2021届人教a版平面向量单元测试 (二)

平面向量

一、单选题

1.设M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0)，若而=益，则点B的坐标应为()

A.(-1,3,-3)B.(1,-3,3)C.(9,1,1)D.(-9,-1,-1)

【答案】C

【解析】

试题分析：设点B的坐标为(x,y,z)；表示出，由瓦，=石解出B的坐

标.

设点B的坐标为(x,y,z)；

则二OAf=(5,-1,2)-AB=(x-4,y-2,z+1)，

'-OM=AB,x-4=5,y-2=-1,z+1=2,lx=9,y=l,z=l,

故选C.

考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.

2.已知向量”,坂满足|4|=&,。%=-应，则。・(〃-应5)=()

A.4B.3C.2A/2D.0

【答案】A

【解析】

【分析】

由题7Q—0历=a-忘.b)进而代入求解即可.

【详解】

由题，则a•(a_=a—\[2a-b~(V2j—>/2x\/2j=4,

故选:A

【点睛】

本题考查向量模的性质和向量的数量积,属于基础题.

3.已知△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别为(0,1),(、巧，0),(0,-2),O

为坐标原点，动点P满足|而|=1,则I也+而+而|的最小值是()

A.Vs-1B.Vii-ic.V3+1D.VTT+i

【答案】A

【解析】试题分析：设动点软乂©，则函+砺+而=[+JIy+l),

|砺+砺+丽|2=1+啦丁+(y+])2,又由|d|2=%2+(,+2)2=],即点尸在以

点C(0,-2)为圆心，半径为1的圆C上，故|西+砺+而]的最小值转化为圆。上的点

与点。(-立-D的距离最小值，且最小值为IQ2I-1,即后-1.

考点：1、平面向量坐标运算；2、圆的方程.

【思路点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算.通过平面向量求模公式，可得

I)+而+而『及I而『，进而运用数形结合思想，将问题转化为圆。上的点与点0

(-J5,—D的距离最小值，在坐标系中画出圆及点。，可知最小值为圆心。与0的距离

减去圆C的半径.

4.在平行四边形ABC。中，E是对角线AC上一点，且通=4反，则诙=()

3一1—3一1-4一1一4—1—

A.-AB——ADB.-AB+-ADC.-AB——ADD.-AB+-AD

44445555

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知荏=d（3月+M）,又力芯=亚—赤，将而代入即可.

【详解】

由荏=4反，得AE=1AC=l（AB+AD）,

又瓦=荏-布，

则诙=3（而+四一通=4而一」而.

故选C

【点睛】

本题考查了平面向量基本定理，考查了向量的加减法运算及线性运算，属于基础题.

Q

5.已知点A，B,C在圆d+>2=1上运动，且AB_LBC,若点P的坐标为（§,2）,

贝4中+而+罔的取值范围为

A.[8,10]B.[9,11]

C.[8,11]D.[9,12]

【答案】B

【解析】

口45□函040为圆/+>2=1的直径，如图,

叭(1,2卜口而+正=2司印-4),

Q

设及COS，,S讥冽，则P^=(COS夕3⑼八夕2).

口商+而+阂=|cos8-8,sin8-6|=^/(cos^-8)2+(sin6>-6)2

=V101-16cos^-12sin^=^101-20sin(^+a),tana=g)

□|7M+PB+Pc|的最小值为J101—20=9,最大值为J101+20=11.

n\PA+PB+PC\的取值范围为[9,11].

故选：B.

点睛：平面向量的模长往往是转化为平方运算，结果再开方即为模长，平面向量的数量

积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数,量积的坐标运

算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用.

利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及

垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.

6,若向量通=（5,-12）,则与其平行的单位向量为（）

13'13；

【答案】C

【解析】

【分析】

AB

利用与已知向量血=（5,—12）平行的单位向量为土阿即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，向量油=(5,-12),可得网=6+(T2)2=13,

，、,而，,512、

所以与已知向量A3=(5,—12)平行的单位向量为土同=±(百,一百).

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了平行向量的该概念，以及单位向量的求解，其中解答中熟记与向量£平

a

行的单位向量为土E是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

7.A4BC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且匕=3,c=2,。为MBC

的外心，贝!J而.配=()

1355

A.—B.-C.--D.6

222

【答案】B

【解析】

【分析】

取3c的中点O,可得。力.。月=0,这样=45.月6,然后都用衣，而表

示后运算即可.

【详解】

取8C的中点D，连接O2AO,•.•。是AABC外心，,。。人8C,丽•丽=0，

AOBC=(AD+Dd)BC=ADBC+DdBC

-------1———一1—2—21,5

^ADBC^-(AC+AB)■(AC-AB)=-(AC-AB)=-(372-22)=1.

故选：B.

A

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解题关键是取8。的中点£>,把亚•与心转化为ADBC，

再选取无心,而为基底，用基底进行运算.

8.在A4BC中，有命题

①通-衣=而；

®AB+BC+CA^O;

③若（而+3C）•（通一正）=0,则AABC为等腰三角形；

④若EC•通>0，则NA为锐角上述命题正确的是（）

A.B.①④C.②③D.②③④

【答案】D

【解析】

试题分析：对于在AABC中，有命题

对于①入巨一恁=86；根据减法运算可知，结论为而-恁=而，错误。

对于②++成立。

对于③若（而+/）・（而—/）=（）,则ZVU5C为等腰三角形；成立

对于④若恁.A月〉0，则NA为锐角，成立，故选D

考点：向量的数量积

点评：向量的加减法和数量积的运算，属于基础题。

9.已知。为坐标原点，04=(1,2),AC=(-1,3),则点C的坐标是()

A.(2,-1)B.(0,5)C.(—1,6)D.(0,-1)

【答案】B

【解析】

【分^1?】

利用向量加法的坐标运算，求得。的坐标.

【详解】

依题意反=砺+祀=(1,2)+(-1,3)=(0,5),所以。的坐标为(0,5).

故选：B

【点睛】

本小题主要考查向量加法的坐标运算，属于基础题.

10.若四边形ABC。是平行四边形，则下列结论错误的是()

A.AB=DCB.AD+AB=ACC.AB-AD=DBD.AD+BC=Q

【答案】D

【解析】

【分析】

作出平行四边形ABC。，再利用平面向量的加法和减法法则，结合平行四边形的性质，

即可得到答案.

【详解】

对A,平行四边形A8CD对边平行且相等，所以砺=反，故A正确；

对B,利用向量加法的平行四边形法则得Z方+A方=恁，故B正确;

对c,利用向量减法的三角形法则得而_诟=丽，故c正确;

对D,方与耳心是非零相等向量，AZ5+8CNO，故D错误.

故选：D.

DC

A冈B

【点睛】

本题考查向量加法与减法的几何意义，考查数形结合思想，属于基础题.

二、填空题

11.已知在AA3C中，AB=BC=3,AC=4,设。是AA3C的内心，若

AO=mAR+nAC,则m:〃=_

【答案】4:3

【解析】试题分析：建立如图所示坐标系，B（2,V5）,C（4,0）,设0（2,。，则

ABA0=4+t^,又ABAO=3x^Ad\cosZBAO,所以

3x|A0|cosZBAO=4+rV5（1）,同理，ACAO=8,

AC-AO=4X|JO|COSZC4O,4x|lo|cosZCAO=8（2）,根据（1）和（2）得

厂（厂、____2=2m+4n

1=管,所以012,子），由石=得｛2逐4,解得

2

m=—“

5由|“m4

{f-,所以一=一.

3n3

考点：平面向量及其运算.

12.已知向量d=(2,1),5=(1,加)，若£/区，则实数优等于

【答案】工

2

【解析】

【分析】

根据向量的共线的条件，得到2xm=lxl,即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，向量3=(2,1),5=(1,加)，因为Z//B，所以2xm=lxl,解得m=

【点睛】

本题主要考查了向量的共线的坐标表示，其中解答中熟记向量共线的条件是解答的关键,

着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

13.在△A8C中，点用为边AB的中点，若丽||丽，且丽=+y丽(xwO),

则，.

x

【答案】I

【解析】

：M是A8的中点,

/.OM=-（OA+OB）,

又；丽=2两=g/l（砺+而）=x）+y而，

**•x——%,y——/1,

22

.•.2=1.

X

14.设O为A/WC所在平面内一点，AD=-^AB+~AC,若配=几反（4eR）,

则2=.

【答案】-3

【解析】

【分析】

直接利用向量的线性运算求出结果.

【详解】

一1一4一

•.•。为AA8C所在平面内一点，AD=-AB+-AC,

33

:.B,C,〃三点共线.若配=X反（2e/?）,AAC-AB=AAC-AAD'

..,uuiy1▲4A,-1.•,uuci14H4.•.,_.11..

化为：AD=下AB+—-—AC,与AB+^AC,比较可得：—=——,解得

AA33A3

A=—3.

即答案为-3.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题.

三、解答题

15.在平面直角坐标系直力中，已知点A（—2,3）,8（1,2）,。（一3,2）.

（1）求以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;

（2）当，为何值时，福T玩与玩垂直；

（3）当/为何值时，「丽+砺与2砺-砺平行.

【答案】（1）2夜,4.⑵r=（3）t=-2.

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质，确定E的坐标，从而可得的坐标。，即可求

得以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）确定而_,反与反的

坐标，利用垂直，可得数量积为0，即可求得f的值；（3）确定/砺+而与函一2万

品的坐标，利用平行，可得方程，从而可求f的值，即可判断平行时它们是同向还是反

向.

试题解析：（1）由题设知，通=（3,—1）,而贝

通+而=（2,—2）,通—而=（4,0）,二|通+而|=2&,|通—羽=4,.•.所求

的两条对角线的长分别为2后,4.

⑵由题设知，双=（一3,2）,通一，双=（3+3f,-1一2，），由福一/觉与反垂直，

得（ABX无回=,即（3+3f）x（—3）+（—1—2f）x2=0,所以f=—J.

（3）由题设知，/函+砺=（1-2r,2+3f）,2函一砺=（-5,4）,由

tOA+OB//OA-2OB^得

4（l-2r）+5（2+3f）=0,.」=—2.

16.已知a=（2mvx,2sinx）,,函数f^x）=cosa,b.

（I）求函数/（x）零点;

（II）若锐角ZSABC的三内角A、B、C的对边分别是。、b、J且/（A）=l,求

一b+c的取值范围.

a

【答案】（1）x=—+—（2）V3<^^<2

212a

【解析】

分析：（1）利用平面向量数量积公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角

和与差的正弦公式将。石函数化为2sin（2x-V）,利用平面向量夹角余弦公式可得

/（x）的解析式，利用正弦函数的性质可得函数/（x）零点；（2）由正弦定理得

b+csinB+sinC“心，，兀,f„7r\„,„n皿皿--

----=-----------，先求出A=一,上式化为2nsin|8+7|,求出6H—,根据正

asinA--------------3<6J6

弦函数的单调性可得结果.

c•（万

（I）由条件可知:GZ=2cosx.sin[x-7+2S13C0Sx---

详解:（6

所以函数“X）零点满足Sin（2x—7■卜0,由2%-看=版■MeZ,解得％=^+已

kez.

/“、〜十以^皿，日人+。sinB+sinC

（II）由正弦定理得——=-----------

asinA

由（I）/（x）=sinjfff/（A）=l,得sin12A_1]=1

A2A--=2k7r+-,k^Zf又4£（0,乃），得4二工

623

-：A+B+C=7r.・.C=——3代入上式化简得:

3

sinB+sin—sinB+—cosBGsin

22

sinA

77~2^7TTE7T7T

又在锐角AABC中，有0<3<一，——B<-：.-<B<-

23262

71nTV171n..y/3,(n

—<B-\■—<——，则有——<sinB+—<1

63

即：V3<^^<2.

a

点睛：以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，

对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但

综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要

熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.

17.已知|a|=1,|。|=2,|a-。|=J7,

求：⑴a-b；

（2）a-/?与a+Z?的夹角的余弦值；

【答案】（1）-1；（2）一卫.

7

【解析】

试题分析：（1）由已知等式Ia-6=近两边平方，得：^-b'=7,将向量模转化为

向量的数量积运算，将已知代入到可求得：京方的值；

rrrrr2r2rriiii

（2）首先计算出：（a-5）（a+b）=a-b,a+b,设。一人与a的夹角为a,则

1II1

由向量的夹角公式cosa=华二黑士2即可求得结果.

试题解析：（1）由题意:=7=a—2a-h+b=7

I2-2a-b+4=7=>a-b=-1

rrrrr2r、

(2)(a-b)(a+b)=a—h=1—4=-3

rr"__rrr2----------

a+b=7a+2cl♦b+b—Jl+(—2)+4=<3

I1ii厂

设。一/7与a+Z?的夹角为a,则是cosa=(：一铲%-=--尸\=——-

a-训a+/v7-<37

考点：1.向量的数量积；2.向量的夹角.

18.(I)已知2=(1,2),网=26，且石与£共线,求一的坐标;

(D)已知)=(0,3),仍|=2,且痴的夹角为夸，求忸+2司.

【答案】(I)5=(2,4)或5=(-2,-4)(II)\a+2b\=yjl3

【解析】

【分析】

(I)可设B=利用忖=2遂可得X的值，从而得到B的坐标.

(II)因卜+20=东+4次5+步，故计算亡而后即得所求的模.

【详解】

(I)设5==由问=26=“2+3)2=2后,

解得4=±2./.万=(2,4)或B=(―2,—4).