江苏天一中学2024年高二上学期第一次检测数学试题+答案

第1页（共23页）天一高二上第一次检测数学试卷25分）不等式的解集为()35分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上为单调函数，则满足的所有实数x的和为()45分）已知函数f(x)=2xcosx，则函数f(x)的部分图象可以为()55分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ΔABC中，由上面可得sin126°=() 第2页（共23页）)75分）如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C的一动点，则AP+PC1的最小值为() A．5B．7C．1+3D．3合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率离心率为() 第3页（共23页）105分）已知双曲线的两个顶点分别为A1(−a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分别为(0,b)，(0,−b)，且四边形A1PA2Q的面积C的方程为()2SΔPAC，SΔPBC，SΔABC，则以下说法正确的是()A．sin2α+sin2β+sin2γ=1，的夹角为θ,则cos2θ的可能取值为()第4页（共23页）(Ⅰ)求m的取值范围； （1）若=λ，其中λ<0，求的坐标；（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；n求数列{cn}的前n项和Tn.建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率入为1525万元.第5页（共23页）(Ⅰ)设第n年的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式； 2112分）已知三棱锥M−ABC中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在线BC上，且.（1）证明：BO丄平面AMC；（2）求二面角N−AM−C的正弦值.2212分）已知圆O:x2+y2=4和定点A(1,0)，平面上一动点P满足以线段AP为直径的圆内切于圆O，动点P的轨迹记为曲线C.（2）直线l:y=k(x−4)(k≠0)与曲线C交于不同两点M，N，直线AM，AN证：|AP|=|AQ|.第6页（共23页）天一高二上第一次检测数学试卷【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解.故选：A.【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键.25分）不等式的解集为()故选：D.【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题.35分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)上为单调函数，则满足的所有实数x的和为()从而得到然后化简变形，然后由韦达定理求解即可.【解答】解：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)=f(|x|)，第7页（共23页）2设x2设x2故选：A.【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的应用，主要考查的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.45分）已知函数f(x)=2xcosx，则函数f(x)的部分图象可以为()【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结果.【解答】解：函数f(x)=2xcosx，f(−x)=−2xcosx=−f(x)，所以函数是奇函数，排除B、D，当x→0时，函数f(x)=故选：A.以及函数的图象经过的特殊点判断.55分）等腰三角形的底与腰之比是黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形．如图五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，其中一个黄金ΔABC中，由上面可得sin126°=()第8页（共23页）【点评】本题考查黄金三角形的性质的应用及诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题.65分）设ΔABC的三边长为BC=a，CA=b，AB=c，若tan，tan，则ΔABC是()【分析】利用正弦定理可得sinB+sinC=1+cosA与sinA+sinC=1+cosB，两式作差后平方，可得sin2A=sin2B⇒A=B或A+B=从而可得答案.解：在ΔABC中，若tan，则整理得sinB又同理可得sinA+sinC=1+cosB②①−②得，sinB−sinA=cosA−cosB，即sinA+cosA=sinB+cosB，:sin2A=sin2B，:A=B或A+B=，【点评】本题考查正弦定理，两角和的正弦的应用，考查运算求解能力，属于中档题.第9页（共23页）75分）如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C的一动点，则AP+PC1的最小值为() A．5B．7C．1+3D．3【分析】将立体图展开成平面图，设点C1的新位置为C′，连接AC′，即可得到AC′即为AP+PC1的值，解三角形即可.【解答】解：连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，则AC′即为AP+PC1的最小值，1+4−2×1×2×故选：B.【点评】本题考查距离最小值问题，考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象能力，属于中档题.合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场第10页（共23页）体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图且两切线斜率之积等于则椭圆的离心率为()【分析】设内层椭圆方程为外层椭圆设为设切线的方程可设成设切线的方程为y=k1(x+ma)，故选：B.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，是中档题.第11页（共23页）从而可得结论.所以A、C、D选项说法正确，B错误.故选：ACD.【点评】本题考查空间向量基本定理中基底的含义，属于基础题.105分）已知双曲线的两个顶点分别为A1(−a,0)，A2(a,0)，P，Q的坐标分 C的方程为()222【分析】四边形A1PA2Q的面积为2，×a×b=2再根据内切圆的周长可以求案. 【解答】解：四边形A1PA2Q的面积为22，记四边形A1PA2Q内切圆半径为r，:2cr=22，:c=3，又:c2=a2+b2=3，第12页（共23页）故选：AB.【点评】本题考查双曲线方程的求法，本题四边形A1PA2Q的面积用了两种方法计算，进而得到方程，考查了“算两次”思想在解题过程中的应用，属于中档题.SΔPAC，SΔPBC，SΔABC，则以下说法正确的是()A．sin2α+sin2β+sin2γ=1平面ABC于O，PN丄AB于N，连结MN，可得SΔPAB>SΔOAB，同理SΔPAC>SΔOAC，SΔPBC>SΔOBC，可判断；选项D，设PA=x，PB=y，【解答】解：如图所示，以PM为体对角线构造如图所示的长方体DEMI−PHGF，则sin2α+sin2β+sin2γ=1，故选项A正确；第13页（共23页）如图所示，作PO丄平面ABC于O，PN丄AB于N，连结MN，由三垂线定理可得，MN丄AB，由于ΔPON为以上O为直角的直角三角形，因此PN>ON，故SΔPAB>SΔOAB，同理SΔPAC>SΔOAC，SΔPBC>SΔOBC，:SΔPAB+SΔPAC+SΔPBC>SΔABC=SΔOBC+SΔOAC+SΔOAB，+y2+z22xyzcosA0,cosB=2222>xyz故选：ACD.第14页（共23页）【点评】本题主要考查空间图形的综合问题，考查了学生空间想象，构造知识，属于中等题.cos2θ的可能取值为()【分析】由已知结合向量数量积的性质先求出求解即可. 2–【点评】本题主要考查了向量数量积性质的综合应用，考查了函数取值范围的求解，属于中档题.【分析】利用对立事件的概率公式求解即可.第15页（共23页）【解答】解：由题意，取得两个绿玻璃球的概率为，【点评】本题考查了对立事件概率公式的理解与应用，属于基础题.145分）若复数z满足|z−3+2i|=1，则|z−6−2i|的最小值为4.【分析】利用复数的几何意义，先确定复数z对应的点Z的轨迹是以C(3,−2)为圆心，半径为1的圆，|z−6−2i|表示复数z对应的点Z与点P(6,2)之间的距离，然后由圆的几何性质分析求解即可.【解答】解：因为复数z满足|z−3+2i|=1，则复数z对应的点Z的轨迹是以C(3,−2)为圆心，半径为1的圆，又|z−6−2i|表示复数z对应的点Z与点P(6,2)之间的距离，所以|z−6−2i|的最小值为PC−1=【点评】本题考查了复数模的几何意义的理解与应用，圆的几何性质的运用，两点间距离查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题.155分）已知一组数据x1，x2，x3，ⅆ,xn的平均数为x，方差为s2.若3x1+1，33xn+1的平均数比方差大4，则s2−x2的最【分析】根据已知条件，结合平均数和方差的公式，即可求解. 【解答】解：设新数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，ⅆ,3xn+1的平均数为x1，方差为s，:一组数据x1，x2，x3，ⅆ,xn的平均数为x，方差为s2， :x1=3x+1，s=9s2，:3x1+1，3x2+1，3x3+1，ⅆ,3xn+1的平均数比方差大4，:3x+1=9s2+4，2:s=x−,:s2−x2(x−)2−,又:s2=1x−1≥0，第16页（共23页）:x≥1，s2 【分析】设三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，运用三角函数的和角公式和正弦定理、可得x，y的方程组，解方程组得x，y的值，计算即可.【解答】解：设三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 22 222，2，即有xc2+y.3c2，第17页（共23页）【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了平面向量数量积的定简和求值问题，是中档题.1710分）已知圆C的方程：x2+y2−2x−4y+m=0.(Ⅰ)求m的取值范围；(Ⅱ)当圆C与圆D:(x+3)2+(y+1)2=16相外切时，求直线l:x+2y−4=0被圆C所截得的弦MN的长.【分析】(Ⅰ)根据圆的一般方程表示圆的条件即可求m的取值范围；【解答】解：(Ⅰ)圆C的方程可化为(x−1)2+(y−2)2=5−m…（2分） 圆C与圆D相外切 圆心C(1,2)到直线l:x+2y−4=0的距离为:|MN|=2…（12分）【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用以及直线和圆相交的弦长力. （1）若=λ，其中λ<0，求的坐标；【分析】（1）根据题意，可得=λ=(λ,−2λ)，由向量模的计算公式可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，求出.的值，又由数量积的【解答】解1）根据题意，若=λ，则=λ=(λ,−2λ)，|=2，则5λ2=20，解可得λ=±2，第18页（共23页）又由λ<0，则λ=−2， 2【点评】本题考查向量数量积性质以及运算，涉及向量数量积的计算，属于基础题.（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；n求数列{cn}的前n项和Tn.【分析】（1）设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可【解答】解1）设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，nnnnnnn2n第19页（共23页）【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，错位相减法求和，属于中档题.建设，促进旅游业的发展．计划本年度投入1200万元，以后每年投入均比上年减少20%，本年度旅游业收入估计为400万元，预计今后旅游业收入的年增长率入为1525万元.(Ⅰ)设第n年的投入为an万元，旅游业收入为bn万元，写出an，bn的表达式；【分析】(Ⅰ)由题意知{an}，{bn}均为等比数列，根据条件中的数列{an}的首项和公比直接写出通项公式，设数列{bn}的公比为q，根据三年内旅游业总收入求得q，从而求得{bn}的通项公式；(Ⅱ)设至少经过n年，旅游业的总收入才能超过总投入．分别计算出经过n年，总投入和