安徽省合肥市百花中学八一学校等四校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

合肥百花中学等四校2023~2024学年度第二学期高二年级期末考试数学本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知函数，则（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复合函数求导可得，代入运算求解即可.【详解】由题意可知：，所以.故选：A.2.已知等比数列的公比为q，且是与的等差中项，则（）A. B.1 C.2 D.或1【答案】D【解析】【分析】根据等差中项可得，结合等比数列的通项公式运算求解.【详解】因为是与的等差中项，则，即，且，整理可得，解得或.故选：D.3.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记“一天的空气质量为优良”，“第二天空气质量也为优良”，由题意可知,所以，故选A.考点：条件概率．4.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.【详解】，，.故选：C.5.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种 B.120种 C.240种 D.480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.6.若函数与在处有相同的切线，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】因为，，则，，可得，，，，因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率，所以，解得，所以.故选：D.7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．或，,可知故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．8.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设离散型随机变量X的分布列为：X01234Pq0.40.1020.2若离散型随机变量Y满足，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择.【详解】对于选项A：因为，解得，故A正确；对于选项B：可得，，故B正确；对于选项CD：因为，则有：，故C错误；，故D错误.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.若回归方程为，则变量x与y负相关B.运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心C.若散点图中所有点都在直线上，则相关系数D.若决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好【答案】ABD【解析】【分析】利用正负相关的意义判断A；利用回归直线的性质判断B；利用相关系数、决定系数意义判断CD.【详解】对于A，回归方程为的斜率为负，则变量x与y负相关，A正确；对于B，回归直线方程一定经过样本点的中心，B正确；对于C，散点图中所有点都在直线上，则相关系数，C错误；对于D，决定系数的值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好，D正确.故选：ABD11.已知数列满足，则（）A.数列是等比数列B.C.数列的前n项和D.数列的前n项和【答案】ABD【解析】【分析】根据等比数列的定义即可求解A，由公比和首项写出等比数列的通项即可求解B，根据分组求和，裂项相消法求和即可求解CD.【详解】对于AB，由可得又，故为等比数列，且首项为2，公比为2，则，故，AB正确，对于C，数列的前n项和，故C错误，对于D，，故，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数在处取极值，则___________【答案】3【解析】【详解】试题分析：=．因为f（x）在1处取极值，所以1是f′（x）=0的根，将x=1代入得a=3．故答案为3.考点：利用导数研究函数的极值．13.的展开式中的系数为________________（用数字作答）．【答案】28【解析】【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为，所以的展开式中含的项为，的展开式中的系数为28故答案为：2814.现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________．【答案】①.，②.##【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.【详解】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有种，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值.【答案】（1）（2）；的最小值为【解析】【分析】（1）根据题意结合等差数列求和公式求得，即可得结果；（2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质分析求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，因为，，可得，解得：，所以．【小问2详解】由（1）可得：，可知：时，取得最小值，所以的最小值为．16.已知展开式中的第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列.（1）求n的值；（2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.【答案】（1）7（2）【解析】【分析】（1）利用第二项、第三项、第四项的二项式系数为等差数列可求；（2）根据二项展开式的通项可得展开式中共有3项有理项，利用插空法和古典概型的概率计算公式可求概率.【小问1详解】因为第二项、第三项、第四项的二项式系数分别为、、，由题意可知：，即，显然，整理可得，解得或（舍去），所以．【小问2详解】由（1）可知展开式的通项为，可知展开式共8项，当为有理项，共3项，所以由插空法可得有理项不相邻的概率．17.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【答案】(1)0.108.(2)1.8，0.72.【解析】【详解】试题分析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此可求出，，利用事件的独立性即可求出；（2）由题意可知X~B(3,0.6),所以即可列出分布列，求出期望为E(X)和方差D（X）的值.（1）设表示事件“日销售量不低于100个”，表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此...（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为,,,,分布列为X

0

1

2

3

P

0.064

0.288

0.432

0.216

因为X~B(3,0.6),所以期望为E(X)=3×0.6=1.8，方差D（X）=3×0.6×（10.6）=0.72考点：1.频率分布直方图；2.二项分布.18.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示.等级不合格合格得分频数6x24y（1）若测试的同学中，分数在，，，内女生的人数分别为2人，8人，16人，4人，完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关?等级性别不合格合格总计男生

女生

总计

（2）按比例分配的分层抽样方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求X的分布列及数学期望E(X).附:0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，不能（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本容量，再由数据表求出，列出列联表，计算并比对作答；（2）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】由频率分布直方图可知得分在的频率为，所以抽取的学生答卷总数为，则，，可得列联表为：等级性别不合格合格总计男生141630女生102030总计243660零假设：性别与安全意识无关，于是，依据的独立性检验可知：零假设成立，所以不能认为性别与安全意识有关．【小问2详解】“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，可知X的可能取值为0，5，10，15，20，则有：，，所以X的分布列为：X05101520P期望．19.设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；（Ⅲ）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）见解析.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求函数f（x）导数，根据，求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数f（x）的单调性，由函数有三个不同零点，求c的取值范围；（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：（Ⅰ）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（Ⅱ）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：

所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（Ⅲ）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点