人教B版高中数学选修22141曲边梯形面积与定积分学案_第1页
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文档简介

1.4.1曲边梯形面积与定积分（学案）一、知识梳理曲边梯形：由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。

2.引例：求曲线与直线所围成的区域的面积将区间等分为个小区间：，每个小区间的长度为，过各分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，再分别用小区间左端点的纵坐标为高，为底座小矩形，于是，这些小矩形的面积依次是所有这些小矩形的面积之和为=化简得：=所以==思考：如果去小区间的右端点的纵坐标为高，则这些小矩形的面积之和为=化简得：=所以==3.定积分的定义：如果函数

f(x)

在区间

[a,b]

上连续，用分点将区间

[a,b]

等分成

n

个小区间，其长度依次为。在每个小区间

上任取一点

ξi（i=1，2，⋯，n），作和式当

→∞

时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数

f(x)

在区间

[a,b]

上的定积分，记作

即这里，与

分别叫做积分下限与积分上限，区间

[a,b]

叫做积分区间，函数

叫被积函数，

叫做被积式，x

叫做积分变量。

4.定积分

的几何意义．从几何上看，如果在区间

[a,b]

上函数

f(x)

连续且恒有

，那么定积分

表示由由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。二、情境导学1、由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi](i＝1,2，…，n)，小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.第二步：近似代替．“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．2、利用定义求定积分的步骤3、定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求eq\i\in(a,b,)f(x)dx的值的关键是确定由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．三、典例解析例1、利用定积分定义计算：（1）（2），C为常数例2、利用定积分的几何意义计算：（1）（2）四、当堂检测1．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均正确2．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积时，若将区间[－1,

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