专题02常用的逻辑用语（八大重难点题型精讲）

专题02常用的逻辑用语考点一、命题的概念1、一般地，我们把用语言、符号或式子表达，且可以判断真假的语句叫做命题（proposition）．2、命题通常用陈述句表述，含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．【【知识补充】（1）命题通常用陈述句表述；（2）数学中常见的命题由条件和结论两部分组成；（3）要确定一个命题是真命题，必须作出严格证明，证明只要满足命题条件就一定能推出命题的结论；（4）要确定一个命题是假命题，只要举出满足条件而不满足结论的例子就可以了，即举反例3、命题“若，则”是真命题，是指对所有的满足条件的对象都满足结论.用集合的语言描述即是.4、如果命题“若，则”是真命题，那么我们就称推出，记作（或）因为子集关系满足传递性，所以递推关系也满足传递性：若且，则考点二、充分条件与必要条件1、充分条件与必要条件： 对于两个陈述句、，如果，就称是的充分条件（sufficientcondition）．或称是的必要条件（necessarycondition）．【【知识注释】“充分”二字说明“为了使得成立，有就已足够”的意思，而“必要”二字说明“为了使得成立，不可或缺”的意思.2、充要条件： 对于两个陈述句、，如果既有，又有，我们就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作.读作“与等价”或“成立当且仅当成立”【【知识补充】若，则称是的充分非必要条件若，则称是的必要非充分条件若，则称是的充要条件若，则称是的既非充分又非必要条件充分条件是“有它即可”，必要条件是“非它不行”考点三、反证法首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的，这样的证明方法叫反证法.应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，既否定命题的结论，这一步是十分关键的.数学上一些常用的否定形式如下表所示：原结论否定形式原结论否定形式是不是至少有一个没有都是不都是至多有一个至少有二个大于小于或等于至少有个至多有1个小于大于或等于至多有个至少有+1个对所有的成立存在不成立或非且非对任何的不成立存在成立且非或非【【知识补充】反证法：通过证明命题的逆否命题成立达到证明原命题成立的一种方法.（逆否命题是逻辑关系中的一种表现形式）一般步骤如下：（1）反设，即否定结论；（2）把否定结论而得到的条件与命题的已知一起进行正确推理，并引出矛盾；（3）肯定结论.重难点题型(一)命题及其判断真假例1、（2223高一·全国·课堂例题）下列语句中，为真命题的是（

）A．直角的补角是直角 B．同旁内角互补C．过直线外一点作直线于点 D．两个锐角的和是钝角【答案】A【难度】0.85【知识点】命题的概念、判断命题的真假【分析】命题是可以判断真假的陈述句，判断为真的语句是真命题.依次对各选项分析，先判断是否为陈述句，再判断是否为真.【详解】对选项A，直角的补角是直角，所以A选项为真命题；对选项B，缺少两直线平行条件，结论不成立.如三角形内任意两内角都是同旁内角，但两角和必小于，所以B选项为假命题；对选项C，是祈使句，不是陈述句.所以不是命题；对选项D，与的和为锐角，所以D选项为假命题．故选：A.例2、（2324高一上·内蒙古·期中）（多选题）下列命题为真命题的是（

）A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则【答案】ACD【难度】0.85【知识点】判断命题的真假【分析】举反例得到B错误，根据定义判断AC正确，确定，，D正确，得到答案.【详解】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题．对选项B：当时，，则B是假命题．对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数，则C是真命题．对选项D：由，，得，则，则D是真命题．故选：ACD.例3、（2223高一上·福建厦门·期末）（多选题）王维，字摩诘，号摩诘居士，唐代山水田园派诗人、画家。北宋苏轼在《书摩诘蓝田烟雨图》中评价道：“味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。”在王维所做的五言绝句《相思》中，以下诗句不可以作为命题的是（

）A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思【答案】BCD【难度】0.94【知识点】命题的概念【分析】根据题意，由命题的概念依次分析即可得答案．【详解】对于A，红豆生南国，是陈述句，是正确的，这句诗是命题，对于B，春来发几枝，是疑问句，这句诗不是命题，对于C，愿君多采撷，是祈使句，这句诗不是命题，对于D，此物最相思，是感叹句，这句诗不是命题.故选：BCD．1、（2425高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（

）A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角【答案】C【难度】0.85【知识点】判断命题的真假【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D.【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误；对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误；对于C，若，则，即或，则，故C正确；对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误；故选：C2、（2425高一上·上海·单元测试）下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③；④至少存在一个整数x，使得是整数．其中是真命题的为（

）．A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④【答案】A【难度】0.85【知识点】命题的概念、特称命题的否定及其真假判断、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假【分析】根据实数的分类可判断①为真命题，根据空集的性质可判断②为真命题，根据实数的运算可判断③为真命题，通过举例可得④为真命题.【详解】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；因为，故③正确；取，则是整数，故④正确.故选：A.3、（2023高一·江苏·专题练习）（多选题）下列说法不正确的是（

）A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“当时，方程有实根”不是命题C．命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题D．“时，”是真命题【答案】AB【难度】0.85【知识点】判断命题的真假、命题的概念【分析】根据命题的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；对于选项B：语句“当时，方程有实根”是陈述句，当时，则，方程无实根，即“当时，方程有实根”为假，故该语句是命题，所以选项B错误；对于选项C：由菱形的定义和性质可知：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，即命题“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”是真命题，故C正确；对于选项D：当时，，所以“时，”是真命题，故D正确；故选：AB重难点题型(二)逆否命题及其真假的联系例4、（2122高二上·山东济南·开学考试）设，命题“若，则方程有实根”的逆否命题是（

）A．若方程有实根，则B．若方程没有实根，则C．若方程有实根，则D．若方程没有实根，则【答案】B【难度】0.85【知识点】写出原命题的逆否命题及真假判断【分析】由逆否命题的定义判定即可.【详解】原命题的逆否命题是将条件与结论互换并分别否定，即命题“若，则方程有实根”的逆否命题是“若方程没有实根，则”.故选：B例5、（2021高二·福建·期中）（多选题）下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“若，则”的逆否命题为：若，则B．是的充分不必要条件C．若为假命题，则，均为假命题D．对于命题：，使得，则：，均有【答案】ABD【难度】0.85【知识点】特称命题的否定及其真假判断、根据或且非命题的真假判断命题的真假、写出原命题的逆否命题及真假判断【解析】利用四种命题的逆否关系判断的正误；充分条件、必要条件判断的正误；复合命题的真假判断的正误；特称命题的否定判断的正误；【详解】解：对于，命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确；对于B：因为解得或，故是的充分不必要条件，故B正确；对于C：因为为假命题，则、中至少有一个为假命题，故C错误.对于：对于命题：，使得，则：，均有满足特称命题的否定是全称命题，故正确．故选：ABD1、（1819高二上·浙江杭州·期末）命题“若，则”的逆否命题是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【难度】0.94【知识点】写出原命题的逆否命题及真假判断【分析】利用逆否命题的定义求解.【详解】命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.故选：D2、（2021高二上·河北衡水·期中）（多选题）下列命题为真命题的是（

）A．命题“若，则”的逆命题B．命题“若，则”的逆否命题C．空间中垂直于同一直线的两直线平行D．命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题【答案】ABD【难度】0.85【知识点】判断命题的真假、写出原命题的否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断【解析】根据原命题写出对应的逆、否命题判断真假，利用逆否命题与原命题的关系判断真假，以及由原命题的描述结合线线垂直性质、平行判定判断真假.【详解】A：逆命题为“若，则”是真命题；B：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题；C：空间中垂直于同一直线的两直线可能平行、异面、相交，为假命题；D：否命题为“到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上”是真命题.故选：ABD重难点题型(三)根据命题真假求参数范围例6、（2223高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是．【答案】【难度】0.85【知识点】已知命题的真假求参数【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案.【详解】不等式在上恒成立，则，解得.故答案为：例7、（2223高三上·福建宁德·期末）若命题为真命题，则a的一个可取的正整数值为（写出符合条件的一个即可）【答案】1（答案不唯一满足：即可）【难度】0.65【知识点】已知命题的真假求参数【分析】由题意不等式在恒成立，设，则只需即可，由开口向上的二次函数在开区间上的最值特征可得，从而可得出答案.【详解】命题为真命题即，不等式恒成立.设，要使得在恒成立.则只需，即，解得故a可取内的任意一个正整数故答案为：11、（2122高一上·福建泉州·阶段练习）若“，”是真命题，则实数的取值范围是；【答案】【难度】0.85【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、已知命题的真假求参数【分析】由题意将不等式恒成立问题转化为最值问题，求出的最大值，从而得到实数的取值范围.【详解】由题意“，”是真命题，则恒成立，设，的最大值为，.实数的取值范围是.故答案为：2、（2122高一上·陕西西安·期中）已知命题为真命题，则实数的值不能是（

）A．1 B．0 C．3 D．【答案】D【难度】0.94【知识点】已知命题的真假求参数【分析】由题意求出的取值范围，判断选项【详解】由题意得，，解得故选：D重难点题型(四)充分条件与必要条件例8、（2425高二上·上海·开学考试）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】利用充分、必要条件的概念计算即可.【详解】由可以得出，满足充分性，而可得，不满足必要性，即A正确.故选：A例9、（2425高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，则“，”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件【分析】由，，可得，而得不出，，可得结论.【详解】因为，，则“，，所以，所以“，”是“”的充分条件；当，可满足，所以“，”是“”的不必要条件.故选：A.1、（2324高二下·天津红桥·期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【难度】0.85【知识点】既不充分也不必要条件【分析】应用特殊值法结合既不充分也不必要条件定义判断即可.【详解】当时，,所以是的不充分条件；当时，,所以是的不必要条件.故选：D.2、（2425高三上·重庆·开学考试）子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》此名言中的“善其事”是“利其器”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合题意得到答案.【详解】从逻辑上讲，工匠把活作好了，必然有锐利的工具，但有了锐利的工具，不一定能把活做好，“善其事”是“利其器”的充分不必要条件.故选：A重难点题型(五)根据充分条件与必要条件，求参数范围例10、（2324高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.94【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据必要不充分条件求参数【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.【详解】因为一元二次方程有实根，所以，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：A例11、（2324高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】由，因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以有，等号不同时成立，，当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意，所以，实数的取值范围为.故答案为：.1、（1314高二下·江苏常州·期中）若是不等式成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围是.【答案】【难度】0.94【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】解绝对值不等式，结合集合间的包含关系及充分不必要条件的定义计算即可.【详解】易知，因为是不等式成立的充分不必要条件，所以且等号不能同时取得，解之得，经检验：等号不能同时取得，显然符合题意.故答案为：2、（2324高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】由，因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以有，等号不同时成立，，当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意，所以，实数的取值范围为.故答案为：.例12、（2324高一下·湖南衡阳·阶段练习）设集合．(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围．【答案】(1)或(2)或【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算【分析】（1）根据集合的补集定义以及集合的交集运算，即可求得答案；（2）依题意可得，讨论集合是否为空集，列出相应的不等式，即可求得结果.【详解】（1）当时，可得，故可得或，而，所以或（2）由“”是“”的充分不必要条件可得；当时，，解得，符合题意；当时，需满足，且和中的等号不能同时取得，解得；综上可得，m的取值范围为或.例13、（2324高一上·陕西榆林·阶段练习）已知：：或.(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)．【难度】0.65【知识点】根据必要不充分条件求参数、充分条件的判定及性质【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可；（2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.【详解】（1）因为p：，所以p：，即，因为p是q的充分条件，所以或，解得或，即实数的取值范围是或；（2）依题意，：，由（1）知p：，又p是的必要不充分条件，所以，其中等号不能同时取到，解得，即实数m的取值范围是．1、（2324高一上·天津·期中）已知集合，或.(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)或，(2)【难度】0.85【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案；（2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可.【详解】（1）当时，集合，又或，则，或；.（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，⫋，则解得，故的取值范围是.2、（2324高一上·甘肃武威·阶段练习）已知或．(1)若是的充分条件，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【难度】0.65【知识点】根据必要不充分条件求参数、充分条件的判定及性质【分析】（1）先求出范围，依题意是的充分条件，由集合之间的包含关系，列出不等式求解即可；（2）先写出的范围，由p是的必要不充分条件，则表示的集合是所表示集合的真子集，列出不等式求解即可.【详解】（1）因为p：，所以p：，即，因为p是q的充分条件，所以或，解得或，即实数的取值范围是或；（2）依题意，：，由（1）知p：，又p是的必要不充分条件，所以，解得，即实数m的取值范围是．重难点题型(六)反证法例14、（2223高二下·宁夏银川·期中）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设应该是（

）A．至多有一个内角不大于 B．至少有一个内角大于C．三个内角都大于 D．仅有一个内角大于【答案】C【难度】0.94【知识点】反证法的概念辨析【分析】根据反证法的概念求解即可.【详解】用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于，应假设结论不成立，即假设三个内角都大于.故选：C.例15、（2223高二下·陕西汉中·期中）用反证法证明命题“设，为实数，则方程至少有两个实根”时，要做的假设是（

）A．方程没有实根 B．方程恰好有两个实根C．方程至多有两个实根 D．方程至多有一个实根【答案】D【难度】0.85【知识点】反证法的概念辨析【分析】依据反证法的要求，即至少有两个的反面是至多有一个，即可得出结论．【详解】方程至少有两个实根的反面是方程至多有一个实根，因此，用反证法证明命题：“设、为实数，则方程至少有两个实根”时，要做的假设是“方程至多有一个实根”.故选：D.例16、（2223高一·全国·课后作业）用反证法证明命题：“若a，，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（

）．A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除 D．a都能被3整除【答案】B【难度】0.85【知识点】反证法证明、反证法的概念辨析【分析】用反证法证明时，先假设命题的否定成立，所以解题此题的关键是找出题干中命题的否定即可求解.【详解】根据反证法证明的步骤，先找出命题若a，，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除的否定，因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”，所以假设因为“a，b都不能被3整除”，故选：.1、（2223高二下·陕西宝鸡·期末）用反证法证明命题：“若，能被整除，那么、中至少有一个能被整除”时，假设应为（

）A．、都不能被整除 B．、都能被整除C．、不都能被整除 D．、中有一个能被整除【答案】A【难度】0.94【知识点】反证法证明、反证法的概念辨析【分析】根据反证法的定义，只需找到“、中至少有一个能被整除”的否定即可.【详解】因为“、中至少有一个能被整除”的否定为“、都不能被整除”，所以应假设“、都不能被整除”.故选：A2、（2122高二下·陕西榆林·阶段练习）利用反证法证明“若，则”时，应假设为（

）A．且 B．且x，y都不为0C．且x，y不都为0 D．或【答案】D【难度】0.94【知识点】反证法证明【分析】利用反证法证明规则即可得到应假设或.【详解】利用反证法证明,应先假设结论不成立，本题应假设或故选：D3、（1920高二下·河南洛阳·期中）用反证法证明命题“设，，为实数，若是无理数，则，，至少有一个是无理数”时，假设正确的是（

）A．假设，，不都是无理数 B．假设，，至少有一个是有理数C．假设，，都是有理数 D．假设，，至少有一个不是无理数【答案】C【难度】0.94【知识点】反证法的概念辨析【分析】反证法中“，，至少有一个是无理数”的假设为“假设，，都不是无理数”，对照选项即可得到答案.【详解】依题意，反证法中“，，至少有一个是无理数”的假设为“假设，，都不是无理数”,即“假设，，都是有理数”.故选：C.重难点题型(七)命题的否定例17、（2324高一上·上海闵行·期中）陈述句“或”的否定形式是（

）．A．且 B．且C．且 D．或【答案】C【难度】0.94【知识点】写出原命题的否命题及真假判断【分析】根据命题的否定的概念求解即可.【详解】“或”的否定形式是：且.故选：C例18、（2324高一上·上海·期末）存在，使得的否定形式是（

）A．存在，使得 B．不存在，使得C．对任意的 D．对任意的【答案】C【难度】0.94【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.【详解】“存在，使得”的否定形式是“对任意的”.故选：C1、（2223高二下·辽宁·阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想：“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”，则哥德巴赫猜想的否定为（

）A．任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和B．任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和C．至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和D．至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和【答案】D【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”．故选：D2、（2223高一上·上海杨浦·期中）陈述句“任意的都满足性质”的否定形式是（

）A．任意的满足性质 B．任意的不满足性质C．存在一个满足性质 D．存在一个不满足性质【答案】D【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.【详解】解：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题故“任意的都满足性质”的否定形式是“存在一个不满足性质”故选：D重难点题型(八)反证法的证明例19、（2324高一上·上海黄浦·期中）（1）设，，求证：；（2）已知，，且.证明：或.【答案】证明见解析；【难度】0.65【知识点】分析法证明、反证法证明【分析】（1）通过移项做差，利用分析法证明不等式即可.（2）利用反证法证明不等式即可.【详解】（1）要证，即证，即证即证即证，因为所以得证；（2）由题，，假设且即，所以，所以与矛盾，所以假设不成立，所以或.例20、（2324高一上·上海静安·阶段练习）（1）已知，用反证法证明：若，则中至少有一个小于；（2）已知，判断“”是“中至少有一个小于”的什么条件？并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）充分非必要条件，理由见解析【难度】0.85【知识点】反证法证明【分析】（1）先假设结论不成立，推理得出矛盾，解决问题；（2）由（1）可知充分性成立，列举出反例推翻必要性的成立，从而得出本题结论.【详解】（1）证明：假设则，与已知条件矛盾，所以中至少有一个小于；（2）由（1）可得“”可以推出“中至少有一个小于”，反之不一定成立，例如：，，，则，所以“”是“中至少有一个小于”的充分非必要条件.1、（2223高二下·陕西咸阳·期中）（1）设，，，用综合法证明：；（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【难度】0.65【知识点】反证法证明、综合法证明【分析】（1）利用基本不等式可得，，，即可得证；（2）假设，，证明即可.【详解】（1）因为，，，根据基本不等式，有，，，当且仅当时等号成立，三式相加：，即；（2）假设，，则因为，，有，，所以，故，这与题设条件相矛盾，所以假设错误.因此和中至少有一个小于2.2、（2122高二下·江西吉安·期中）（1）已知，求证：．（2）已知，求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【难度】0.65【知识点】反证法证明、分析法证明【分析】（1）由题意利用反证法即可证得题中的结论；（2）将不等式进行等价变形，然后结合题意即可证得题中的结论．【详解】证明：（1）假设，则，为上的单调递增函数，，即，，，，，这与已知矛盾，假设不成立，从而成立．（2），，，，，，三个不等式中的等号不能同时成立，，即，．不等式成立．

1．（2324高一上·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（

）A．， B．所有能被3整除的数都是奇数C．， D．，【答案】A【难度】0.94【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假、判断命题的真假【分析】根据全称量词和存在量词，即可结合选项求解.【详解】对于A，取，则，A是存在量词命题，且为真命题，对于B，“所有”是全称量词，故B是全称命题，对于C，由于，所以选项C为假命题，对于D，，是全称量词命题，故选：A2．（2122高二上·陕西榆林·期中）下列说法中正确的个数是（

）①若为真命题，则均为真命题；②设，命题“若，则”的否命题是真命题；③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【难度】0.65【知识点】写出原命题的否命题及真假判断、根据或且非命题的真假判断命题的真假、写出原命题的逆否命题及真假判断【分析】依次判断各个命题即可得答案.【详解】解：①若为真命题，则至少有一个为真命题，均为真命题不一定成立，故错误；②设，命题“若，则”否命题是“若，则”，为真命题，故正确；③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确.所以，说法中正确的个数是2个.故选:C3．（1920高二上·新疆伊犁·期末）在下列命题中，真命题是（

）A．“时，”的否命题B．“若，则”的逆命题；C．若，则D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【答案】D【难度】0.85【知识点】写出原命题的逆否命题及真假判断、写出原命题的逆命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断、判断命题的真假【分析】A、写出其否命题,然后再举反例作判断；B、写出其逆命题，即可判断；C、恒成立,进行判断；D、根据原命题与逆否命题之间的关系进行判断.【详解】A.“时，”的否命题为“x≠2时,”,因为当x=1时,∴A错误；B.“若，则”的逆命题:“若,则”,∵可解得：,故B错误；C.若，则.∵恒成立,故C错误；D.∵根据相似三角形的性质,其对应角相等,是真命题,再由于原命题和其逆否命题的关系可知“相似三角形的对应角相等”的逆否命题也是真命题,故D正确.故选:D.4．（2324高一上·湖北黄冈·期中）已知命题，若命题p为真命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】已知命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】利用命题为真命题结合二次函数判别式建立不等式，求解实数a的取值范围.【详解】由题意可知，解得故选:C5．（2021高二上·甘肃武威·期中）已知存在；对任意，若或为假，则实数的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】B【难度】0.65【知识点】已知命题的真假求参数【解析】先求出，是真命题的的范围，由于或为假命题，得到，应该全假，即，的否定为真，列出方程组，求出的范围．【详解】解：若真则；若真，即恒成立，所以△，解得．因为或为假命题，所以，全假．所以有，所以．故选：B．【点睛】复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系是解决复合命题真假的依据：且的真假，当，全真则真，有假则假；或的真假，，中有真则真，全假则假；非的真假与的真假相反．6．（2324高二下·重庆·阶段练习）若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为．【答案】【难度】0.85【知识点】根据充分不必要条件求参数【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可.【详解】由，因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以有，等号不同时成立，，当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意，所以，实数的取值范围为.故答案为：.7．（2425高一上·上海·单元测试）命题“任意，”的否定为（）A．任意， B．存在，C．任意， D．存在，【答案】B【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称量词命题否定的方法求解：改变量词，否定结论.【详解】命题“任意x∈R，”的否定为“存在，”，故选：B.8．（2223高一上·广东湛江·期末）命题“对任意一个实数，都有”的否定是（

）A．存在实数，使得B．对任意一个实数，都有C．存在实数，使得D．对任意一个实数，都有【答案】A【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】全称量词命题否定为存在量词命题即可.【详解】命题“对任意一个实数,都有”的否定是：存在实数，使得.故选：A.9．（2324高一上·上海·阶段练习）用反证法证明命题“设，如果能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”，假设应该是（

）A．都能被5整除 B．至多有一个能被5整除C．或不能被5整除 D．都不能被5整除【答案】D【难度】0.85【知识点】反证法的概念辨析【分析】根据反证法的性质进行判断即可.【详解】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”故选：D10．（1819高二下·广东深圳·期中）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有两个奇数”正确的反设为（

）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c都是偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【难度】0.94【知识点】反证法的概念辨析【分析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】用反证法证明某命题时，应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a,b,c中恰有两个奇数”的否定为：3个偶数或2个偶数一个奇数或3个奇数，即“a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数”,故选：D.11．（2425高一上·全国·课后作业）（多选）下列命题的否定是假命题的是（

）A．等圆的面积相等，周长相等B．，C．任意两个等边三角形都是相似的D．有些梯形的对角线相等【答案】ACD【难度】0.94【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断、判断命题的真假【分析】由命题及其否定之间的真假性关系即可逐一判断求解.【详解】对于A，因为命题“等圆的面积相等，周长相等”是真命题，故其否定是假命题，故A符合题意；对于B，因为，，故命题“，”的否定：“，”是真命题，故B不符合题意；对于C，因为命题“任意两个等边三角形都是相似的”是真命题，故其否定是假命题，故C符合题意；对于D，“有些梯形（比如等腰梯形）的对角线相等”是真命题，故其否定是假命题，故D符合题意.故选：ACD.12．（2021高二上·湖南长沙·期末）（多选）下列有关命题的说法正确的是（

）A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”B．“若实数x，y满足，则x，y全为0”的否命题为真命题C．命题“，”为假命题D．对于命题P：，，则：，【答案】ABD【难度】0.85【知识点】特称命题的否定及其真假判断、写出原命题的逆否命题及真假判断、写出原命题的否命题及真假判断、判断命题的真假【分析】根据原命题的逆否命题、否命题、特称命题的否定、命题的真假对选项进行一一判断，即可得到答案；【详解】对A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“，故A正确；对B，“若实数，满足，则，全为0”的否命题为“若实数，满足，则，不全为0“，是真命题，故B正确；对C，“，”为真命题，故C错误；对D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题，，则，，故D正确；故选：ABD13．（2324高一上·广东佛山·阶段练习）（多选）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【难度】0.85【知识点】判断命题的必要不充分条件【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解.【详解】由可得，设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集，则BD选项符合．故选：BD．14．（2425高一上·全国·课后作业）（多选）使“”成立的一个充分而不必要条件是（

）A． B．或C．x∈{－1，3，5} D．或【答案】BC【难度】0.94【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件的判定及性质【分析】根据题意判断选项中对应集合为题干中集合的真子集，即可得答案.【详解】从集合的角度出发，在选项中判断哪个相应的集合是题干中集合的真子集，只有B，C满足题意．故选：BC.15．（2223高一上·江苏盐城·阶段练习）（多选）下列说法正确的有（

）A．已知集合，全集，若，则实数的集合为B．“”是“”的必要不充分条件C．命题，成立的