高中数学选修2-2课时作业3：2.3数学归纳法

人教版高中数学选修2-2PAGEPAGE1课时作业1：2.3数学归纳法1.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1-an-21-a(a≠1)”，在验证n＝A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a32．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．1 B．4C．5 D．63．下列代数式中，n∈N*，可能被13整除的是()A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋24．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”时，第二步归纳假设应写成()A．假设n＝2k＋1(k∈N*)时，命题成立B．假设n＝2k－1(k∈N*)时，命题成立C．假设n＝2k(k∈N*)时，命题成立D．假设n＝k(k∈N*)时，命题成立5．某个与正整数有关的命题，如果n＝k(k∈N*且k≥1)时，命题成立，那么一定可推得当n＝k＋1时，命题也成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时，该命题不成立B．当n＝6时，该命题成立C．当n＝4时，该命题不成立D．当n＝4时，该命题成立6．利用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n)>1314时，由k递推到k＋1左边应添加的因式是()A.eq\f(1,2k＋1) B.eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)C.eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋1) D.eq\f(1,2k＋1)7．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝eq\f(1－2k＋1,1－2)＝2k＋1－1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，对任意n∈N*，等式成立．上述证明中的错误是________．8．用数学归纳法证明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2)，假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．9．证明不等式eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2n－1,2n)<eq\f(1,\r(2n＋1))(n∈N*)．10．已知数列{xn}满足x1＝eq\f(1,2)，xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，n∈N*.(1)猜想数列{x2n}的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|xn＋1－xn|≤eq\f(1,6)(eq\f(2,5))n－1.[答案]1[解析]当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.[答案]C2[解析]当n＝1时，2>2不成立；当n＝4时，24>42＋1不成立；当n＝5时，25>52＋1成立；当n＝6时，26>62＋1成立．[答案]C3[解析]验证n＝1时，由各代数式的值知A，C不可能，在D中43＋33＝91＝13×7.故选D.[答案]D4[解析]∵当k∈N*时，2k－1表示正奇数，故选B.[答案]B5[解析]用反证法知，假设n＝4时命题成立，则由题意知k＝5时命题成立，这与已知相矛盾，故n＝4时，命题不成立．[答案]C6[解析]f(k＋1)－f(k)＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1)－(eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k))＝eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)－eq\f(1,k＋1)＝eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋1).[答案]C7[解析]由证明过程知，在证从n＝k到n＝k＋1时，直接用的等比数列前n项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的．[答案]没有用上归纳假设8[解析]观察不等式中分母的变化便知．[答案]eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)9[解析](1)当n＝1时，左边＝eq\f(1,2)，右边＝eq\f(1,\r(3))，显然eq\f(1,2)<eq\f(1,\r(3))，不等式成立．(2)假设n＝k时，不等式成立，即eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2k－1,2k)<eq\f(1,\r(2k＋1))，则n＝k＋1时，eq\f(1,2)×eq\f(3,4)×…×eq\f(2k－1,2k)×eq\f(2k＋1,2k＋2)<eq\f(1,\r(2k＋1))×eq\f(2k＋1,2k＋2)＝eq\f(\r(2k＋1),2k＋2)，要证n＝k＋1时，不等式成立，只要eq\f(\r(2k＋1),2k＋2)<eq\f(1,\r(2k＋3))成立．即证(2k＋1)(2k＋3)<(2k＋2)2即证4k2＋8k＋3<4k2＋8k＋4.该不等式显然成立．即n＝k＋1时，不等式成立．由(1)(2)知，对任意的正整数n，不等式成立．10[解析](1)由x1＝eq\f(1,2)及xn＋1＝eq\f(1,1＋xn)，得x2＝eq\f(2,3)，x4＝eq\f(5,8)，x6＝eq\f(13,21)，由x2>x4>x6猜想：数列{x2n}是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1,2时，x2＝eq\f(2,3)>x4＝eq\f(8,5)，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k>x2k＋2.易知xn>0，那么x2k＋2－x2k＋4＝eq\f(1,1＋x2k＋1)－eq\f(1,1＋x2k＋3)＝eq\f(x2k＋3－x2k＋1,1＋x2k＋11＋x2k＋3)＝eq\f(x2k－x2k＋2,1＋x2k1＋x2k＋11＋x2k＋21＋x2k＋3)>0，即x2(k＋1)>x2(k＋1)＋2.也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．综合(1)和(2)知，命题成立．(2)证明：当n＝1时，|xn＋1－xn|＝|x2－x1|＝eq\f(1,6)，结论成立；当n≥2时，易知0<xn－1<1，∴1＋xn－1<2，xn＝eq\f(1,1＋xn－1)>eq\f(1,2).∴(1＋xn)(1＋xn－1)＝(1＋eq\f(1,1＋xn－1))(1＋xn－1)＝2＋xn－1≥eq\f(5,2).∴|xn＋1－xn|＝|eq\f(