中考数学总复习-二次函数的综合应用

§3.5二次函数的综合应用

五年中考

考点1抛物线与线段长、面积、角度

1.（2021内蒙古包头,26,12分）如图,在平面直角坐标系中，抛物线片-*+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于

点4点是抛物线上一动点.

⑴如图1,当初>0,/7>0,且/7=3/77时，

①求点用的坐标；

②若点在该抛物线上，连接。仪是线段8例上一动点（点。与点例8不重合），过点。作

MO,交x轴于点。线段OD与欣7是否相等？请说明理由；

（2）如图2,该抛物线的对称轴交x轴于点长点£（%§在对称轴上，当。>2,帆0,且直线EM交x轴的负半轴于

点F时，过点/）作x轴的垂线,交直线EM于点N、G为y轴上一点，点G的坐标为（0,，连接GF.若

£74/V六=2幅求证:射线FE*'分KAFG.

E^\

CMS

图2

解析⑴①：点M6,"）在抛物线上，且

脐+4<77=3/77,解得/77i=O（舍去），在=1,

.♦•/7=3,.•."1,3）.（2分）

②。。=的.理由如下：

.•点［泽y）在该抛物线上,

设直线MB交x轴于点〃，解析式为片向x+个气*0),

(h+瓦=3,

J15..,15解得

i+b】=a，

3,15

.•片7户手

当y=0时,产5,.々5,0),；。力5.

过点用作用以x轴,垂足为R,

:.OR=y,MR=3,:.RH=^,

:.OH=MH,:.zHOM=zHMO.

:用|MO;，HOM=4HDC,/HM8ZHCD,

:.zHDC=zHCD,:.HD=HC,:.OD=MC.(7分)

⑵证明:；对称轴为直线A=--4T；=2,

NX(-l)

・••陪).

:EF+NF=2MF、"NF-MF=MF-EF、

:.MN=ME.

过点例作欣入x轴,垂足为Q,

.•.£《|恤|妙.••暮=瞿:。徒04

令-*+4A=0,解得XI=0,A2=4,."./4(4,0).

.附2,0),Qm,0)「.z7>2=4-。,

.,.6=3..”-32+4X3=3,=M3,3).

设直线EV的解析式为片改x+如良*0）,

俨+尻/解得七=|，

（3攵2+02=3,

b2=1.

2

：.y=-x+1.

设直线EM交y轴于点S,过点S作SMG6垂足为P.

当片o时，尸

当y=0时,户|,二.4-|,0）,「。4|,。母1.

•.G(0,y)..-.(9G=y,.-.<?S=y.

：zGPS=zGOF^90°tzPGS=zOGFf

.3GPS~GOF,:喘喘准二三

设G尸=12a,贝ijPS=5a.

在RUGPS中,GP+PS=G8,

..(12a)2+(5句2=(同2

解得a=g（负值舍去）.

:.PS=1,:.PS=OS.

•.SaiG£SQi/lE..射线FE平分/AFG.(12分)

注:各题的其他解法或证法可参照该评分标准给分.

2.（2021天津,25,10分）已知抛物线片a*-2aA+c（a,c为常数，分0）经过点顶点为D.

（1）当3=1时，求该抛物线的顶点坐标;

⑵当a>0时，点£(0,1+a),若唱2立。G求该抛物线的解析式；

⑶当a<-1时，点过点C作直线/平行于x轴,M。，。)是x轴上的动点,M力'3,-1)是直线/上的动点.

当a为何值时，尸帆£W的最小值为2VTU?并求此时点M/V的坐标.

解析⑴当a=1时，抛物线的解析式为片庐2对c.

,.抛物线经过点0[0,-1),

:.0-0+c=-1,解得c=-1.

二抛物线的解析式为片m-2*1.

•片第-2¥1=(*1)2-2,

..抛物线的顶点坐标为(1,-2).

⑵当3>0时，

由抛物线片a*-2ax+c经过点6(0,-1),可知c=-1.

二抛物线的解析式为片a*-2a*1.

二抛物线的对称轴为直线片1.

当A=1时，尸全1.

..抛物线的顶点。的坐标为

过点。作。GL_T轴于点G.

在吊△。£0中,。俳1,&?=1+a(-a1)=2>2,

:.DB=Da+E&=^+(2a+2y.

在R3OCG中,。0=1。合-1-(-a1)=a,

:QO=DG+CG=1+彳.

或。G即。子=8。。，

.•.1+(2A2)2=8(1+a2),解得&=今/=|.

二抛物线的解析式为片会或片|庐3*1.

⑶当a<-1时，

将点向左平移3个单位长度晌上平移1个单位长度得点0(-2,-a).

作点尸关于x轴的对称点尸;得点尸的坐标为(0,a1).

当满足条件的点例落在线段尸。上时，尸帆O/V最小，

此时,Z17!小。/V=尸。!=2VTU.

过点。作。以ry轴于点H.

在艮心F'D'H中，D'H=2,F'H=-a~Gl)=l-2a,

.•尸。2=尸以+。必=(i_2a)2+4.

又尸。2=40,即0-2a)2+4=4O.

解得a3="|,a4=；(舍).

.•.点尸的坐标为(0,[),点0的坐标为(々，3，

可得直线尸。的解析式为片-3年1.

当y=0时,A=1O.

7lO11

66

.•点例的坐标为(1,0),点AZ的坐标为仁,-1).

3.(2020新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线片a*+/?A+c的顶点是力(1,3),将

04绕点。顺时针旋转90°后得到08,点6恰好在抛物线上,08与抛物线的对称轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)户是线段4?上一动点，且不与点4c重合，过点尸作平行于x轴的直线，与AQ48的边分别交于例/V两点,

将例2以直线/VW为对称轴翻折，得到△力网.设点尸的纵坐标为m.

①当4/71W在内部时，求力的取值范围;

②是否存在点尸，使S7幅尸Js.aw?若存在，求出满足条件的）的值;若不存在,请说明理由.

O

解析（1）过点/作/ay轴，垂足为点2过点8作gX轴，垂足为点E.

则N。以=N0390；

由旋转的性质可得OA=OB,zAOB=90°,

:.zAOCh-zAOE=zBOE+zAOE=9C。、

./AOD=zBOE、

(zODA=zOEB,

在△ZOO和△8CE中,NAOO=zBOE,

[OA=OB,

.•.△/。雇8。且AAS),

:.OD=OE,AD=BE,

>

•二41,3),:.BE=AD=\1OD=OE=3i

.•点8的坐标为(3,-1),

:抛物线y=ax^+bx+c的顶点是-4(1,3),

二片**1)2+3,

把33,-1)代入，解得k-1,

.•产-(*1尸+3,

:.y=-xi+2x+2.

⑵①抛物线的对称轴为A=1,4(1,3),^1,m),根据翻折可知AP=A宁则41,2/77-3),

由凤3,-1)可求得直线08的解析式为尸2%贝c(l,q),

.,.*2力3<3,解得g</7?<3.

②存在.

由力(1,3)和耳3,-1)可求得直线04和的解析式分别为片3x和片-2心5.

情况一：当*/77<3时，如图所示.

政枭m)，M等,柠*=*=等.

.•6必”栉S以“舄•做\"后：•吟电(35=整二

/LO1Z

-S^oA'^S^oA,c}-S^BA,cF^A,C-Xci-^A,C-(x&-Xc)=^A,C3=^(2m-^-3=3f7T-4.

.：S，A.M启"。AB

.5(3-m)2=5(3m-4)

一~126~，

.•./77产6+旧(舍去),牝二6・旧,

/./77=6-V19.

情况二:当0工/77<券寸，如图所示.

2

由情况一得s：芳粤L

:41,・J,.,.4C^g-2Z77,

•-S^OA'B=S^OA'c^SaBA'C^A'C^3=^XQ-2m)x3=4-3/77.

-S^A'MN^S^OA'B.

o

.5(3-m)2_5(4-3m)

*,-126-，

：./7^+1=0,无解.

情况三:当［</7?<0时，如图所示.

：S、A，M后S.AM*例AM胃•警•（3切=（5+57）（3叫

由情况二得$04,4-3/77,

.(54-5m)(3-m)_5(4-3m)

S-A"0.0A，B,.・46-

6+病/仝土、6-^9

..川产一^―（舍去），利二三一।

・i-历

../77——

综上所述的值是6-g或等.

解后反思本题考查了二次函数、旋转与翻折变换，综合性较强，计算能力要求较高.在分析、解决问题时，要

注意挖掘已知条件，充分利用图形变换的性质解题.（2）的②中涉及分类讨论，在处理用含力的代数式表示点坐

标、线段长度和三角形面积时要细心.

4.（2020山西,23,13分）如图,抛物线尸与x轴交于48两点（点力在点8的左侧），与y轴交于点C.直

线/与抛物线交于4。两点，与y轴交于点£点。的坐标为（4,-3）.

⑴请亶掾写出48两点的坐标及直线/的函数表达式；

(2)若点尸是抛物线上的点，点尸的横坐标为双欣0),过点尸作尸牝x轴,垂足为例尸例与直线/交于点儿当

点2是线段尸例的三等分点时，求点尸的坐标；

⑶若点Q是y轴上的点,且〃。Q=45；求点。的坐标.

解析⑴4-2,0)百6,0),直线/的函数表达式为尸(3分)

详解:令%2*3=0,得庐4*12=0,

，(*6)(x+2)=0,，Xi=-2,兹=6.

/.A-2.0),5(6,0).

设直线/的函数表达式为片质W枚0),把4-2,0),以4,-3)代入得｛消;/二;解得｛：=；，

.•.直线/的函数表达式为片■*!.

(2)如图,根据题意可知，点尸与点/V的坐标分别为

ni^-ni-31=--/772+/77^3,—zn-11=—.NP^^-—7n^-7n-3^=~/T^+—Z77+2.

分两种情况：

①当尸/必=3/VW时彳导―册+办3=3（；m+1）.（4分）

解得/771=0,顷=-2(舍去).

当/77=0时[加-Z7>3=-3.

，点尸的坐标为(0,-3).(5分)

②当尸/W=3/V尸时彳导一旅+初3=3([m2+々6+2).3分)

解得/771=3,佗=-2(舍去).

当m=3时

44

二.点尸的坐标为(3,耳).

..当点/V是线段尸例的三等分点时，点尸的坐标为(0,-3)或(3,4).(7分)

(3)•.直线尸川与y轴交于点E,

二点£的坐标为(0,-1).

分两种情况:①如图，当点。在y轴正半轴上时，记为点Qi.

过点Q作直线/,垂足为〃则N的g/力。m90：

■.zQEH=zAEO,：AQIH『AOE.

.•号皆照即早当」.Q力2H£(8分)

AUUEL1

又；zQ、DH=45°RHD=90;

:.zHQ、l>，Q\DH=45°.

:.DH=QyH=2HE.:.HE=ED.(9分)

连接CR:点。的坐标为(0,-3),点。的坐标为(4,-3),

..CDJJZ轴二£D=，EC2+CD2=1[-1-(-3)]2+42=2V5.

2222

：.HE=2yf5,Oi+4后二。1E=y/HE+QrH=J(2V5)+(4>/5)=10.

.QQi=Q6Oei0-1=9,二.点Q的坐标为(0,9).(10分)

②如图，当点。在y轴负半轴上时，记为点02.

过点Q作Q2直线/,垂足为G.^\ZQ2GE=ZAOE=90°,

Ji

:应E3cAEO、:.gGEfAOE.

.•第=弟即竽斗」.QG=2EG（11分）

又zQ。合45。，/ChGD=90°,

:.zDQG=qDG=45°.

:.DG=QzG=2EG.:.ED=E&-DG=3EG.（12分）

由①可知,£。=2近:3日笑2花..£。=竽.

；.QG*.£Q力EG?+Q2G2=J（竽『+（竿）=y.

..OQ=gfQ=1+学考.

..点Q的坐标为（0,-孩）.

二点Q的坐标为。9）或（0,—）.（13分）

方法总结与二次函数有关的解答题中涉及线段长度或最值问题时一般采用坐标法，就是以坐标系为桥梁,

通过坐标把线段转化成代数问题，通过代数运算解决问题，同时注意分类讨论思想的应用.

难点突破本题第（3）问注意分类讨论.当点。在y轴正半轴上时，记作Qi,作直线/于〃构造△Qi心△

当点。在y轴负半轴上时，记作Q,作QGi直线/于G,构造然后根据相似比和勾股定

理进行解答.

考点2抛物线与特殊三角形、特殊四边形

1.（2021山西,23,13分）综合与探究

如图,抛物线尸，+2*6与x轴交于两点（点A在点6的左侧），与y轴交于点C连接AC.BC.

(1)求48,C三点的坐标并直接写出直线4GBe的函数表达式;

(2)点尸是直线力。下方抛物线上的一个动点，过点尸作8c的平行线/交线段于点D.

①试探究:在直线/上是否存在点£使得以点为顶点的四边形为菱形，若存在,求出点£的坐标;若不

存在,请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点例与直线ZC交于点N.当SQ/AFSZOC时，请直接写出。例的长.

解析⑴当片。时,#+2¥6=0,解得必=-6,及=2.

•.点Z在点8的左侧，

.•点4的坐标为(-6,0),(1分)

点8的坐标为(2,0).(2分)

当A=0时，尸-6,.•.点。的坐标为(0,-6).(3分)

直线/4C的函数表达式为片-*6.(4分)

直线8C的函数表达式为片3*6.(5分)

⑵①存在.设点。的坐标为(加,-/7>6),其中-6<必0.(6分)

•.点8,点C的坐标分别为(2,0),(0,-6),

222222222

.•.5Z3>=(/7?-2)+(/77i-6),SC=2+6=40>Z?C=/77+/77=2/7^.

:DE^BC,

,当8c时，以2c8,£为顶点的四边形是平行四边形.

如图1,当868C时BOEC是菱形.

.•.（92）2+（办6）2=40.（7分）

解得/77I=-4,g=0（舍去）,

，点。的坐标为（-4,-2）.

.•.点£的坐标为（-6,-8）.（8分）

如图2,当C0=C8时,是菱形二2方=40.（9分）

解得/771=2/5,佗=2百（舍去）.

，点。的坐标为（-2遍,2遍-6）.

，点£的坐标为（2-2遥,2遥）.（10分）

综上所述,存在点£使得以。,8。石为顶点的四边形为菱形，且点£的坐标为（-6,-8）或（2-2遍,2遍）.

②3m.（13分）

详解:由题意知，抛物线的对称轴为直线A=-2.

设直线。射的解析式为y=3x+k,

当x=-2时，片-不6=-4,.,.点/V的坐标为（-2,-4）,

当A=-2时，%3x+A=-6+Q.点例的坐标为(-2,-6+向，

当点。在点AZ下方时,-6<上2,

令“6=3x+匕解得产竽，即点。的横坐标为竽，

点°到直线4W的距离为受(-2)=等4，

..例2=-4-(-6+向=2-匕

;50“桁2*(2-4).(-号+gASa/ioc^xGxG,

化简得(2/2=144,解得任-10(舍)或任14(舍)，

当点。在点/V上方时,2<%<18,点。到直线例/V的距离为-2/==+4例/3-6+卜(-4)=卜2,

.ISOMAFT(k2>(-g+IASA/IOC^XGXG,

化简得(卜2)2=144,解得依-10(舍)或A=14,

，点。的坐标为(-5,-1),点例的坐标为(-2,8),

:.DM=>/32+92=3V10.

解后反思与二次函数有关的解答题中涉及线段长度时(本题第(3)问)一般采用坐标法，就是以坐标系为桥梁,

通过坐标把线段转化成代数问题，通过代数运算解决问题，同时注意分类讨论思想的应用.

2.(2021重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中，抛物线片*经过点4。，-1)，筑4,1).直线48交

x轴于点C,户是直线力8下方抛物线上的一个动点.过点尸作尸。”8,垂足为，尸&x轴，交48于点E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△尸庄的周长取得最大值时，求点尸的坐标和△尸。£周长的最大值；

(3)把抛物线片/+加什c平移，使得新抛物线的顶点为(2)中求得的点尸.例是新抛物线上一点,/V是新抛物线对

称轴上一点，直接写出所有使得以点48,例/V为顶点的四边形是平行四边形的点例的坐标，并把求其中一个

点例的坐标的过程写出来.

解析(1),.抛物线**+6心。经过点力(0,・1),点

8(4,1),

弋二小』解叱

..该抛物线的函数表达式为片*$g.(2分)

(2)耶,-1),8(41)，

..直线48的函数表达式为尸*1.

.•.0(2,0).

设"tZ-gt-i),其中0<M.

•.点£在直线片*1上，阳x轴，

-71,t^--t-l\

:.PE=-2f+8t=-2(t-2y+8.

.PDLAB,

aPD—AOC.

:AO=tOC=2,

：.AC=\TS.

..“OC的周长为3+V5.

令△尸。打的周长为/,则解=翌.

IPE

.•./=^|i^-[-2(A2)2+8]=-^y^(A2)2+^+8.

.•.当(=2时，△尸的周长取得最大值，最大值为竿+8.

此时点少的坐标为(2,-4).(6分)

⑶如图所示，满足条件的点例的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为六宠-4x,对称轴为直线A=2.

①若48是平行四边形的对角线，

当例V与48互相平分时,四边形4A坦用是平行四边形，

即做V经过的中点Q2.0).

•.点A/的横坐标为2,

二点〃的横坐标为2,

二点用的坐标为(2,-4).

②若48是平行四边形的边，

i.当MN\48时,四边形/8/V例是平行四边形.

，口4,1),点/V的横坐标为2,

二点例的横坐标为2-4=2

，点例的坐标为(-2,12).

ii.当NM48时,四边形例/V是平行四边形.

,.71(0,-1),筑4,1),点/V的横坐标为2,

二点例的横坐标为2+4=6.

点例的坐标为(6,12).(10分)

3.(2021四川南充,25,12分)如图，已知抛物线片a*+，x+4(K0)与x轴交于点力(1,0)和8,与y轴交于点C,

对称轴为直线片|.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点尸是线段8c上的一个动点(不与点8,C重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点Q连接

OQ当线段尸。长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，。是0c的中点，过点。的直线与抛物线交于点E且.在y轴上是否

存在点E使得守为等腰三角形？若存在，求点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

0^

图1

//1B

0^

图2

a+b+4=0,

解析(1)根据题意，得_b__5（2分）

~2a-2）

解得a=1,d=-5,.,.抛物线的解析式为片*-5/4.（3分）

(2)四边形OCPQ是平行四边形.理由如下:

易知筑4,0),Q0,4);直线8c的解析式为片-x+4.(4分)

•.点尸在线段8c上；设什4)(0<K4),

又尸Q"轴,..QW-5什4）（0<£4）.（5分）

.•.尸0=（-什4）-俨-5-4）=¥+4+-（62）2+4.

当*2时,线段尸。最长，为4.(6分)

,.。(>4,..。0尸。..01尸。,，四边形OCPQ是平行四边形.(7分)

(3)在y轴上存在点£使得&■为等腰三角形.理由如下：

.00,4),。是。。的中点;以0,2).

由(2)知Q2,-2)日2,2),

:PQ^OC,:.zODQ=zPQD.

：zDQE=2nODQ=2zPQD,:.zPQD=/PQE.

二点0(0,2)关于PQ的对称点为M4,2).(8分)

直线Q£过点M4,2)和Q2,-2),二.直线QE的解析式为片2*6.

•.点£是直线Q£与抛物线片*-5x+4的交点，

:.且5,4).(9分)

假设存在p轴上的点80,/77),使尸为等腰三角形.

①若BF=EF^8#=£尸,则42+芯=52+(4切2,解得。=失.《0年).(10分)

②若8/三即8/=8日,则42+方=(5-4/+42,解得*±1,;.&0,1)或80,-1).(11分)

③若后三即ER=BB,

则52+(4-/77)2=(54)2+42,

化简得方-8办24=0/=-32<0.

二方程无解,因此在y轴上不存在点E使EF=BE.

综上所述，在y轴上存在点£使得为等腰三角形.点尸的坐标为(0,•或(0,1)或(0,-1).(12分)

思路分析⑴根据点”在抛物线上及对称轴方程可求a,々(2)由抛物线方程可求点8和点C的坐标，由待定

系数法可求直线8c的解析式，从而可设尸点坐标,再根据尸Q"轴彳导到。点坐标，可得尸Q的长与，的关系，

由此确定尸Q长度的最大值，进一步即可判断;(3)首先根据(2)及尸QQC与推出/尸。。=/尸。£

从而求出点。关于尸。的对称点例的坐标，再求£点坐标然后分三种情况:①上斤；②8房8£③曰三8£分

别求解.

难点突破第(3)问的突破口是求出£点坐标，则需求出E点所在的直线解析式，策略是根据尸QQC与工

。。昆2/ODQ推出/尸。。=/尸。二说明点。关于尸。的对称点用在QE上，这样由点Q、例的坐标即可求出

直线QE的解析式，而点£是直线QE与抛物线的交点石点坐标可求.

4.(2020湖北武汉,24,12分)将抛物线C尸(*2)2向下平移6个单位长度得到抛物线G,再将抛物线G向左

平移2个单位长度得到抛物线G.

(1)直接写出抛物线S,Q的解析式；

(2)如图1,点Z在抛物线G(对称轴/右侧)上，点8在对称轴/上是以08为斜边的等腰直角三角形,

求点力的坐标；

(3)如图2,直线片例依0,4■为常数)与抛物线C交于E尸两点〃为线段守的中点;直线尸qx与抛物线G

交于G,〃两点,A/为线段GH的中点.求证:直线*经过一个定点.

解析⑴抛物线G：片住2)2-6,抛物线G：广*6

⑵如图1,设点则n=m^-4m-2.

当点/在x轴上方时,

过点力作力RLX轴，过点8作8Q148垂足分别为P、Q.

“048是以08为斜边的等腰直角三角形，

:.^ABQ^^OAP.:.BQ=AP=n,AQ=OP=m,:.m=m2.

联立1：二熬篇解需:/或仁：’(不合题意，舍却

.乂(5,3).

如图，当点4在x轴下方时，同理求得/4(4,-2).

综上，点A的坐标是(5,3)或(4,-2).

⑶证明:由仁义消去乂

得*・4*6=0,

:.xjx产k.

••①为线段E厂的中点，

将切力沿EF方向平移与MF重合,

1,,Xk

..XM-xe=x^xM,：.xnF-(x^-XF)=-.

，点用的坐标是由分

同理得点/V的坐标是(卡,却

/k

万=2-

82

设例AZ的解析式为片ax+b,则《b

_=-Q+

必k

(Y-4

解得°=工，

5=2.

二例/V的解析式为广空x+2.

，当齐0,4为任意不等于0的实数时，总有片2,即直线屈/V过定点(0,2).

思路分析(1)根据平移的规律可求G,Q的解析式.(2)先设4加,〃),再分两种情况:①点力在x轴上方时，过点

/作/尸LX轴，过点8作8QL4尸，垂足分别为8Q,先利用是等腰直角三角形证明“86人。4月,由此推

出m=n+2,与/7=mM/7>2联立，解出力,〃,即得/点坐标;②点/在x轴下方时，同①可求出另一个力点坐标.(3)

根据直线片例枚0,4为常数)与抛物线Q交于£尸两点，联立两个解析式得到关于x的一元二次方程，根据

根与系数的关系求出点例的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点/V的坐标，再用待定系数法求出直线做V的

解析式，从而证明直线过定点即可.

解题关键抓住△048是等腰直角三角形证明”!86人04户，并由此推出勿、〃之间的关系是求出点力的关

键.

易错警示只考虑点/在x轴的上方而忽略点A在x轴的下方这种情况是解答本题易犯的错误.

考点3抛物线与全等三角形、相似三角形

1.(2021湖北黄冈,24,12分)已知抛物线y=a^+bx-3与x轴相交于41。)，仇3,0)两点，与y轴交于点G点

M〃Q)是x轴上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若k3,过点AZ作x轴的垂线交抛物线于点尸,交直线8c于点G,过点尸作尸a8c于点。，当〃为

何值时，△尸。叵

(3)如图2,将直线8c绕点8顺时针旋转，使它恰好经过线段。。的中点，然后将它向上平移|个单位长度彳导到

直线OBi.

①tan/808k;

②当点/V关于直线OBy的对称点N、落在抛物线上时，求点/V的坐标.

解析⑴•.抛物线y=ax^+bx-3与x轴相交于力(10),用3,0)两点,

(a-b-3-0,解得强=1,

"l9a+3b-3=0,lb=-2.

..抛物线的解析式为尸*-2*3.

(2)由口0,-3),33,0,得OB=003,511]zOBC=zOCB=45°,

..△8/VG与△尸。G都是等腰直角三角形.

筑3,0),

:.NB=3-n=NG,BG=V2(3-n).

:^PD^BNG,:.PG=BG=y[2^-n),

.32=3-/74•迎(3-〃).

:点尸在抛物线上二坐标为(〃,必2/>3),

:.3-n+'/2(3-h)=-n^+2m3,

解得后3(舍去)或n=V2.

，当n=也吐“PD*BNG.

（3）①设0c的中点为S,易知5（0,-|）,连接BS.

将直线8s向上平移|个单位长度彳导到直线OBi,

"BOB-OBS.

3

/.tanz808产tannOBS=^=^=^.

OB32

故答案为今

②连接/VM,设直线NNi交直线OB,于点H.

•.点，和点Ni关于直线OB.对称,

：/OHN=90°,NH=NiH.

过点〃作“Alx轴,垂足为K眦&KO4KHN,

:ianzBOB^=tanzKOH=tanzKHN=-.

设止勿,则HK=2m,OK=^m.

当点，在点。右侧时,

OK+KN=4"汁/77=",解彳导/77=/

.•点”的坐标为偿片）

一.点/V的坐标为（〃,0）,.•.点M的坐标为（段,?）.

将点Ni的坐标代入抛物线解析式得传;2.营3专,整理得9户50尸75=0,

由I日25+10713-^_25-10g/仝土、

解得n=——-——或77=---（舍去）.

当点2在点。左侧时，同理可求得后智纪

...点A/的坐标为（殁组0）或（生等,o）.

一题多解设直线OBy的解析式为尸例依0）,代入点B的坐标（3,|）得仁宏•.直线。8的解析式为片父.

.7\//\/仕。8".设直线A/M的解析式为y=-2x+s.

将乂/7,0）代入片-2x+s得5=2/7,即直线NNi的解析式为y=-2x+2n.

令-2x+2/7=gx,解得片£二.六荻=£,.,.点”的坐标为（冷片）.

•.点/V的坐标为（/7,0）,.•.点Ni的坐标为偿事）.

2

将点M的坐标代入抛物线解析式得偿）-2毛-3岑,整理得9^-50/7-75=0,

解得方双磐或万安里.

..点A/的坐标为（殁空0）或（出当,o）.

2.（2021陕西,25,8分）已知抛物线y=-x^+2x+8与x轴交于点4筑点力在点6左侧），与y轴交于点C.

（1）求点8、。的坐标；

（2）设点C与点C关于该抛物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点只使△尸CC与△尸08相似，且PC与PO

是对应边？若存在，求点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

解析⑴令片。则-*+2卢8=0,

:.用=-2,及=4,

.-.5（4,0）.（2分）

令片0,则片8;。0,8）.（3分）

（2）存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线片1.

:点。与点C关于直线片1对称,.C（2,8）,CCM2,CC||OA

•.点尸在y轴上二/尸CCL尸出90°,

•・当言=嘉时，△尸尸08（4分）

设仅0,力,

i）当先8时WW，.•片16.

.-.^0,16）.（6分）

ii）当0＜六8时?=：，；.%竽

.X°'T）-（7分）

iii）当六。时,CQOR与意弓矛盾，

，点户不存在.

..存在点尸，且尸点坐标为（0,16）或（0与.（8分）

3.（2020陕西,24,10分）如图,抛物线片解+bx+c经过点（3,12）和（-2,-3）,与两坐标轴的交点分别为4£G它的

对称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）尸是该抛物线上的点，过点尸作/的垂线,垂足为D,E是/上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与A/OC

全等，求满足条件的点尸，点E的坐标.

解析⑴由题意图:解之得《二

.•/*+2*3.（3分）

⑵由⑴可得,对称轴/为直线A=-1.

令片0,则*+2*3=0,解之彳导%1=-3,

^2=1.

,4-3,0),筑1,0).

令片0,贝|Jy=-3.:.C[0,-3).:.OA=OC=3.(6分)

：zPDE=zAOC=QQ:

.•.当PD=DE=3时，△尸£沱与A/IOC全等.

设Rm,力,当点、尸在/右侧时0(-1)=3.

.­./77=2..-./7=22+2X2-3=5..-./^2,5).

..旦-1,2)或且-1,8).(9分)

当点尸在/左侧时，由抛物线的对称性可知,夕-4,5)也满足条件.

相应的点£的坐标同上.

,满足条件的点尸，点E的坐标为何2,5)或H-4,5)，T12)或£(-1,8).(10分)

疑难突破(1)求抛物线的表达式，可利用待定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知△力OC为直角三角

形,通过计算得知04=003,因此A/OC为等腰直角三角形，所以以尸、D、E为顶点的三角形与A/OC全等,

即PD=DE=3时满足条件,所以对尸点位置进行分类讨论(点尸在/右侧和左侧),可以结合抛物线的对称性进

行说明.

4.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐标系X。中，已知抛物线片ax2+b/c与x轴交于/(-1,0),筑4,0)

两点，与y轴交于点。0,-2).

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点。为第四象限抛物线上一点，连接ZR8C交于点£连接8。,记的面积为SI,A/18E的面积

为求3的最大值；

(3)如图2,连接4G8G过点。作直线48G点尸,。分别为直线/和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存

在这样的点尸,Q使AQQ8-AC18若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

解析

.•抛物线的函数表达式为月庐|*2.

解法二:M(-1,0),凤4,0)在抛物线上,

b-1+43.,o

2a22

,.。0,-2)在抛物线上二.广-2,「.片日*-3，*2,

将(-1,0)代入片方*-3分2得^=2,

..抛物线的函数表达式为片发吟心

(2)过点8作4。边上的高8〃过点。作。ax轴于点G,

交8c于点£过点A作4ax轴，交8c的延长线于点K,

S1_^DEBH_DE_DF

S^AEBHaeak

•.•5(4,0),6(0,-2),

・•・直线6c的表达式为^x-2,

当A=-1时，*~|,.二/4七|.

设£^m,1m2-|m-2^（0</77<4）,

:.DF=^m^+2m,

2/+2机

.£1=5二./+金〃7=3（/7>2）2+&

3一2

,.0</77<4,

.•.当777=2时,各取最大值:

5

(3)存在.

由⑵可得直线/的表达式为尸如设^m,y)(m>0).

①当点尸在直线8Q右侧时，如图，过尸作耽LX轴，过。作QMLNP交A/尸的延长线于M,

则nQMP=nPNB=g。:易知nQPB=zA密90°,

QPM^/MQP=90:/QPM^nBPN=90°,

;.ZMQP=ZNPB,：AQPM-xPBN、

.QP=MP_QM

…丽一而一而

"PQB~力8,堪噜=*；,

BPBC2V52

:.MP=^BN=^m-2,MQ=^NP^,

将。的坐标代入片权22欠2中相/77=y（/77=O舍去）,

②当点尸在直线8Q左侧时，由①的方法同理可得0（|m,2）,

此时千*，手）

综上，在第一象限存在符合条件的点RQ所有符合条件的点尸的坐标为（竽，等）,（竺等，手）.

考点4二次函数在实际生活（生产）中的应用

1.（2020山西,9,3分）竖直上抛物体离地面的高度A（m）与运动时间《s）之间的关系可以近似地用公式

/P-5A+4件为表示，其中"（m）是物体抛出时离地面的高度,％（m/s）是物体抛出时的速度.某人将一个小球从

距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）

A.23.5mB.22.5mC.21.5mD.20.5m

答案C由已知可得4=20m/s,为=1.5m,则/T=-5"20什1.5（介0）星图象的对称轴方程为-7^=2,图象

2X（-5）

开口向下,.•.当t=2时,力最大，为-5x22+20x2+1.5=21.5,故选C.

2.（2020辽宁营口,24,12分）某超市销售一款‘免洗洗手液"，这款'免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单

价定为20元时，每天可售出80瓶.根据市场行情，现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元，则每

天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为A（元），每天的销售量为乂瓶）.

（1）求每天的销售量乂瓶）与销售单价M元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元？

解析⑴片80+20、鬻，（3分）

.•产-40x+880（危16）.（4分）

（2）设每天的销售利润为加元，（5分）

”（-40*+880）（*16）（7分）

=-40（^19）2+360.（8分）

,.,年-40<0,.1二次函数图象开口向下,

有最大值.（10分）

:.A=19时,%最大，此时w最大值=360.（11分）

答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大，最大利润为360元.（12分）

易错警示在解决第（2）问时,要检验x的取值是否在取值范围内，如果不在，要结合函数的增减性进行判断.

3.（2020内蒙古呼和浩特,24,12分）已知某厂以7小时汗克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.KW1）,

且每小时可获得利润60（-3t+|+1）元.

（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现M时，片180,所以得出结论:每小时获得的利润最少是180元.他

是依据什么得出该结论的？用你所学数学知识帮他进行分析说明；

（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克？

（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问:该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.

解析（1）依据一次函数和反比例函数的性质得出结论.

由已知得尸60卜31+,+1）,当Q时，尸180,

•.当0.1<^1时,,随/的增大而减小,-3/也随f的增大而减小，

，3注1的值随/的增大而减小，

二片60（-3t+：+1）随/的增大而减小，

，当M时/有最小值，为180,

.•他的结论正确.

⑵由题意可得6093t+,+l）x2=1800,

整理得-3814什5=0,

解得《或£-5（舍），

经检验,是原方程的解且符合题意.

故该厂以耳、时汗克的速度匀速生产产品，

则1天(按8小时计算)可生产该产品80=24千克.

⑶由题意知生产680千克该产品，需要680f小时,设生产680千克该产品获得的利润为“元，则

“680F60(-3t+；+1),

整理得“40800(-3/+"5),

当£时，〃取最大值，为207400.

6

故该厂应该选取1小时汗克的生产速度，最大利润为207400元.

4.(2021广西北部湾经济区,24,10分)2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热情，如图

是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点力作水平线的垂线为y轴，建

立平面直角坐标系,图中的抛物线G：尸《*+1+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点。正上

方4米处的/I点滑出，滑出后沿一段抛物线Q:片O运动.

(1)当运动员运动到离力处的水平距寓为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线Q的函数解析式(不要求写

出自变量x的取值范围)；

(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距寓为1米？

(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求。的取值范围.

解析⑴由题可知抛物线0:片4*+斯+6过点(0,4)和(4,8),将两点坐标代入Q中，解得广4,/>4

oZ

抛物线的解析式为片=*+3+4.

oZ

(2)设运动员运动的水平距离为777米时，与小山坡的竖直距离为1米.

依题意得,［加办4-(。/+；+1)=1,

oL\1ZO7n/

.,.(/7>12)(/7^4)=0,

解得利=12,佗=-4（舍），

..运动员运动的水平距离为12米时，与小山坡的竖直距离为1米.

⑶由G：尸拉+法1得，片（（*7）2埸

二.小山坡坡顶坐标为（7用.

将（0,4）代入Q得,c=4,则Q:尸J/+bx+4,

将x=7代入C得，片冬72+794,则y=-^-+7b,

2OO

依题意得,卷+7婢＞3,

o1Z

.245.35

门6五；6大

三年模拟

A组基础题组

解答题（共50分）

1.（2021辽宁本溪二模,23）某种商品的进价为40元/牛，以获利不低于25%的价格销售时，商品销售价乂元胜）

与销售数量4件）（x是正整数）之间的关系如表：

M件）5101520

火元件）75706560

（1）由题意知商品的最低销售价是元.当销售价不低于最低销售价时/是x的一次函数，求出y与x

的函数关系式及x的取值范围；

（2）在（1）的条件下,当销售价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？

解析⑴40（1+25%）=50,

设y=kx+b,k^G,

根据题意得说二器

解得4=1/80,

:.y=-x+80,

根据题意得俨）幺、5且x为正整数,

"X十oUNJU,

，030,x为正整数，

..片-x+80(0</30,且x为正整数)，

故答案为50.

(2)设所获利润为尸元，根据题意得

丹俨40>>(=(-*+80_40)%=-(*20)2+400,

即尸是关于x的二次函数，

,.a=-1<0,

..尸有最大值，

,当x=20时尸最大值=400,此时片60,

..当销售价为60元阴时，所获利润最大，最大利润为400元.

2.(2021上海浦东二模,24)已知抛物线片a*+Ox+c的对称轴与x轴的交点为M30),抛物线上三点AB、

。到点例的距离都为5,其中点力、8在x轴上(点4在点6的左侧)，点C在y轴正半轴上，抛物线的顶点为

点尸.

(1)求点力、B、。的坐标；

(2)求这条抛物线的表达式及顶点坐标；

(3)点。是抛物线对称轴上一点,当以点Q为圆心,Q4为半径的圆与线段4尸有两个交点时，求点。的纵坐标

的取值范围.

，1

_________'jif___________

0x

解析⑴•.点48在x轴上(点力在点8的左侧),且到点攸-3,0)的距离为5,

..点4的坐标为(-8,0),点8的坐标为(2,0),

:点C在y轴上，，设点C的坐标为(0,力.

由点。到点侦-3,0)距离为5,可得产仔=5,解得片±4.

又•.点。在jz轴正半轴上二点。的坐标为(0,4).

(2)•.抛物线片a*+bx+c经过点4-8,0)、仅2,0)、6(0,4).

64a-8b+c=0,(a=4'

4a+2b+c=0,解得=2

c=4,I2,

\c=4,

抛物线的表达式是尸一庐次+4,

当长城=3时，尸学

通物线的顶点尸的坐标为13年).

(3)由题画图如下，过点A作力。1»尸与抛物线的对称轴相交于点

此时以Q为圆心,为半径的圆与线段4尸相切于点A

易知。/M4pl■NM4Q=90。.

」MP—MAQi.

.二tann例%=tannAMQ.

^:AM=5,PM=^-,

..Q%4,即点Q坐标为(-3,-4).

作4尸的垂直平分线，与才尸相交于点，与对称轴片-3相交于点Q,则P吟PA.

此时以Q为圆心,QZ为半径的圆经过点4点尸.

■:AQdAP,NgLAP,

:.应AP=/QNP=90°.

./QII/VQ.

.PQZ_PN=I

-PQJPAT

.•点尸的坐标为93,多，点。1的坐标为(-3,-4),

.•月。哼./Q榨.

勺O

2s419

488

即点Q坐标为(-3*),

..当以点。为圆心,Q4为半径的圆与线段A尸有两个交点时，点。纵坐标取值范围是

O

3.