数学-清华大学中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2024-2025学年高二上学期9月测试（A）试卷和答案

标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学试卷（A卷）本试卷共150分，考试时间90分钟.(,A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2222A.A.5B.6C.35D.364.已知非零向量,满足3=，向量在向量方向上的投影向量是-，则与夹角的余弦值B.1D.-35.设函数f(x)的定义域为R，且f(-x+4)+f(x)=2,f(x+2)=f(-x)，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+x+b,f(3)+f(0)=-3，则b-a=()A.-9B.-6C.6D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是()A.82，73B.80，73C.82，67D.80，67ππππA.-B.-C.D.8.已知函数则不等式f(t2)+f(2t-3)>2的解集为()A.(-3,1)10.已知函数=asin3x-cos3x，且f对任意的x∈R恒成立，则下列结论正确的是B.f(x)的图象关于点对称C.将f(x)的图象向左移个单位，得到的图象关于y轴对称D.当x∈时，满足成立的x的取值范围是B1的中点，则下列结论正确的是() 72A.异面直线BM与AC72B.点T为长方形ABCD内一点，满足D1TⅡ平面BMN时，D1T的最小值为C.三棱锥B-B1MN的外接球的体积为14π 755D.过点D,M,N的平面截长方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面周长为4·5+3213.如图所示，在梯形ABCD中，AE=AB,ADⅡBC,BC=3AD,CE与BD交于点O，若,则x-y=.体积为2，则它的外接球表面积的最小值为.求zi；（2）在复平面内，复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB，其中O是原点，求上AOB16.（15分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且cosA+1=（1）求角A；17.（15分）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA丄平面ABCD，点Q为PA的三等分点，满足PQ=（1）设平面QCD与直线PB相交于点S，求证：QSⅡCD； ·2，求直线CQ与平面PAD所成角的大小.18.（17分）甲、乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p，乙同学投篮的命中率为q(p>q)，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响.已知每次投篮甲、乙同时命中的概率为，恰有一人命中的概率为.（1）求p,q的值；（2）求甲、乙两人投篮总共命中两次的概率.19.（17分）已知函数f(x)=a.3x-2+3-x是偶函数，h(x)=x2-4x+6.（1）求函数y=h(ex)-2a的零点；[m,n]时，函数h(f(x))与f(x)的值域相同，求n-m的最大值.标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学（A卷）参考答案12345678ABCCDBAC9ADBCBD 14.73π-323π15.（13分）（2）依题意向量于是有=-10 :上AOB∈[0,π]，16.（15分）解1）由正弦定理可得：cosA+1=:A∈(0,π)，（2）:上BAC=上ADC,上BCA=上ACD，:△BAC与△ADC相似，满足），在△ADC中，由余弦定理可得：cos），:AD的长为117.（15分）解1）证明：因为平面QCD与直线PB相交于点S，所以平面QCD∩平面PAB=QS因为四边形ABCD为平行四边形，:ABⅡCD，AB丈平面QCD,CD平面QCD,:ABⅡ平面QCDAB平面PAB，平面QCD∩平面PAB=QS,:ABⅡQS，:QSⅡCD所以平面PAD丄平面ABCD，:CH丄平面PAD连接QH,:上CQH是直线CQ与平面PAD所成的角:QA=PA=2在Rt△DCH中，CH=3.sin60。=在△ACD中，利用余弦定理可得：cos120。=,:AC2=19，在Rt△QCH中，sin上CQH=即直线CQ与平面PAD所成的角等于18.（17分）解1）设事件A：甲投篮命中，事件B：乙投篮命中，恰有一人命中的事件为D，则D=ABAB，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A与B相互独立，AB,AB互斥，所以：P(D)=P(ABAB)=P(AB)+P(AB)=P(A).P(B)+P(A).P(B)可得：（2）设Ai：甲投篮命中了i次；Bj：乙投篮命中了j次，i,j=0,1,2,3，由于Ai与Bj相互独立，A0B2,A1B1,A2B0互斥，:P(E)=P(A0B2+A1B1+A2B0)=P(A0).P(B2)+P(A1).P(B1)+P(A2).P(B0)19.（17分）24x22xxxxxxxeee6令ex6x22xxxxxxx:y=h(ex)—2a有一个零点，为ln6（2）设当x∈[m,n]时，函数f(x)的值域为[s,t]，则函数h(f(x))的值域也为[s,t]，令p=f(x)，则p≥2，，则{3.C即s,t为方程x2-4x+6=x的两个根，解得，所以当x∈[m,n]时，f(x)的值域为[2,3]令λ=3x(x>0)，则y=f(x)=λ=3x在(0,+∞)上单调递增，对勾函数y=λ+在上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)是偶函数，:f(x)在(-∞,0)上单调递减故n-m的最大值为log35-log3=log3答案解析a可得a不必要条件.2.B2-2x-3>0} },:A∩RB=(-∞,-1)(3,6]2，22+42则点(2,-4)到圆22+424.C【解析】设非零向量,夹角为θ,向量在向量方向上的投影向量是-，则5.D:f(x+2)=f(-x)，取x=0,f(2)=f(0)=4a+2+b，:f(3)+f(0)=-3,1-a-b+4a+2+b=-3,a=-2，:f(-x+4)+f(x)=2，取x=26.B【解析】设更正前甲，乙，丙……的成绩依次为a1,a2,a3,…,a50，.7.A【解析】sin(40。-θ)=sin40。cosθ-cos40。sinθcot409.AD8.C故g(x)为奇函数，且单调递增，gt2)t2【解析】·D.设不等式成立，ac+b2<bc+ab,ac-bc<ab-b2,(a(a-b)c<(a-b)b成立，故ac+b2<bc+ab成立，D正确.10.BC【解析】f对任意x∈R恒成立，:f(x)在x=处取得极值，即+kπ,解得可求得a=-1，A错误；C.将f(x)的图象向左平移个单位，函数图象关于y轴对称，C正确；由题意知符合条件的k的取值为-1,0，当k=-1时，-均在定义域内，满足条件，当k=0时，此时仅有满足条件，所以满足成立的x的取值范围为，D错误.11.BD【解析】A.:MNⅡAC,:上BMN为直线MN与AC所成角，在△BMN中，根据余弦定理可知cos上BMN=B.取AD的中点E，取CD的中点F，取A1D1的中点S，连接EF,D1E,D1F,AS,SM，:SMⅡAB,ASⅡBM，所以四边形ABMS是平行四边形，:ASⅡBM且ASⅡD1E,:D1EⅡBM:D1EⅡ平面BMN，同理可得D1FⅡ平面BMN，:D1TⅡ平面BMN,T∈平面ABCD，所以点T的运动轨迹为线段EF，在ΔD1EF中，过点D1作D1T丄EF，此时D1T取得最小值，1F:OM为外接球的半径，在Rt△MB1N中，MN=，:V球=πR3=C错误；D.由平面AA1D1DⅡ平面BB1C1C得，过点D,M,N的平面必与AA1,C1C有交点，设过点D,M,N的平面与平面AA1D1D和平面BB1C1C分别交于DO,PM:DOⅡPM,同理可得DPⅡON,过点D,M,N的平面截长方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面图形为五边形DPMNO，如图所示，以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，:DPⅡON,DOⅡPM，2所以五边形DPMNO的周长为【解析】【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，所以直线BD的方程为，直线CE的方程为联立两直线方程求得:，解得,:x-y= 14