-y）+-^-^—1—-y）=（0,0），

可得@x+@=0，3y+l=0,解得x=-l,y=Y，

333

即0（—1,—6），由OC'AB,后八MBC=6［一日］=-1，即有Q4L8C,

故。为AABC的垂心.

故选：D

【点睛】

本题考查三角形的四心的判断，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，通常可用建

立坐标系的方法求解，属于常考题型.

二、填空题

22

13.已知直线Ax+By+C=O与0a/+丁=2交于只0两点,若满足^+B=2C»

则"而=；

【答案】-1

【解析】

Ax+By+C=0

设P(xi,yi)，Q(X2,yz),则由方程组，5.

x2-by2=2

直线Ax+By+C=0与圆x?+y2=2联立消去y,得

「2_2D2

(A2+B2)x2+2ACx+(C2-2B2)=0,.-.xiX2=—~-；

A2+B2

c2-2A2

消去x,得(A2+B2)y2+2BCy+(C2-2B2)=0,二丫皿二二~~2-

A2+B2

C2-IB2C2-2A22c2

OP-OQ=x,X2+yiy2=+-------------

A2+B2A2+B2A2+B2

VA2,C2,B2成等差数列,

.\2C2=A2+B2,

:.OPOQ=-1.

故答案为-1.

14.如图，在平面斜坐标系NxOy=。中，z.xOy-9,平面上任意一点P关于斜坐标系

的斜坐标这样定义：若而=x^*+y石（其中石，豆分别是'轴，丽=。2，及）轴同方

向的单位向量），则P点的斜坐标为（",0Q=（x2,y2））,向量而的斜坐标为（X,0Q=

。2，丫2））・给出以下结论：

O

①若J=60°,P(2,-l),则|而|=V3；

②若PQi,Vi),Q(x2,y2)>则况+OQ=(Xi+x2,yt+y2);

③若加=Oi，%)，0Q=(%2)72)»则丽•丽=XrX2+丫1丫2：

④若9=60。，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为无2+丫2+盯一1=0.

其中所有正确的结论的序号是.

【答案】①②④

【解析】

试题分析：①中|0P『=。02=Q可—初2=4+1—4xg=3二|0P|=百，②中若

P(x【yi)，Q(x2,y2)'则而+的=(Xl，%)+(%2+92)=01+%2，%+%)，③中由数

乘向量的知识可知是正确的，④适用于平面直角坐标系中向量的数量积运算，在斜坐标

系中不成立，⑤长度为的三边构成三角形，1的对角为120。，由余弦定理得1=

2222

x+y-2xycosl20°A%4-y4-%y-1=0

考点：向量运算

点评：求解本题首先要理解清楚斜坐标系中点的坐标的确定方法，其实质是方在x,y轴

上的分量

15.已知平面向量4,满足同=2,W=2,忖+2司=5,则向量Z，石夹角的余弦

值为.

【答案金

【解析】

【分析】

利用向量的模和向量的数量积的定义及其性质，即可求解答案.

【详解】

因为平面向量a,B满足同=2,网=2,忖+2可=5,

则忖+2同=\]a2+4b2+4a-b=\)22+4x22+4x2x2cosa,b=5，

一55

解得cos@,》=3,故答案为二.

1616

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积的定义及其性质的应用，其中熟记平面向量的数量积的定

义及其性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

16.已知A5是直线/上任意两点，。是/外一点，若/上一点C满足

0C=CMcos0+OBcos20，则sin20+sin46+sin60的值是.

【答案】V5-1

【解析】

【分析】

依题意知,cos0+cos20=l,于是得cos6=sin2。，sin60=2cos0-1,sin20+sin40+sin60=

2cos0,解方程COS6+COS26=1,可求得cos。，从而可得答案.

【详解】

解：・・・A、B、C三点共线，且反=±4cose+砺cos?仇

/.cosO+cos20=l,(三点共线的充要条件)

Acos20=1-cos0,

AcosO=1-cos29=sin20,

Asin60=cos3O=cos0*(1-sin20)=cos0(1-cos0)=cos0-cos20=cos0-(1-cos0)

=2cos0-1,

Asin20+sin4e+sin66

=cos0+cos20+2cos0-1

=cos0+l-COS0+2COS0-1

=2cos0,

由COS?。=1-COS0得COS0=」+.6或COS0=—_—<-1,舍去，

22

.a-1+V5

..cosG=-------，

2

原式=2cos0=亚_1,

故答案为6-1.

【点睛】

本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得，sin60=2cos0-1,sin20+sin46+sin69-2cos0

是关键，也是难点，考查转化思想与运算能力，属于难题.

三、解答题

17.已知ZVRC的三边长AB=8,BC=7,AC=3.

⑴求宿宿

(2)OA的半径为3,设P。是的一条直径，求而•真的最大值和最小值.

【答案】⑴12；(2)最大值为24,最小值为-18.

【解析】

【分析】

(1)先根据余弦定理，求得cos/BAC,再根据平面向量数量积的定义即可求得

ULWUUUl

AB-AC-

ULIUUU,

（2）根据向量加法与减法的线性运算,将3PCQ化简为丽-而一+衣.丽，设

向量乔与丽夹角为。，进而转化为余弦函数的表达式，根据余弦函数的值域即可求得

最大值与最小值.

【详解】

（1）设NB4C=6

则cos”坦把工82+32-72_1

2xABxAC2x8x32'

AB-AC=\AB\\AC\cos0

=8x3x—=12

2

（2）丽而=（而+衣）•（画+砌

^（BA+AP）-（CA-AP）

=BACA-AP2+AP-（CA-BA^

=BACA-AP2+APCB

设向量,户，在夹角为8（0<84»），

则上式=12-9+3x7cos8=3+21cos。，

最大值为24,最小值为-18

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的应用，向量加法与减法的应用,余弦定理在求角中的用法,

属于中档题.

18.如图，已知平行四边形458,。是AC与BO的交点，设通=口而=5.

(I)用a、6表示丽和血；

(II)若同=6,同=4,乙DAB=g求2|啊.

【答案】(I)BD=h-a,AO=^a+b).(IDR而|=2如

【解析】

【分析】

【详解】

解：(I)依题意可知，0是8。的中点，AB=a,AD=b

BD=AD-AB=B-a,AO=；AC=g(A与+AZ5)=；(Q+B)

___jr

(II)■.•2\AO\=\2Ad[=]a+b\,\a\=6,\b\=4,ZDAB=-

'：|a+^|=(a+B)=|A|+忖+2a.B=36+16+2x6x4cos2=76

/.|a+S|=2A/19

2园=2晒.

【点睛】

本题考查向量的加减运算，向量的数量积，属于基础题.

19.在钝角AABC中，。,方,。分别是角4,8,。的对边，

m=(2Z?-c,cosC),n=(a,cosA),且而〃言.

（1）求角A的大小;

(2)求函数y=2sii/8+cos(?-28j的值域.

【答案】（1）p（2）rl-

【解析】

分析：⑴由祖/方可得（20-c）cosA-acosC=0,利用正弦定理化简可得

.•.2sinBcosA-sinB=0,进而可得结果；（2）由y=2豆1?5+85（三一28）,利用

二倍角的余弦公式以及两角差的余弦公式可得函数解析式为s山［26-看）+1由于当角

Jr27r57rTT74

3为钝角时，角C为锐角，可得一＜B＜—,所以二＜23-一＜—,利用正弦函

23666

数的单调性可得结果.

详解：（1）由加//打得（乃一c）cosZ-acosC=0,

由正弦定理得2sinBcosd-sinCcosZ-sindecs。=0

.・.2sin5cosZ-siii5=0，r&sinBwO,得Z=¥

3

(2)y=l一」cos23+且Gn2B=sinQB-2)+1,

226

H■

—<B<产

2itIn

当角B为钝角时，角C为锐角，贝小=>—<Bn<——

c2九•n几23

0<——S<一

32

5几_cHIn

—<2B--<—

6669-aw吗，

0<B<x

£

当角B为锐角时，角C为钝角，则〈Hlie=>0<5<—

—<——-Bn<x6

123

nnn二今(一"己)，二

一—<23_—<一,sinQB-eye("3,

66662222

综上，所求函数的值域为（士1,三3）.

22

点睛：以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，

对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但

综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式