112（2）含30°直角三角形的性质（备作业）2021-2022学年八年级数学下册(北师大版)

1.1.2（2）含30°直角三角形的性质一、单选题1．在中，，则为（）A．4 B．2 C．1 D．不能确定【答案】C【分析】含30°角的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半．【解析】解：如图，在中，，故选：C．【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2．如图，在Rt中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】设BC＝x，根据含30度角的直角三角形性质求出AB＝2BC＝2x，根据勾股定理得出方程22+x2＝（2x）2，求出x即可．【解析】解：设BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝2x，∵AC＝2，∴由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，22+x2＝（2x）2，解得：x＝，∴AB＝2x＝，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是能得出AB＝2BC，用了方程思想．3．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（）A．5° B．10° C．15° D．45°【答案】C【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解．【解析】∵的三个内角比为1：1：2，∴∠A=180°=90°，∴∠ABC=45°，在Rt△ABD中，，∴∠ABD=30°，∴∠CBD=∠ABC∠ABD=15°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键．4．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A．5 B．4 C．7 D．6【答案】C【解析】解析：根据垂线段最短，可知AP的长不可能小于3，且不可能大于AB的长，∵在中，，，，∴，∴AP的长不可能大于6．答案：C易错：D错因：∵，，，∴．出现这样错误的原因主要是审题不清．满分备考：利用直角三角形的该特点解决问题时，应特别注意数据的对应性，必须是角所对的直角边和斜边之间的关系，切勿搞混位置关系．5．如图，在中，，点D在上，，则等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根据已知条件求得，再根据含30度角的直角三角形的性质，求得，根据等腰三角形的性质求得，进而求得．【解析】∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．6．如图：在中，，，BE平分，交AC于E，则（）．A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】先根据直角三角形的性质和角平分线的定义得到，然后再说明AE=BE，最后代入求解即可．【解析】解：∵在中，，∴∵平分，∴∴在中，∵，∴．∴．故选D．【点睛】本题主要考查了含30度直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．7．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且交于P点，则图中60度的角共有（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】根据等边三角形的性质证明△ADC≌△CEB，得到推出，再根据三角形的外角性质证得．【解析】解：在等边三角形中，，AC=BC，∵AD=CE，∴△ADC≌△CEB，∴，∵,∴，∴，故选：B．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键．8．如图，是等边三角形，，则的度数为()A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】A【分析】利用等边三角形三边相等，结合已知BC=BD，易证、都是等腰三角形，利用等边对等角及三角形内角和定理即可求得的度数.【解析】是等边三角形，，又，，,,,故选A．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键.9．如图，在等边△ABC中，M是AC上一点，N是BC上一点，且AM＝BN，∠MBC＝25°，AN与BM交于点O，则∠MON的度数为()A．110° B．105° C．90° D．85°【答案】A【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=∠B=60°，又因为AM=BN，AB=AB，所以△AMB≌△BNA，从而得到∠NAB=∠MBA=60°∠MBC=35°，则∠MON=∠AOB=180°2×35°=110°．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=60°，∵AM=BN，AB=AB，在△AMB与△BNA中，，∴△AMB≌△BNA（SAS），∴∠NAB=∠MBA=60°∠MBC=35°，∴∠AOB=180°2×35°=110°，∵∠MON=∠AOB，∴∠MON=110°．故选A．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，根据等边三角形的性质，结合全等三角形求解．10．如图△ABC中，∠A＝60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于点H，若CE＝4，BD＝5，则的值（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别在Rt△BDA、Rt△ACE和Rt△CDH中，利用含30度角的直角三角形的性质先后求得AD、AC、CD、DH的长，再计算即可求解．【解析】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△BDA中，∠A=60°，BD=5，∴∠ABD=30°，∴AB=2AD，∵AB2=AD2+BD2，即4AD2=AD2+52，∴AD=，在Rt△ACE中，∠A=60°，CE=4，∴∠ACE=30°，∴AC=2AE，∵AC2=AE2+CE2，即4AE2=AE2+42，∴AE=，AC=，∴CD=ACAD==，在Rt△CDH中，∠DCH=30°，CD=，∴CH=2DH，∵CH2=DH2+CD2，即4DH2=DH2+()2，∴DH=1，∴BH=BDDH=51=4，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了含30°的直角三角形的性质，当题目已知条件有高线存在时就要考虑构成利用直角三角形来解答问题．二、填空题11．在中，交于点D，，则________．【答案】4.8【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B=∠C=30°，∠C=∠CAD，AD=CD，然后利用含30°角的直角三角形可得，推出，进而可得答案．【解析】如图，，∠B=∠C=30°，又为直角三角形，∠B=30°，故答案为：4.8．【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定和性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．12．如图，中，平分交于D，，则________．【答案】4【分析】根据∠B=90°，∠A＝30°，易求得，而根据角平分线的定义得到，可证得是等腰三角形，可求得CD，即可求解．【解析】解：∵∠B=90°，∠A＝30°，∴，又∵CD平分∠ACB，∴，在中，，又∵30°，∴；故答案是：4．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，结合含30度角的直角三角形的性质计算是关键．13．在△ABC中，∠A＝60°，要使是等边三角形，则需要添加一条件是______.【答案】AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC【分析】由在△ABC中，∠A＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，即可求得答案.【解析】∵在△ABC中，∠A＝60°，∴要使是等边三角形，则需要添加一条件是：AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.故答案为此题答案不唯一，如AB＝AC或AB＝BC或AC＝BC.【点睛】此题考查等边三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.14．在Rt△中，∠B=90°，AC=16，BC=8，那么∠C=______度．【答案】60°【分析】根据直角三角形的性质可得∠A=30°，根据直角三角形两锐角互余即可得答案．【解析】∵Rt△ABC中，∠B=90°，AC=16，BC=8，∴BC=AC，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴∠A=30°，∴∠C=90°∠A=60°．故答案为：60【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题关键．15．若中，，且最长边为，则最短边长为______.【答案】5【分析】根据比例可设分别为k、2k、3k，然后根据三角形的内角和为180°，求得各角的度数，再根据直角三角形中30°所对直角边为斜边的一半即可得解.【解析】∵，∴设分别为k、2k、3k，∵k+2k+3k=180°，∴k=30°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∵最长边为，∴最短边长=.故答案为：5.【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，DE⊥AC于点E，∠A＝30°，AB＝12，则DE的长度是____．【答案】3【解析】【分析】根据D为AB的中点可求出AD的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出DE的长度．【解析】∵D为AB的中点，AB=12，∴AD=6，∵DE⊥AC于点E，∠A=30°，∴DE=AD=3，故答案是：3．【点睛】考查了直角三角形的性质：直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．17．如图，中，，，于，是的平分线，且交于点.如果，则的长为______.【答案】6【分析】根据题意易证△AEP为等边三角形，则AE=AP=2，在Rt△ACE中，利用含30°角的直角三角形性质求得EC的长，然后在等腰三角形BCE中得到BE的长，进而得到AB的长.【解析】∵，，∴∠ACB=60°，∵是的平分线，∴∠ECA=∠ECB=30°，在△AEC中，∠AEC=90°﹣∠ACE=60°，∵，∴∠BAD=90°﹣∠B=60°，∴△AEP为等边三角形，∴AE=AP=2，∴EC=2AE=4，∵∠B=∠BCE=30°，∴BE=CE=4，∴AB=BE+AE=4+2=6.故答案为：6.【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，含30°角的直角三角形性质等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.18．如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．【答案】14【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【解析】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．，，，，，为等边三角形，的最大值为，故答案为．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题三、解答题19．已知：如图，在中，是腰上的高．求证：．【答案】证明见解析【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角与外角的关系得到∠DAC＝30°．在直角△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半解得CD的长．【解析】证明：在中，∵，∴（等边对等角）．∴．∵是腰上的高，∴．∴（在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）．∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角．三角形的内角与外角的关系以及直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半．20．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长．【答案】，．【分析】先求出以及长，再根据含30°的直角三角形性质求出答案即可．【解析】解：，，，，，为中点，，，，．【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半．21．中，，和各是多少度？边与之间有什么关系？【答案】【分析】依据∠C＝90°，∠B＝2∠A，可求出∠B和∠A的度数，然后通过直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求出边AB与BC的关系．【解析】解：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∵∠B＝2∠A，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴AB＝2BC．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．22．如图，在中，交边于点，，，.(1)求的度数；(2)求证：.【答案】(1)∠B=45°；(2)证明见解析.【分析】（1）先求得∠ADC的度数，再根据三角形的外角性质即可得解；（2）过作于，连接BE，由（1）得到∠ECD=30°，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到，进而得到，再根据三角形外角性质得到，进而求得，得到，则△ACE为等腰直角三角形，从而得到答案.【解析】(1)∵，，∴．∴．(2)过作于，连接BE，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的判定等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，作适当的辅助线帮助解题.23．如图，四边形中，，，，，求的长．【答案】12cm【解析】【分析】连接AC，证明△ABC是等边三角形，然后求出∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，利用含30°的直角三角形的性质即可求出AD的长．【解析】解：连接AC，如图：∵AB＝BC＝6cm，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝6cm，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠A＝120°，∠C＝150°，∴∠ACD＝90°，∠CAD＝60°，∴AD＝2AC＝12cm．【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握含30°的直角三角形的性质是解本题的关键．24．如图，在等边∆ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将∆BCD绕点B逆时针旋转60°得到∆BAE，连接ED．若BC=10，BD=9，求∆AED的周长．【答案】19.【分析】先由△ABC是等边三角形得出AC=AB=BC=10，根据图形旋转的性质得出AE=CD，BD=BE，故可得出AE+AD=AD+CD=AC=10，由∠EBD=60°，BE=BD即可判断出△BDE是等边三角形，故DE=BD=9，故△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=10，∵△BAE由△BCD逆时针旋旋转60°得出，∴AE=CD,BD=BE,∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=10，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=9，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.故答案为19.【点睛】此题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于得到△BDE是等边三角形.25．如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A＝30°，DC＝，求EC的长.【答案】（1）见解析；（2）.【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出，再利用DE∥BC，得出∠2＝∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3＝60°，，得出DB的长，进而得出EC的长.【解析】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴.∴∠1＝∠2.∵DE∥BC，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴BD平分∠ABC.（2）解：∵AD⊥DB，∠A＝30°，∴∠1＝60°.∴∠3＝∠2＝60°.∵∠BCD＝90°，∴∠4＝30°.∴∠CDE＝∠2+∠4＝90°.在Rt△BCD中