必修一课后作业第一章集合章末复习课

学习目标1.梳理构建集合的知识网络.2.系统理解和掌握集合的基础知识.3.能运用集合间的关系和集合的基本运算解决问题．知识点一元素与集合、集合与集合之间的关系元素与集合之间的关系是属于、不属于的关系，根据集合中元素的确定性，对于任意一个元素a要么是给定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a∉A)，不能模棱两可．对于两个集合A，B，可分成两类A⊆B，A⃘B，其中A⊆B又可分为A?B与A＝B两种情况，在解题时要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一个特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解决集合之间的关系时，要注意不要丢掉空集这一情形．知识点二集合与集合之间的运算并、交、补是集合之间的基本运算，Venn图与数轴是集合运算的重要工具．注意集合之间的运算与集合之间关系的转化，如A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.类型一集合的概念及表示法例1下列集合中M，N相等的是________．(填序号)①M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}；②M＝{2,1}，N＝{1,2}；③M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}；④M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}．答案②解析①中M，N两集合的元素个数不同，故不可能相等；②中M，N均为含有1,2两个元素的集合，由集合中元素的无序性可得M＝N；③中M，N均为数集，显然有M?N；④中M为点集，即抛物线y＝x2－1上所有点的集合，而N为数集，即抛物线y＝x2－1的y的取值．反思与感悟要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性质，明确是数集，还是点集等．跟踪训练1设集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________.答案{(4,4)}解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2x－3y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))∴A∩B＝{(4,4)}．类型二集合间的基本关系例2若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，求由a的可能取值组成的集合．解由题意得，P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；当a≠0时，方程ax＋1＝0的解为x＝－eq\f(1,a)，为满足S⊆P，可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).故所求集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2))).反思与感悟(1)在分类时要遵循“不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．(2)对于两集合A，B，当A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．跟踪训练2下列说法中不正确的是________．(填序号)①若集合A＝∅，则∅⊆A；②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，则A＝B；③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a>2.答案③解析∅是任何集合的子集，故①正确；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，∴A＝B，故②正确；若A⊆B，则a≥2，故③错误．类型三集合的交、并、补运算命题角度1用符号语言表示的集合运算例3设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵∁RA＝{x|x<3或x≥7}．∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思与感悟求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否．跟踪训练3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，则A∩(∁UB)＝________.答案{3,6}解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴∁UB＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(∁UB)＝{3,6}．命题角度2用图形语言表示的集合运算例4设全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，则图中阴影部分表示的集合为________．答案{x|1≤x<2}解析图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)，因为∁UB＝{x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(∁UB)＝{x|1≤x＜2}．反思与感悟解决这一类问题一般用数形结合思想，借助于Venn图和数轴，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来．跟踪训练4学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛，已知两项都参赛的有6名同学，两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？解设A＝{x|x为参加排球赛的同学}，B＝{x|x为参加田径赛的同学}，则A∩B＝{x|x为参加两项比赛的同学}．画出Venn图(如图)，则没有参加过比赛的同学有45－(12＋20－6)＝19(名)．答这个班共有19名同学没有参加过比赛．类型四关于集合的新定义题例5设A为非空实数集，若对任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集；③若集合A1，A2为封闭集，则A1∪A2为封闭集；④若A为封闭集，则一定有0∈A.其中正确结论的序号是________．答案②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封闭集；②设x，y∈A，则x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正确；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}为封闭集，但A1∪A2不是封闭集，故③不正确；④若A为封闭集，则取x＝y，得x－y＝0∈A.故填②④.反思与感悟新定义题是近几年高考中集合题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解，也就是要在准确把握新信息的基础上，利用已有的知识来解决问题．跟踪训练5设数集M＝{x|m≤x≤m＋eq\f(3,4)}，N＝{x|n－eq\f(1,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．答案eq\f(1,12)解析方法一由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))解得0≤m≤eq\f(1,4)，eq\f(1,3)≤n≤1.取字母m的最小值0，字母n的最大值1，可得M＝{x|0≤x≤eq\f(3,4)}，N＝{x|eq\f(2,3)≤x≤1}，所以M∩N＝{x|0≤x≤eq\f(3,4)}∩{x|eq\f(2,3)≤x≤1}＝{x|eq\f(2,3)≤x≤eq\f(3,4)}，此时得集合M∩N的“长度”为eq\f(3,4)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,12).方法二集合M的“长度”为eq\f(3,4)，集合N的“长度”为eq\f(1,3).由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，而{x|0≤x≤1}的“长度”为1，由此可得集合M∩N的“长度”的最小值是(eq\f(3,4)＋eq\f(1,3))－1＝eq\f(1,12).1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有________个．答案42．下列关系中正确的是________．(填序号)①eq\f(\r(2),2)∈R；②0∈N*；③{－5}⊆Z.答案①③3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∪B＝________.答案(－1,3)解析由A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，得A∪B＝{x|－1＜x＜3}．4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁IM)∩(∁IN)等于________．答案∅5．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.答案－3解析∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.1．要注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知数的值时，要注意利用集合中元素的互异性这一性质进行检验，忽视集合中元素的性质是导致错误的常见原因之一．课时作业一、填空题1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，则M∩N＝________.答案∅解析因为M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝∅.2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________.答案(0,1)解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．设集合A＝{1，－1，eq\r(a)}，B＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝______.答案0解析∵A∩B＝B，即B⊆A，∴a∈A.要使eq\r(a)有意义，a≥0.∴a＝eq\r(a)，∴a＝0或a＝1，由元素互异，舍去a＝1.∴a＝0.4．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁UA)∩B＝{5}，则集合B＝________.答案{1,3,5}解析画出满足题意的Venn图，由图可知B＝{1,3,5}．5．设全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，则A∪(∁UB)＝________.答案{1,4}解析∵∁UB＝{x|x<2，或x>3}，∴A∩(∁UB)＝{1,4}．6．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，则a的值是________．答案－1解析由M∩N＝N，得N⊆M.当a＝0时，与集合中元素的互异性矛盾；当a＝1时，也与集合中元素的互异性矛盾；当a＝－1时，N＝{－1,1}，符合题意．7．已知集合A＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为________．答案(3，＋∞)解析因为A＝{x|x＜3，或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x＜7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a＞3.8．已知集合A＝{(x，y)||x－a|＋|y－1|≤1}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________．答案[－1,3]解析作出|x|＋|y|≤1的图象，利用平移，知集合A是中心为M(a,1)，边长为eq\r(2)的正方形内部(包括边界)，又集合B是圆心为N(1,1)，半径为1的圆的内部(包括边界)，易知MN的长度小于等于1＋1时，A∩B≠∅，即eq\r(a－12)≤2，所以－1≤a≤3，故实数a的取值范围为[－1,3]．9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.答案{(3，－1)}解析M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))所以M∩N＝{(3，－1)}．10．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是________________．答案{a|－eq\f(1,2)≤a≤2或a>3}解析①若A＝∅，则A∩B＝∅，此时2a>a＋3，即a>3.②若A≠∅，如图，由A∩B＝∅可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.综上所述，a的取值范围是{a|－eq\f(1,2)≤a≤2或a>3}．二、解答题11．如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.解结合图形可得M＝{(x，y)|xy≥0，－2≤x≤eq\f(5,2)，－1≤y≤eq\f(3,2)}．12．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．(1)求A∩B，(∁RB)∪A；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．解(1)显然A∩B＝{x|3≤x<6}．又B＝{x|2<x<9}，∴∁RB＝{x|x≤2或x≥9}，∴(∁RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．(2)∵C⊆B，如图所示，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8，∴a的取值集合为{a|2≤a≤8}．13．设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B⊆A，求实数a的取值范围．解因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；②当B≠∅且B?A时，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；③当B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a