初中数学平行四边形练习题及答案

练习1

一、选择题（3'X10=30z）

1.下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（）.

A.内角和为360。B.外角和为360°C.不确定性D.对角相等

2.ZZ7ABCD中，/A=55°,则NB、/C的度数分别是（）.

A.135°,55°B.55°,135°C.125°,55°D.55°,125°

3.下列正确结论的个数是（）.

①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；

③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补.

A.1B.2C.3D.4

4.平行四边形中一边的长为10cm,那么它的两条对角线的长度可能是（）.

A.4cm和6cmB.20cm和30cmC.6cm和8cmD.8cm和12cm

5.在口ABCD中，AB+BC=llcm,ZB=30°,So^-15cm2,则AB与BC的值可能是（）.

A.5cm和6cmB.4cm和7cmC.3cm和8cmD.2cm和9cm

6.在下列定理中，没有逆定理的是（）.

A.有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；

B.直角三角形两个锐角互余；

C.全等三角形对应角相等；

D.角平分线上的点到这个角两边的距离相等.

7.下列说法中正确的是（）.

A.每个命题都有逆命题B.每个定理都有逆定理

C.真命题的逆命题是真命题D.假命题的逆命题是假命题

8.一个三角形三个内角之比为1：2：1,其相对应三边之比为（）.

A.1：2：1B.1：VI：1C.1：4：1D.12：1：2

9.一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（）个.

A.2B.3C.4D.54

10.如图所示，在aABC中，M是BC的中点，AN平分NBAC,BN

1AN.若AB=14,AC=19,则MN的长为（）./\

A.2B.2.5C.3D.3.5/\

二、填空题（3'X10=30z

11.用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的C

比为3：4,短边的比为,长边的比为.

12.已知平行四边形的周长为20cm,一条对角线把它分成两个三角形，周长都是18cm,则

这条对角线长是cm.

13.在口ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点1）,在AB上的垂足为E,若口ABCD的周长

为38cm,AABD的周长比OABCD的周长少10cm,则口ABCD的一组邻边长分别为.

14.在口ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE,又AE的延长线交DC的延长线于点F.若

ZF=65°,则口ABCD的各内角度数分别为.

15.平行四边形两邻边的长分别为20cm,16cm,两条长边的距离是8cm,则两条短边的距

离是_cm.

16.如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的和,那么这两个命题是

互为逆命题.

17.命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是.

18.在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3,则第三边的长是...

19.直角三角形两直角边的长分别为8和10,则斜边上的高为,斜边被高分成两

部分的长分别是.

20.4ABC的两边分别为5,12,另一边。为奇数,且2+6+c是3的倍数，则c应为,

此三角形为三角形.

三、解答题(6'X10=607)

21.如右图所示，在口ABCD中，BF_LAD于F,BE_LCD于E,若NA=60°,AF=3cm,CE=2cm,

求口ABCD的周长.

22.如图所示，在OABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.

求证：(1)AE=CF；(2)AE〃CF.

23.如图所示，C7ABCD的周长是106+6正，AB的长是5百，DE_LAB于E,DF_LCB交

CB的延长线于点F,DE的长是3,求（1）/C的大小；（2）DF的长.

24.如图所示，ZZ7ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是/DAB、/ABC、/BCD、/CDA的平分

线，AQ与BN交于P,CN与DQ交于M,在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述

条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平

分线”这两个条件）.

25.已知△ABC的三边分别为a,b,c,a=n2-16,b=8n,c=n2+16(n>4).

求证：ZC=90°.

26.如图所示，在AABC中,AC=8,BC=6,在ZXABE中,DE_LAB于D,DE=12,SAABE=60,求

NC的度数.

27.已知三角形三条中位线的比为3：5：6,三角形的周长是112cm,求三条中位线的长.

28.如图所示,已知如=CD,AN=ND,BM=CM,求证：N1=N2.

29.如图所示，AABC的顶点A在直线MN上，ZXABC绕点A旋转，BE_LMN于E,CD_LMN

于D,F为BC中点，当MN经过AABC的内部时，求证：(1)FE=FD；(2)当aABC继续旋

转，使MN不经过aABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？

N

30.如图所示，E是口ABCD的边AB延长线上一点,DE交BC于F,求证：SAABF=SAEFC.

答案：

一、1.D2.C3.C4.B5.A6.C7.A8.B9.C10.C

二、11.3cm4cm12.813.9cm和10cm14.50°,1300,50°,130°

15.1016.结论题设17.同旁内角互补，两直线平行

18.5或近19.—V41,—A/41,—74?20.13直角

414141

三、21.二7ABCD的周长为20cm22.略

23.(1)ZC=45°(2)24.略

2

25.略26.ZC=90°27.三条中位线的长为：12cm；20cm；24cm

28.提示：连结BD,取BD的中点G,连结MG,NG

29.(1)略(2)结论仍成立.提示：过F作FG1.MN于G30.略

练习2

一、填空题（每空2分，共28分）

1.已知在ZZ7ABCD中,AB=14c"?,BC=16cm，则此平行四边形的周长为cm.

2.要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是形,再说明

（只需填写一种方法）

A.

3.如图，正方形A8C。的对线AC、BD相交于点。.）

那么图中共有个等腰直角三角形.\0/

4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入

下列相应的空格上./7

（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成0榛3题）―C

（2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成；

（3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成.

5.矩形的两条对角线的夹角为60°,较短的边长为12si,则对角线长为cm.

6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其

余两个内角的度数分别为°和°.

7.平行四边形的周长为24的,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为

8.根据图中所给的尺寸和比例，可知这个“十”字标志的周长为

9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12c加和6皿,那么这个平行四边形

的面积为cm2.

10.如图，/是四边形ABCD的对称轴，如果A。〃BC,有下列结论：⑴A8//

CD;（2）AB=CD;（3）AB1BC;⑷AO=OC淇中正确的结论是L

（把你认为正确的结论的序号都填上）

二、选择题（每题3分，共24分）

11.如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（）

A、三角形B、四边形C、五边形D、六边形

12.下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.平行四边形的对角相等D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

13.给出四个特征⑴两条对角线相等乂2）任一组对角互补;⑶任一组邻角互补;（4）是轴对称图形

但不是中心对称图形，其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.四边形ABCD中，AD//BC,那么乙4：的值可能是（）

A、3：5：6：4B、3：4：5：6C、4：5：6：3D^6：5：3：4

15.如图，直线a//bfA是直线a上的一个定点，线段BC在直线b上移动，那么在移动过程中

A45c的面积（）

A.变大B.变小C.不变D.无法确定

于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

17.如图，在&4BC中,A8=AC=5,。是BC上的点,DE〃AB交AC于点E,DF//AC交AB于点F,

那么四边形AFDE的周长是)

A.5B.10C.15D.20

18.已知四边形ABCD中交8D于点。，如果只给条件“AB〃CD”，那么还不能判定四形

ABCD为平行四边形，给出以下四种说法：

⑴如果再加上条件"8C=AD"，那么四边形A8CD-•定是平行四边形；

⑵如果再加上条件“N8N。=乙BCD"，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

⑶如果再加上条件"AO=OC"，那么四边形A8CD一定是平行四边形；

⑷如果再加上条件“NDBA=NC4B"，那么四边形ABCD一定是平行四边形

其中正确的说法是()

A.⑴⑵B.(l)⑶⑷C.(2)⑶D.⑵⑶⑷

三、解答题(第19题8分，第20~23题每题10分，共48分)

19.如图，^ABCD^,DB=CD,ZC=70°,AE±BD于E.

试求ZZME的度数.

20.如图，j'BC。中，G是切上一点,8。交/)〃延长线于瓦4W7G,ZZ)GE=100°.

(1)试说明DF=BG;(2)试求4ED的度数.

21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：

(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①)，使AB=CD,EF=GH;

(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是;

⑶将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框

无缝隙时(如图④),说明窗框合格，这时窗框是形,根据的数学道理是:—

（图①）（图④）

22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘，在它的四个角上均有一棵大柳树，李大伯开挖

池塘,使池塘面积扩大一倍，又想保持柳树不动，如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问

李大伯愿望能否实现?若能，请画出你的设计;若不能，请说明理由.

（第22题）c

答案

1.60.2.平行四边形;有一组邻边相等.

3.8.提示:它们是\AOB,\BOC,ACO£>,MOD,\ABD,\ABC,\BCD,\ACD.

4.⑴等腰直角三角形;⑵等腰三角形；(3)直角三角形.5.24.6.135;45.7.3.

8.4.提示:如图所示，将“卜”字标志的某些边I'"""|—[一]

进行平移后可得到一个边长为1机的正方——I

形，所以它的周长为4m.~rI~I匚=

9.36.提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半.

10.(1)(2)(4).提示:四边形ABCD是菱形.

ll.B.12.D.13.C.14.C.

15.C.提示:因为的底边BC的长不变,BC边上的高等丁宜线a,b之间的距离也不变，所

以A48C的面积不变.

16.A.提不:由于NFZE是由ND4E通过折叠后得到的，所以NE4E=ND4E=；(90°-NA4尸)

17.B.提示：先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE的周长

=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.

18.C.

19.因为BD=CD,所以Z.DBC=NC,乂因为四边形ABCD是平行四边形，所以4。〃砥，所以

NZ)=ZZ)8C,因为80,所以在直角A/ED中,NO/E=90°-ZD=90°-70°=20°.

20.⑴因为四边形A8CD是平行四边形，所以A8=DC,又AF=CG,所以AB-AF=DC-CG,即GD=BF,

又所以四边形DFBG是平行四边形,所以DF=B&,

⑵因为四边形DFBG是平行四边形，所以DF//GB,所以NGBF=AAFD，同身！可得

Z.GBF=NDGE,所以Z.AFD=NDGE=100°.

21.⑴平行四边，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

⑵矩，有一个是直角的平行四边形是矩形.

22.如图所示，连结对角线做过小B、C、〃分别作能、AC.BD、/C的平行线,旦这些

平行线两两相交于从F、G、〃四边形/即为符合条件的平行四边形.

练习3

1、把正方形Z8CD绕着点力,按顺时针方向旋转得到正方形4EFG,边FG与BC交于

点”(如图).试问线段HG与线段”8相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

2、四边形4比次以尸。都是正方形，连接CG.(1)求证：A后CG；(2)观察图形，猜

想与CG之间的位置关系，并证明你的猜想.

3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D,处，折痕为

EF.

（1）求证：△ABEZ^AD'F；（2）连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你

挑战自我:

1、（2010年眉山市）.如图，每个小正方形的边长为1,尔B、C是小正方形的顶点，则N

4%的度数为（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

C

2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

3.（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°,则这个正多边形的边数是（）

A.9B.8C.6D.4

4、（2010年福建福州中考）如图4,在OABCD中，对角线AC、BD相交于点0,若AC=14,

BD=8,AB=10,则△OAB的周长为。

5、（2010年宁德市）如图，在0ABeD中，AE=EB,AF=2,则FC等于.

6题

6、（2010年滨州）如图，平行四边形ABCD中，6ABe=60°,E、F分别在平、BC的延长线上,AE

〃BD,EF_LBC,DF=2,则EF的长为

7、（2010年福建晋江）如图，请在下列四个关系中，选出尊个恰当的关系作为条件,

推出四边形Z8C。是平行四边形，并予以证明.（写出一种即可）关系：

①AD〃BC,②AB=CD,③44=NC,@Z5+ZC=180°.

己知：在四边形48C。中，,；求证：四边形Z8CD是平行

四边形.

8、（2010年宁波市）如图1,有一张菱形纸片ABCD,AC=S,BD=6.

（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四

边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，

请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边

形的周长。

（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4

中用实线画出拼成的平行四边形•（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全辎°

D,----------CD----------CD----------C

I•I•I•

IIIIII

I•I•I•

IIIII•

IIIIII

III•I•

I•I•I•

/•I•I•

I•I•I•

A"BAJBA

（图2）（图3）（图4）

周长为周长为—

9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC_LBD,且NC=5CTW,BD=12cm,

求梯形中位线的长。

10、（2007•山东）如图，在周长为20cm的腼中，AB^AD,AC.刃相交于点。，OELBD

交AD于E,则△力断的周长为（）（A）4cm（B）6cm（C）8cm

（D）10cm

10题

11、（2006•山东）如图，在平行四边形/腼中，AE上BC于E,ARLCD于F,Z£4/^45°,

且AE+A广272,则平行四边形ABCD的周长是.

直击中考：

1.（2011安徽）如图，。是△ABC内一点，BDA-CD,AD=6,8。=4,8=3,E、F、G、H分

别是48、AC,CD,8D的中点，则四边形EFGM的周长是（）【答案】D

2.（2011山东威海）在58CD中，点E为AD的中点，连接BE,交AC于点F,贝ljAF：CF

-（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.2：5【答案】A

3.（2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第

①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有

"个平行四边形，・・・・・・，则第⑥个图形中平行四边形的个数为（）【答案】C

口

图①图②图③图④

A.55B.42C.41D.29

4.（2011宁波市）一个多边形的内角和是720°这个多边形的边数是（）【答案】C

A.4B.5C.6D.7

5.（2011广东汕头）正八边形的每个内角为（）【答案】B

A.120°B.135°C.140°D.144°

6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长

为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如

图2）,依此规律继续拼下去（如图3）,……，则第n个图形的周长是（）【答案】C

图1

(A)2"(B)4"(C)2n+,(D)2"+2

7.（2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面

积分别为5i，S2,贝US1+S2的值为（）【答案】B

8.（2011山东泰安）如图，点。是矩形A8CD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点

B恰好与点。重合，若BC=3,则折痕CE的长为（）【答案】A

A.2#B.典C.3D.6

2

9.（2011四川重庆）如图，正方形ABCD中，A8=6,点E在边CD上，且CD=3DE.将

△ADE沿AE对折至延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论：（r）/\ABG^/\AFGi

②BG=GC；③AG〃CF；④S4GC=3.其中正确结论的个数是（）【答案】C

A.1B.2C.3D.4

BGC

10.（2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30。内角的菱形

EFGM（不重叠无缝隙）.若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2,四边形A8CD

面积是"cm?,则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）【答案】A

（A）48cm（B）36cm（C）24cm（D）18cm

（第10题）

11.（2011重庆江津）如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC_LBD,顺次连接四边形ABCD

各边中点,得到四边形ABCD,再顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形ABCD……，

如此进行下去，得到四边形A“BC,D”.下列结论正确的有（）【答案】C

①四边形A2B2C2D2是矩形；②四边形ABCR是菱形；

③四边形A5B5C5D5的周长空2；④四边形A„B„C„D„的面积是当

42,,+|

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

12.（2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E,F分一别在A8,AD上，且

AE=DF.连接BF与。E相交于点G,连接CG与8。相交于点H.下列结论：（）【答案】

D

①②SBwgBCDGumCG2;③若AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论

4

A.只有①②.B.只有①③.C.只有②③.D.①②③.

第12题图

13.（2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，。八。2是其中两个正

方形的中心，则阴影部分的面积是.【答案】2

14.（2011浙江绍兴）取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点

的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边

形，则这张矩形纸片的宽和长之比为.【答案】73:2

第15题图3

15.（2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结

菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1,则第

。个矩形的面积为。【答案】」

16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为。、h,以菱形ABCD各边的中点为

顶点作矩形ABCD，然后再以矩形ABC。的中点为顶点作菱形A/BCDz，……，如此下去，

得到四边形A2期B2°gC颂口的的面积用含。、6的代数式表示为.【答案】

2

17、（2009黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，ZDAB=6Q°.连结对角

线zc,以zc为边作第二个菱形4CG2,使/。/。=60°；连结力c，再以4G为

边作第三个菱形使^D2AC1=60°；……,按此规律所作的第〃个菱形的边

长为.［答案］

18.（2011山东日照，16,4分）正方形48C。的边长为4,M、N分别是8C、C。上的两个

动点，且始终保持八当二时，四边形A8CN的面积最大.【答案】2;

AD

\N

1

BM

19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点。，E、F在AC上,

G、H在BD上，AF=CE,BH=DG.

求证：GF〃HE.

【答案】证明：：平行四边形ABCD中，OA=OC,

由已知：AF=CEAF-OA=CE-OC；.OF=OE同理得：OG=OH

四边形EGFH是平行四边形；.GF〃HE

20、（2011四川成都10分）如图，已知线段A8〃CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD

上一动点.

⑴若BK5=",求C士D的值；

2AB

（2）连接BE,若BE平分NABC,则当时，猜想线段48、BC、8三者之间有怎样

2

的等量关系?请写出你的结论并予以证明.再探究：当AE=LA。（〃>2）,而其余条件不变

时，线段AB、BC.CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明.

5CDCK?

【答案】解：（D'：AB//CD,BK=-KC,

2ABBK5

（2）如图所示，分别过C、。作8E〃CF〃DG分别交于A8的延长线于F、G三点，

VBE//DG,点E是AD的点，.，.AB=BG；；CD〃FG,CD//AG,二四边形CDGF是平行四边

形，：.CD=FG；

•；NABE=NEBC,BE//CF,：.ZEBC=ZBCF,ZABE=ZBFC,：.BC=Bf,

：.AB-CD=BG-FG=BF=BC,：.AB=BC+CD.

当AE=」AD（〃>2）时，（〃-1）AB=BC+C£>.

n

21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC中，Z4CB=90t!,8c的垂直平分线DE交BC于。，

交AB于E,尸在DE上，&AF=CE=AE.

⑴说明四边形4CEF是平行四边形：

⑵当N8满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由.

第25题图

【答案】（1）证明：由题意知NFDC=NDCA=90°.J.EF//CA：.ZAEF=ZEAC

,：AF=CE=AE:.NF=NAEF=NEAC=NECA又；AE=E4

:.EF=CA,...四边形ACEF是平行四边形.

（2）当NB=30°时，四边形ACEF是菱形.

理由是：•.,NB=30°,ZACB=90°,：.AC=-AB,垂直平分BC,:.BE=CE

2

又,：AE=CE,：.CE=-AB,：.AC=CE,二四边形ACEF是菱形.

2

22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC中，点。是AC边上（端点除外）的一个动点，

过点。作直线MN//BC.设MN交.NBCA的平分线于点E,交NBCA的外角平分线于点F,连

接AE、AJ那么当点。运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

M,

（第题图）

24fZ_______

【答案】当点0运动到AC的中点（或OA=OC）时，

四边形AECF是矩形............2分

证明：YCE平分NBCA,二/1=/2,............3分

又；MN〃BC,/.Z1=Z3,

，N3=N2,.".EO=CO,............5分

同理，FO=CO............6分

.•.EO=FO

又OA=OC,；.四边形AECF是平行四边形...........7分

又•.•N1=N2,N4=N5,AZ1+Z5=Z2+Z4.............8分

XVZl+Z5+Z2+Z4=180°Z2+Z4=90°............9分

四边形AECF是矩形............10分

23、（2011湖北襄阳10分）如图9,点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A,8重合）,

连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90。得到线段PE,PE交边BC于点F,连接8E,

DF.

（1）求证：NADP=NEPB；

（2）求NCBE的度数；

（3）当任的值等「多少时，/XPFDs丛BFP2并说明理由.

AB

【答案】(1)证明：1•四边形ABCD是正方形

，NA=NP8C=90°,AB=AD,ZADP+ZAPD=900........1分

■:NDPE=90°：.ZAPD+ZEPB=90°

：.NADP=NEPB.................................................2分

(2)过点E作EG_LAB交AB的延长线于点G,则NEGP=NA=90°.....3分

又♦：NADP=NEPB,PD=PE,:.WAD沿AEGP

:.EG=AP,AD^AB=PG,：.AP=EG=BG.............................................................4分

.•.ZCBE=ZFBG=45"............................................................................................5分

(3)方法一：

当廿=1•时，APFEs4BFP.......................................................................................6分

AB2

,:NADP=NFPB,NA=NPBF,：.^ADP<^ABPF..............................................7分

设AD=A8=a,则AP=PB=L,：.BF=BP•-=-a................................8分

2AD4

/.PD=-JAD2+AP2=—a,PF=-JPB2+BF2=—a

24

.PBBF

••------------..............7力

PDPF5

又；NDPF=NP8F=90°,:.AADPsABFP.................................................10分

方法二：

假设△ADPs△BFP,则殁=处..................................................................6分

PDPF

,:NADP=NFPB,NA=NPBF,:.△ADPsgPF.....................................7分

.PBAP

・・------------=--------------，•・・・♦・•・・・・・•・・・♦♦・♦・♦•・♦・・•・♦♦・・・♦•・・・♦・•♦・♦・・♦•♦♦・•・・♦・♦♦・♦・♦・・♦・♦・♦•・♦・・♦•♦・•♦♦♦・•・・♦•・♦・♦・・♦・・・・♦

BFBF

Ap\

：.PB=AP,二当更时，APFEsABFP.10分

AB2

24.（2011湖南永州10分）探究问题：

⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足NEAF=45。,

连接EF,求证DE+BF=EF.

感悟解题方法，并完成下列填空：

将ZkADE绕点A顺时针旋转90,得到AARG,此时AB与AD重合，由旋转可得:

AB=AD,BG=DE,Z1=Z2,ZABG=ZD=90°,

ZABG+ZABF=90°+90°=180<,,

因此，点G,B,F在同一条直线上.

•/ZEAF=45°Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=90°-45°=45°.

VZ1=Z2,Nl+N3=45°.

即NGAF=N.

又AG=AE,AF=AF

.♦.△GAF丝.

=EF,故DE+BF=EF.

（第25题）①

⑵方法迁移：

如图②，将沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且

/EAF=1NDAB.试猜想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想.

2

⑶问题拓展:

如图③，在四边形ABCDW，AB=AD,E,F分别为DC,BC上的点，mZEAF=-ZDAB,

试猜想当NB与/D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想（不必说明理

由）.

(第25题)③

【答案】⑴EAF、AEAF,GF.

(2)DE+BF=EF,理由如下：

假设NBAD的度数为m，将4ADE绕点A顺时针旋转小。得到^ARG,此时AB与AD重合,

由旋转可得：

AB=AD,BG=DE,N1=.N2,ZABG=ZD=90",

ZABG+ZABF=90°+90°=18JOQ,

因此，点G,B,F在同一条直线上.

VZEAF=-m°：.Z2+Z3=ZBAD-ZEAF=--m°=-/n°

222

；/l=N2,/.1+3=—.

2

即NGAF=NEAF又AG=AE,AF=AF

/.△GAF^AEAF..\GF=EF,

又；GF=BG+BF=DE+BF；.DE+BF=EF.

⑶当NB与ND互补时，可使得DE+BF=EF.

25、（2007南充）如图，等腰梯形4?（力中，J5=15,AD=20,N<7=30°.点M、"同时以相

同速度分别从点从点。开始在/从4〃（包括端点）上运动.

（1）设汹的长为x,用x表示出点N到期的距离，并写出x的取值范围.

（2）当五边形比“制面积最小时，请判断△儿郴的形状.

解：（1）过点”作阴的垂线圾交朋的延长线于点P.............（1分）

由已知，AM^x,4V=20—x.

■:四边形相切是等腰梯形，AB//CD,Z27=ZO=30°,

:.NPAN=NA30°.

在RtZX/W中，PN=ANsinNPAN==（20——，