河北省沧州市2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024~2025学年度第一学期高二年级9月份月考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据直线方程直接确定倾斜角.【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为.故选：B.2.已知，，，若，则（）A.5 B.4 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由题意可以先求出，再由它们平行可以得到比例关系从而求出参数，由此即可得解.【详解】因为，，，所以，因为，所以，解得，所以.故选：A.3.如果且，那么直线不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根据横截距和纵截距的范围求得正确答案.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C4.在平行六面体中，，分别是，的中点.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由空间向量线性运算，即可得到结果.【详解】由题意可得，.故选：A5.已知直线，䒴，，则（）A.或 B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.【详解】已知直线，由，得，且，解得，由，得，故.故选：B.6.已知，，，，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空间向量求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法即可得.【详解】易知，，，设平面的法向量，则即令，则，，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．故选：C．7.点到直线（为任意实数）的距离的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可知直线恒过点，由此可知到直线的最远距离为，最短距离为0，即可得答案.【详解】解：将直线方程变形为，由，解得，由此可得直线恒过点，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于到直线的最短距离为0，此时直线经过点．又，所以到直线的距离的取值范围是．故选：B．8.在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，因为是棱上一动点，设，且，因为，且，所以，于是令，所以，，又函数在上为增函数，所以当时，，即线段长度的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，，直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，则直线的斜率的取值可能为（）A. B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】利用已知可求得，，结合图形可求得与线段的延长线（不含点）有公共点的直线的斜率的范围.【详解】因为，，，所以直线，，又过斜率为0的直线与线段的延长线相交，由图形可得直线过点且与线段的延长线（不含点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为.故选：BC.10.在正方体中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AC【解析】【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.【详解】由题意得：如下图所示：对于A项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故A项正确；对于B项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故B项错误；对于C项：，，不共面，能作为空间的一个基底,故C项正确；对于D项：，所以：，，共面，不能作为空间的一个基底,故D项错误.故选：AC.11.如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（）A.，，，四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点，使得平面D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，假设在线段上存在点，设，，利用坐标法验证线面垂直，可判断C选项；分别证明与上的所有点到平面的距离为定值，即可判断D选项.【详解】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以，解得，故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意，设（），则，若平面，则，,因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥体积为定值，故D正确；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的两倍，则直线的方程是___________.【答案】或【解析】【分析】当纵截距为时，设直线方程为，代入点求得的值，当纵截距不为时，设直线的截距式方程，代入点求解.【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为时，设直线方程为，因为直线过点，所以，所以直线的方程为；②当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，则直线的方程为，又因为直线过点，所以，解得：，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或，故答案为：y=2x或．13.在四面体中，，，，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，所以.又，，所以，所以.又，所以．故答案为：30°14.在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为______.【答案】【解析】【分析】拆线段之和最值问题，利用对称，将直线同侧折线段化为直线异侧两定点间的折线段之和，由两点之间线段最短可知.【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.设，则解得即，关于轴的对称点为，故周长的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在梯形中，，，已知，，．（1）求点的坐标；（2）求梯形的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直线的位置关系及斜率公式计算即可；（2）法一、计算对角线长结合三角形面积公式求梯形面积即可；法二、利用两点距离公式先计算梯形上下底长，再求一底边所在直线，根据点到直线的距离公式计算梯形的高，利用梯形面积公式计算即可.【小问1详解】设，由，得，即，由，得，即，所以，，即点的坐标为．【小问2详解】方法一：，，设，又，所以梯形的面积；方法二：，，由，，得直线的方程为，点到直线的距离．所以梯形的面积．16.空间直角坐标系中，已知点，，，设，．（1）若与互相垂直，求的值；（2）求点到直线的距离．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求得与的坐标，再根据与互相垂直求解；（2）由求解.【小问1详解】由题意知，，所以，．又与互相垂直，所以，解得．小问2详解】由（1）知，，所以，所以点到直线的距离．17.如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量计算异面直线夹角及面面夹角即可.【小问1详解】取的中点，连接，显然，由正三棱柱的特征可知底面，所以底面，又底面，所以，因为是中点，易得，所以可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，，故异面直线的夹角余弦值为；【小问2详解】由上可知，设面的一个法向量为，则，取，即，易知面的一个法向量为，由图象可知二面角为钝角，设其为，所以，则.18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，且，，平面平面，．（1）求证：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说用理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；【解析】【分析】（1）根据题意，由面面垂直的性质定理可得平面，即可证明平面平面；（2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：在中，，，由余弦定理，得，所以，即．因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．【小问2详解】设，的中点分别为，，连接，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．因为，分别为，的中点，所以，又，所以，即，，两两互相垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，B1,0,0，，，，设，则，所以．，，设m=x,y,z是平面的法向量，则即令，则，，即平面的一个法向量为．设直线与平面所成角为，又，则，即，解得．所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．19.球面几何在研究球体定位等问题有重要的基础作用.球面上的线是弯曲的，不存在直线，连接球面上任意两点有无数条曲线，它们长短不一，其中这两点在球面上的最短路径的长度称为两点间的球面距离.球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图1，球的半径为，，，为球面上三点，曲面（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为，，，则球面三角形的面积为.（1）若平面，平面，平面两两垂直，求球面三角形的面积；（2）将图1中四面体截出得到图2，若平面三角形为直角三角形，，设，，.①证明：；②延长与球交于点，连接，，若直线，与平面所成的角分别为，，且，，为的中点，为的中点，设平面与平面的夹角为，求的最小值.【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）根据题意结合相应公式分析求解即可；（2）①根据题意结合余弦定理分析证明；②建系，利用空间向量求线面夹角，利用基本不等式可求正弦值的最小值.【小问1详解】若平面，平面，平面两两垂直，有，所以球球