中考数学压轴题训练 -二次函数六

备考2023年中考数学压轴题训练—二次函数（6）

一、真题

1.如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,B两点，点A在x轴上，点B在y轴

上，点C（3,0）在抛物线上.

（1）求该抛物线的表达式.

（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴

上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标.

（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将4PQD沿PQ所在的

直线翻折得到△PQD,连接CD，，求线段CD长度的最小值.

（2）如图2,作抛物线F2,使它与抛物线Fi关于原点。成中心对称，请直接写出抛物线尸2的解析

式；

（3）如图3,将（2）中抛物线展向上平移2个单位，得到抛物线尸3,抛物线尸1与抛物线角相交

于C,。两点（点C在点。的左侧）.

①求点C和点。的坐标；

②若点M,N分别为抛物线力和抛物线F3上C,。之间的动点(点M,N与点C,。不重合)，试求

四边形CMDN面积的最大值.

3.阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦・韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可

表述为“当判别式0时，关于x的一元二次方程ax?+/?%+c=0(a。0)的两个根勺、％2有如下关

系：/+牝=一幺打右=今.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0).

Qa

E；F

(1)若a=l,b=3,且该二次函数的图象过点(1,1),求c的值；

(2)如图所示，在平面直角坐标系。孙中，该二次函数的图象与％轴相交于不同的两点

4(久1，0)、BQ2，0).其中/<0<小、1/1>K2I，且该二次函数的图象的顶点在矩形4BFE的边

EF上，其对称轴与支轴、BE分别交于点M、N,BE与y轴相交于点P,且满足tan乙4BE=1

①求关于X的一元二次方程以2+.+c=0的根的判别式的值；

②若NP=2BP,令7=壶+学c,求T的最小值.

4.若关于x的函数y,当t—+；时，函数y的最大值为M,最小值为N,令函数h=

写纥我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”.

(1)①若函数y=4044%,当t=l时，求函数y的“共同体函数”h的值；

②若函数丁=依+8(kHO,k,b为常数)，求函数y的“共同体函数”h的解析式；

(2)若函数y=&(x>l),求函数y的“共同体函数“h的最大值；

(3)若函数y=-/+4x+k,是否存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函

数”h的最小值.若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

5.

纠错内容：1.(3)“噂魁逋中两种情况都是“当BC为平行四边形对角缭r;(3)/J邀的解题0程应该配上图形；(2)“题的解客旧了很多必要的步骤

如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点

C,顶点为点D.在线段CB上方的抛物线上有一动点P,过点P作PELBC于点E,作PF||AB交BC

于点F.

图一备用图

(1)求抛物线和直线BC的函数表达式，

(2)当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和APEF的周长.

(3)若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、

G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

6.已知抛物线y=x2+bx+c.

图①图②

(1)如图①，若抛物线图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交点B(0,-3),连接AB.

(I)求该抛物线所表示的二次函数表达式；

(II)若点P是抛物线上一动点(与点A不重合)，过点P作PH_Lx轴于点H,与线段AB交于

点M,是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请

说明理由.

(2)如图②，直线y=gx+n与y轴交于点C,同时与抛物线y=x2+bx+c交于点D(-3,0),

以线段CD为边作菱形CDFE,使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b

的取值范围.

7.已知关于x的函数y=a/+bx+c.

(1)若a=l,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,1),求该函数的表达式和最小值；

(2)若a=1,b=—2,c=m+l时，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围.

(3)阅读下面材料：

设a>0,函数图象与％轴有两个不同的交点A,B,若4B两点均在原点左侧，探究系数a,b,c

应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：

①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以4=b2-4ac>0；

②因为4,8两点在原点左侧，所以4=0对应图象上的点在x轴上方，即c〉0；

③上述两个条件还不能确保4B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一

步限制抛物线的位置：即需一夕<0.

2a

'a>0

4=廿一4ac>0

综上所述，系数a,b,c应满足的条件可归纳为：oo

-上•<0

I2a

请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：

若函数y=a%2-2x+3的图象在直线x=1的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.

8.如图，抛物线y=4%2一2%-6与4轴相交于点4、点B,与y轴相交于点C.

(1)请直接写出点4B,C的坐标;

(2)点P(m,几)(0<m<6)在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出^PBC面积

的最大值.

(3)点F是抛物线上的动点，作FE/A4c交％轴于点E,是否存在点F,使得以4、C、E、尸为顶点

的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

9.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点4(-1,0),8(3,0)，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的表达式;

(2)如图1,将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN.点D是直线MN上任意一点.

①当点D在抛物线的对称轴1上时，连接CD,关x轴相交于点E,求线段OE的长；

②如图2,在抛物线的对称轴1上是否存在点F,使得以B,C,D,F为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由.

10.定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙

线"，如图①，抛物线Ci：y=x?+2x-3与抛物线C2：y=ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”,

抛物线Ci和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(-3,0)、B(点B在点A右侧)，与y轴的交点

分别为G、H(0,-1).

(2)点M是x轴下方抛物线Ci上的点，过点M作MNJ_x轴于点N,交抛物线C2于点D,求

线段MN与线段DM的长度的比值.

(3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在x轴上是否存在点F,使

得AEFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

二、模拟预测

11.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=。/+6%-4与*轴交于点4(—1,0),

B(3,0),与y轴交于点C,连接BC.若在第四象限的抛物线上取一点M,过点M作MD_Lx轴于点

(2)试探究抛物线上是否存在点M,使ME有最大值？若存在，求出点M的坐标和ME的最大

值；若不存在，请说明理由;

(3)连接CM,试探究是否存在点M,使得以M,C,E为顶点的三角形和ABDE相似？若存

在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

(1)请直接写出点A,B,C的坐标；

(2)若点P是抛物线BC段上的一点，当APBC的面积最大时求出点P的坐标，并求出aPBC面

积的最大值.

(3)点F是抛物线上的动点，作FE||ZC交x轴于点E,是否存在点F,使得以A、C、E、F为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-严+>％+8与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,

直线丁=%-士过点B,与y轴交于点D,点C与点D关于x轴对称.点P是线段0B上一动点，过点P

作x轴的垂线交抛物线于点M,交直线BD于点N.

(2)当AMCB的面积最大时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，在y轴上是否存在点Q,使得以Q,M,N,D为顶点的四边形是平行

四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由

14.如图，在平面直角坐标系中，直线丁=-2%+10与*轴、丫轴相交于人、B两点，点C的坐标是

(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式；

(2)求证：4A0B三UCB；

(3)动点P从点O出发，沿0B以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B

出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随

之停止运动•设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA2

15.如图，直线y=-强+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax?+日x+c经过A、B两

点.

(1)求二次函数解析式;

(2)如图1,点E在线段AB上方的抛物线上运动(不与A、B重合)，过点E作EDLAB,交

AB于点D,作EF_LAC,交AC于点F,交AB于点M,求△DEM的周长的最大值；

(3)在(2)的结论下，连接CM,点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,

使得以P、Q、C、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存

在，请说明理由.

(4)如图2,点N的坐标是(1,0),将线段ON绕点O逆时针旋转得到ON，，旋转角为a(0。

<a<90°),连接N，A、NB求N，A+qNB的最小值.

16.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.

（1）求b,c的值；

（2）如图1,点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m.当m为何值时，

△PBC的面积最大？并求出这个面积的最大值.

（3）如图2,将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y=aix2+bix+ci（a^O）,平移后

的抛物线与原抛物线相交于点D,点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在

点M,N,使以点B,D,M,N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存

在，请说明理由.

17.已知：二次函数丫=。/一2%+。的图象与*轴交于人、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交

于点C,对称轴是直线x=l,且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O,

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）直线y=-上+i交y轴于D点，E为抛物线顶点.若zDBC=a,乙CBE=0,求a-£的值.

（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足P4=PC,在y轴右侧的抛物线上

是否存在点M,使得的面积等于PTP,若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ac0）与x轴交于点A和点B（点A

在点B的左侧），与y轴交于点C.若线段04OB、0C的长满足0C2=OAOB,则这样的抛物

线称为“黄金”抛物线.如图，抛物线y=a/+bx+2®H0)为“黄金”抛物线，其与x轴交点为

A,B(其中B在A的右侧)，与y轴交于点C.且0A=40B

(1)求抛物线的解析式；

(2)若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD1AC,垂足为D.

①求PD的最大值；

②连接PC,当△PCD与△力C。相似时，求点P的坐标.

19.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=a/-2ax-3a(a#0)交x轴的负半轴

于点A,交x轴的正半轴于点B,交y轴的正半轴于点C,且OB=2OC.

(1)求点B的坐标和a的值;

(2)如图1,点D,P分别在一、三象限的抛物线上，其中点P的横坐标为t,连接BP,交y轴

于点E,连接CD,DE,设ACDE的面积为s,若s=—我，求点D的坐标；

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段DE绕点D逆时针旋转90。得到线段DF,射线AE与射

线FB交于点G,连接AP,若/AGB=2/APB,求点P的坐标.

20.已知抛物线与x轴交于点4(一1,0)、B(3,0).与y轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线解析式；

(2)如图①，若点P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作PC1BC于点D,求线段PD长的最

大值

(3)如图②，若点N是抛物线上另一动点，点M是平面内一点，是否存在以点B、C、M、N为顶

点，且以BC为边的矩形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线(a<0)与x轴交于A(-2,0)、B(4,0)两点，与y

轴交于点C,且OC=2OA.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)直线y=kx+l(k>0)与y轴交于点D,与抛物线交于点P,与直线BC交于点M,记m=

黑，试求m的最大值及此时点P的坐标：

(3)连接AC,抛物线上是否存在点Q,使得NBAQ=2NOCA?如果存在，请求出点Q的坐

标；如果不存在，请说明理由.

22.规定：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望

函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P(2,4)在函数y=/上，点Q(-2,-4)在函数y=

-2%-8上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y=严和y=一2%-8互为“守望函数''，点P与点

Q则为一对“守望点

(1)函数丫=-2%-1和函数丫=4%是否互为“守望函数”？若是，求出它们的“守望点”，若不

是，请说明理由；

(2)已知函数y=/+2%和y=4x+n—2022互为“守望函数”，求n的最大值并写出取最大值

时对应的“守望点”；

(3)已知二次函数y=a%2+bx+c(a>0)与y=2bx+1互为“守望函数”，有且仅有一对“守望

点”，若二次函数的顶点为M,与x轴交于AQi，0),B(X2,0).其中0<%1<%2，AB=2,又。=

C2：；+6,过顶点M作x轴的平行线1交y轴于点N,直线y=2bx+1与y轴交点为点Q,动点E

在x轴上运动，求抛物线y=a/+力％+c®>0)上的一点F的坐标，使得四边形FQEN为平行四边

形.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：令x=0,则y=2x+2=2,令y=0,则0=2x+2,解得x=-l,

点A(-l,0),点B(0,2),

把A(-l,0),B(0,2),C(3,0)代入y=ax?+bx+c,

:2

3一

(a—b+c=04

得］9Q+3b+c=0,解得，.

3

(c=22

c=

，该抛物线的表达式为y=-|x2+1x+2；

(2)解：若△AOB和ADPC全等，且NAOB=NDPC=90。,

分两种情况：

①AAOB之△DPC,则AO=PD=1,OB=PC=2,

：OC=3,

.,.OP=3-2=1,

•••点P的坐标为(1,0)；

(2)AAOB^ACPD,则OB=PD=2,

正方形OPDE的边长为2,

.♦.点P的坐标为(2,0)；

综上，点P的坐标为(1,0)或(2,0)；

(3)解：①点P的坐标为(1,0)时，

△PQD与△PQD关于PQ对称，

.*.PD'=PD,

.•.点D在以点P为圆心，1为半径的圆上运动，

当P、D;C三点共线时，线段CD长度取得最小值，最小值为2-1=1；

②点P的坐标为(2,0)时,

PQD关于PQ对称，

,•.PD'=PD,

.•.点D，在以点P为圆心，2为半径的圆上运动，

当P、C、D三点共线时，线段CD长度取得最小值，最小值为2-1=1；

综上，线段CD长度的最小值为1.

【解析】【分析】(1)分别令直线方程中的x=0、y=0,求出y、x的值，可得点A、B的坐标，将

A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c中求出a、b、c的值，据此可得抛物线的表达式；

(2)①当△AOB/aDPC时，则AO=PD=1,OB=PC=2,OP=1,据此可得点P的坐标；②当

△AOB^ACPDH<J-,则OB=PD=2,据此可得点P的坐标；

(3)①点P的坐标为(1,0)时，根据轴对称的性质可得PD=PD,则点D，在以点P为圆心，1为半

径的圆上运动，当P、D\C三点共线时，线段CD长度取得最小值，据此求解；②点P的坐标为

(2,0)时，同理可得CD，长度的最小值.

2.【答案】(1)解：将点4(一3,0)和点0)代入y=/+bx+c,

・Y9,二却，="，解得｛b=2

ll+b+c=0lc=-3

Ay=%2+2%—3

(2)解：y——x2+2%+3

(3)解：由题意可得，抛物线&的解析式为y=-Q—1)2+6=—/+2%+5,

①联立方程组I'=一个+产+：,

解得％=2或1=—2,

，C(-2,-3)或D(2,5);

②设直线C0的解析式为y=kx+b,

｛-猊行浸解得｛£=[

I2/c+b=53=1

.".y=2x+1,

过点M作MF||y轴交CD于点F,过点N作NE||y轴交于点E,如图所示:

设m2+2m—3),N(n,—n2+2n4-3)»

则F(m,2m+1)»N(n,2n+1)»

:.MF=2m4-1—(m2+2m-3)=-m2+4,

NE——n2+2n+3—2n—1——n2+2,

—2<m<2,—2<n<2,

.,.当m=0时,MF有最大值4,

当n=0时，NE有最大值2,

■:S四边形CMDN~S&CDN+S^CDM=x4x(MF+NE)=2(MF+NE),

...当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为12.

【解析】【解答］解：(2)Vy=x2+2x-3=(x+l)2-4,

.•.抛物线的顶点(一1,一4),

:顶点(―1,一4)关于原点的对称点为(1,4),

，抛物线尸2的解析式为y=-(x-I)2+4,

•'.y=—x2+2x+3.

【分析】(1)将A(-3,0)、B(1,0)代入y=x2+bx+c中求出b、c的值，据此可得抛物线的解析

式；

(2)根据抛物线的解析式可得顶点坐标，然后求出顶点关于原点的对称点的坐标，据此可得抛物线

F2的解析式；

(3)①由题意可得：抛物线F3的解析式为y=-(x-l)2+6=-x2+2x+5,联立抛物线R的解析式求出x、

y,可得点C、D的坐标；

②利用待定系数法求出直线CD的解析式，过点M作MF〃y轴交CD于点F,过点N作NE〃y轴

交于点E,设M(m,m2+2m-3),N(n,-n2+2n+3),则F(m,2m+l),N(n,2n+l),表示出

MF、NE,结合偶次幕的非负性可得MF、NE的最大值，然后根据S四边形CMDN=S^CDN+SACDM进行计

算.

22

3.【答案】(1)解：将Q=1,b=3代入y=ax+b%+c(a>0)得y=%4-3%4-c,

将(L1)代入y=/+3%+c得，

l=l2+3xl+c,解得：c=-3

（2）解：①（%-打）2=（+%）2-4%1%=°一%

2X122

b2-4ac

99AB=

2

;抛物线的顶点坐标为：(_2,43.

庐-4ac

b24—4acb2—4ac

4a3

/.tanZ-ABE=—x

AB—%2irbr—4~ac4

-4ac=9

②,**b2—4ac=9

9：OP//MN

.NP_OM

,,丽=砒

•b-Z?+3_

：.b=2

/.22-4ac=9

.5

・・c=一诟

.•♦当a=，时，T最小=-4.

【解析】【分析】(1)将a=l、b=3代入y=ax:+bx+c中可得y=x?+3x+c,将(1,1)代入就可求出c

的值；

(2)①根据完全平方公式结合根与系数的关系可得(X2-X|)2=(X|+X2)2*4X|X2=Qz把，表示出X2-X”

即AB,根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，得到AE,然后根据三角函数的概念进行解答；

②根据①的结论可得X2;个，根据平行线分线段成比例的性质可得需=器，代入求解可得b的

乙CvLJ1VxLJ

值，然后表示出C,根据题意可得T,接下来利用二次函数的性质就可得到T的最小值.

4.【答案】⑴解：①当t=mj,1+1,即

Vy=4044x,/c=4044>0,y随工的增大而增大,

M-N4044X|-4044X1

・・=2022,

•h=~^2~=2

②若函数、=女工+6,当k>0时，七一2工工工亡+

11

；•M=+b,N=k(t-+b>

・•・h=-—=2f

当k<0时，则例=)(t一分+b,N=k(t+分+b,

,M-Nk

综上所述，k>0时，h=等,k<。时，h=-号

(2)解：对于函数y=N1),

2>0,x>1,函数在第一象限内，y随x的增大而减小,

解得t>|，

当t-狂xWt+/时，

„_2_42_4

,M-N1,44、2(2t+l)-2(2t-l)44

"n=~2~=2(-2t^T-=(2t-l)(2t+l)=(2t-l)(2t+l)=

•••当tz|时，4t2-1随t的增大而增大，

.•.当t=副寸，4t2-1取得最小值，此时力取得最大值，

最大值为九=(2t-i)(2t+l)=2^4=I

(3)解：对于函数y=—x2+4%+k=—(x—2)2+4+k,

a=—1<0,抛物线开口向下，

x<2时，y随％的增大而增大，

%>2时，y随％的增大而减小，

当％=2时，函数y的最大值等于4+k,

在t-+/时，

①当t+时,即£<|时，N=-(t-1)2+4(t-1)+k,M=-(t+J)2+4(t+|)+fc,

h=M2N—+}2,|_4(£+}+々_+4«_》+眉}=2—t,

・・・/i的最小值为'(当t=|时)，

若3=4+k,

解得攵=—彳

但t<|,故土=—(不合题意，故舍去；

当t—<>2时,即t>擀时，M=—(t—1)2+4(t—}+/c,N=—(t+<2+4(£+}+k,

,M-N4、

・•・h=-—=t—2,

・・.八的最小值为3(当£=|时)，

若/=4+0

解得攵=—彳

但空报故女=—(不合题意，故舍去

③当£一*工2工£+断寸，即|工£工|时，M=4+k,

i)当2—(t—》Z+》—2时，即94£工2时

121

M-N4+/c+(t-^)1525

----=-----------------=---=—f2--td--

22228

1

-抛物线开口向上，在|wtW2上,

:对称轴为t=2

当t=2时，h有最小值小

O

1

y4+k

解得k=—鲁

ii)当2—(t—：)W(t+：)—2时，即2StW、时,M=4+k,

1c1

N=­(t+2)2+4(t+2)+k,

3

,_M-N_4+fc+(t+1)-4(t+1)-fc_12+9,

-一8

"n=-2-=2=2t2

・••对称轴为t=2，1>0,抛物线开口向上，在2ctw|上，

当t=2时,八有最小值］

O

1

••.g=4+k

解得k=-餐

综上所述，”2时，存在k=—萼

【解析】【分析】(1)①当t=l时，根据t*xWt+4可得x的范围，根据正比例函数的性质可得y随x

的增大而增大，据此可得M、N的值，进而可求出h的值；

②当k>0时，y随x的增大而增大，据此表示出M、N,然后代入h=””中进行计算可得h的值;

同理可求出k<0时h的值；

(2)根据反比例函数的性质可得图象在第一象限内，y随x的增大而减小，根据xNl可得t的范

围，根据函数的增减性可得M、N,然后表示出h,再结合二次函数的性质求解即可；

(3)根据二次函数的性质可得：图象开口向下，分t+央、t-1>2,t-1<2<t+l,确定出函数的最

值，据此可得M、N,进而可表示出h,求出h的最小值.

5.【答案】(1)解：将点A(-l,0),B(3,0)代入y=a/+2x+c,得:

r0=a-2+c

[0=9Q+6+c,解得

所以抛物线解析式为y=—/+2x+3,C(0,3)

设直线BC的函数表达式y=/c%+b,将B(3,0),C(0,3)代入得:

0=3k+b

3=b,解得忆1

所以直线BC的函数表达式为y=-％+3

(2)解：如图,连接PC,OP,PB,

设P(m,-m2+2m+3),

VB(3,0),C(0,3),

.\OB=OC=3,

/.ZOBC=45°,

♦.•PF〃AB,

.,.ZPFE=ZOBC=45°,连接PC,OP,PB,

VPE±BC,

/.△PEF是等腰直角三角形，

.\PE的值最大时，△PEF的周长最大,

SAPBC=SAPOB+SAPOC-SAOBC

x3x(-m?+2.Tn+3)+*x3m—4x3x3=一号(ni—号)+

Va<0,

...抛物线的开口向下,

，in=别寸，APBC的面积最大，面积的最大值为瞥，此时PE的值最大,

,.,1x3V2xPE=*，

“E淬

：.△PEF的周长的最大值=挈+挈+趣=见袈

oo44

**.-m2+2m+3=孕

4

此时点p(j,学).

(3)解：存在.理由如下,

如图，

:y=-x2+2x+3

抛物线的对称轴为直线X=x=-4=1

・・•点M是抛物线对称轴上的一个动点，点G是抛物线上的一个动点

设点M(1,n),点G(m,-m2+2m+3)

・・,以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形，

当BC为边时，点G到对称轴的距离|1-m等于0B的长

/.|l-m|=3

解之：mi=-2,m2=4

当m=-2时-m2+2m+3=-5；

当m=4时-m2+2m+3=-5；

・••点G的坐标为(-2,・5)或(4,・5)；

当BC为对角线时，

11

•*2(1+M)=2(0+3)

解之：m=2

-m2+2m+3=3

.•.点G(2,3)

.•.点G坐标为(2,3)或(-2,-5)或(4,-5).

【解析】【分析】(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+2x+c中求出a、c的值，据此可得抛物线

的解析式，令x=0,求出y的值，可得点C的坐标；将B、C的坐标代入y=kx+b中求出k、b的

值，进而可得直线BC的函数表达式；

(2)利用函数解析式设P(m,-m2+2m+3),利用点B,C的坐标可证得/OBC=45。，利用平行

线的性质可推出△PEF是等腰直角三角形，PE的值最大时，APEF的周长最大，利用三角形的面积

公式可得到APBC的面积与m之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出APBC的面积的最

大值，即可求出PE的长；然后求出APEF的周长的最大值及点P的坐标.

(3)设G(m,-m2+2m+3),N(1,n),然后分BC为平行四边形的边、利用点G到对称轴的距离

|l-m|等于OB的长，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点G的坐标；当BC为平行

四边形的对角线，利用中点坐标公式建立关于m的方程，解方程求出m的值，可得到点G的坐标；

综上所述可得到符合题意的点G的坐标.

6.【答案】⑴解：(I)由题意得：f°=9+3”c,

Ic=-3

解得｛。;二:，

y=x2—2x—3,

(II)由题意得:OA=3,OB=3,

AZOAB=45°,

・・・HA=HM,

设直线AB的解析式为y=kx-3,

则0=3k-3,

解得k=l,

/.y=x-3,

设M(m,m-3),

则yp=m2-2m-3,

HM=3-m,PH=-(m2-2m-3),

当PM=2HM时，

m-3-(m2-2m-3)=2(3-m),

整理得：m2-5m+6=0,

解得m=2或3(舍去)，

：.P(2,-3)；

当m=2时，m2-2m-3=-3,

当HM=2PM时,

3-m=2[m-3-(m2-2m-3)],

整理得：2m2-7m+3=0,

解得：或3(舍去)，

当m=；时，m2-2m-3=-^,

.•・畤,苧，

综上所述，点P的坐标为：(2,-3),(1,—苧).

(2)解：把点D(-3,0)代入直线y=Jx+n,

得04x(-3)+n,

解得n=4,

••y=wx+4,

.,.C(0,4),

CD=y/oC2+OD2=y/32+42=5，

♦.•四边形CDFE是菱形，

，CE=EF=DF=CD=5,

♦.•点E(5,4),

.,.点D(-3,0)在抛物线y=x2+bx+c上，

.\(-3)2-3b+c=0,

即c=3b-9,

.,.y=x2+bx+3b-9,

♦.•该抛物线与线段CE没有交点，

①当CE在抛物线内时，

52+5b+3b-9<4,

解得:b<-l,

②当CE在抛物线右侧时，

3b-9>4,

解得：喈,

综上所述，小一楙或学

【解析】【分析】(1)(I)利用待定系数法求二次函数解析式即可；

(II)先求出OA和OB长，得出NOAB=45。，利用待定系数法求直线AB的解析式，设M(m,m-

3),则yp=m2-2m-3,然后利用含m的代数式表示PM和HM的长，分两种情况讨论，即当PM=2HM

时，当HM=2PM时，依此分别建立关于m的方程求解，即可解答；

(2)先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5,根据菱形的性质求出点E的坐

标，再根据该抛物线与线段CE没有交点，分CE在抛物线内和CE在抛物线右侧两种情况进行讨

论，①当CE在抛物线内时，②当CE在抛物线右侧时，分别求出b的取值范围，即可解答.

'1+b+c=—4

7.【答案】(1)解：根据题意，得4+2b+c=l

a=1

(a=1

解之，得b=2,所以y=%2-2x4-1=(%4-1)2

c=1

函数的表达式y=%2+2%+1或y=(x+当％=-1时，y的最小值是0

(2)解：根据题意，得y=——2%+血+1而函数的图象与％轴有交点，所以4=b2-4ac=

(-2)2—4(m+1)70所以十40

(3)解：函数y=。产一2%+3的图象

图1：

a<O0

二

a>O1

(-2)--12-

一V

-3

-11

-22--

a1

所以，a的值不存在.

图2：

的值一1<a<0.

yi

1I

—

图3

a<0(a<0

(-2)2-12a=0_1

即<a=3

一元>1a<1

<ct—2+3<0V—1

所以a的值不存在

所以a的值不存在.

图5：

a>0

(-2)2-12a=0

-2

----->1

2a

a-2+3>0

a>

a<1

。>一1

所以a的值为上

图6：y=-2x+3函数与4轴的交点为(1.5,0)

图6

所以a的值为0成立.

综上所述，a的取值范围是-lVaWO或aj

【解析】【分析】(1)将a的值及点(1,-4),(2,1)代入函数解析式，可得到关于a,b,c的方程

组，解方程组求出a,b,c的值，可得到函数解析式.

(2)将a,b,c代入函数解析式，由y=0,可得到关于x的一元二次方程，根据函数图象与x轴有

交点，可得到bZacK),可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集.

(3)抓住已知条件：函数y=ax2-2x+3的图象在直线x=l的右侧，与x轴有且只有一个交点，分别画

出函数图象，分情况讨论，可得到关于a的不等式组，分别求出不等式组的解集，可确定出a的取

值范围.

8.【答案】(1)解:4(-2,0),5(6,0).C(0,-6);

(2)解：过P作PQ||y轴交BC于Q,如下图.

设直线BC为y=k%+b(kK0),将B(6,0)、C(0,—6)代入得

(0=6k+b

Ib=-6'

w

.•.直线BC为y=x-6,

根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此

时，aPBC的面积最大，

P(m,n)(0<m<6),

]??12-26-6),Q(m,m—6),

iiQ

••PQ=(TH—6)—(262―2m_6)=一讶(rn-3)2-|-—,

V-1<0,

"=3时，PQ最大为3，

-11927

而S“BC=]PQ'\xc-XB\=2X3X6=三，

APBC的面积最大为与；

(3)解:存在.

:点F是抛物线上的动点，作FE/A4C交x轴于点E,如下图.

.".AE||CF,设F（a,-2a2—2a—6）.

当点F在x轴下方时，

VC（O,-6）,

即OC=6,

••2-2a—6=-6,

解得%=0（舍去），a2=4,

-6）.

当点F在x轴的上方时，令y=6,

则：a2—2a—6=6,

解得d3=2+2V7,a4=2-2V7,

，F（2+2，，6）或（2—2夕，6）.

综上所述，满足条件的点F的坐标为（2+2夕，6）或（4,一6）或（2-2近，6）.

【解析】【解答］解：（1）令y=0,

则上2—2x—6=0>

解得久1=-2,x2=6,

，力（-2,0）,5（6,0）,

令久=0,则y=-6,

，C(0,-6);

【分析】(1)令x=0、y=0,求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；

(2)过P作PQ〃y轴交BC于Q,求出直线BC的解析式，易得当平行于直线BC的直线与抛物线

只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时APBC的面积最大，设P(m,1m2-2m-6),则Q

(m,m-6),表示出PQ,根据二次函数的性质可得PQ的最大值，然后利用三角形的面积公式进行

计算；

⑶作FE〃AC交x轴于点E,设F(a,1a2-2a-6),当点F在x轴下方时，易得OC=6,则点F的

纵坐标为-6,代入求解可得a的值，据此可得点F的坐标；当点F在x轴的上方时，同理可得点F

的坐标.

9.【答案】(1)解：将点4(一1,0)，8(3,0)代入y=x2+bx+c得：

1—b+c=0,

9+3b+c=0,

解得\b=-2,

抛物线的表达式为y=%2-2%-3

(2)解：①由(1)可知：C(0,-3),

设直线BC：y=kx+b(k中0),将点B(3,0),C(0,-3)代入得:

+b=0,

Ib=—3.

解得\k=1>

(b=-3.

直线BC：y=x-3,则直线MN：y=x.

•••抛物线的对称轴：％=_?=_嘉=1,

2azxl

把％=1代入y=%，得y=1,

•"(I,1).

设直线CD：y=k1x+b1(/c1^0),将点C(0,-3),D(L1)代入得:

3+bi=1,

bi=-3.

解得r1=4;

凡=-3.

.••直线CD：y=4x—3.

当y=0时，得久=*,

，脸，0),

二OF=1.

②存在点F,使得以B,C,D,F为项点的四边形是平行四边形.

理由如下：

(I)若平行四边形以BC为边时，由BC||FD可知，FD在直线MN上,

.••点F是直线MN与对称轴1的交点，即F(l,1).

由点D在直线MN上，设D(t,t).

如图2-1,若四边形BCFD是平行四边形，则DF=BC.

过点D作y轴的垂线交对称轴I于点G,则G(l,t)•

（图2-1）

*/BC||MN,

：.Z.OBC=Z.DOB,

,:GD||x轴，

:•乙GDF=AD0B,

：.^OBC=Z.GDF.

又•：乙BOC=乙DGF=90°,

**•△DGF=△BOC1

：.GD=OB,GF=OC,

;GD=t-l,OB=3,

・\£-1=3,解得t=4.

AD(4,4),

如图2-2,若四边形BCDF是平行四边形，则DF=CB.

(图2-2)

同理可证：2DKF"COB,

：.KD=OC,

■:KD=1-t,OC=3,

/.1-t=3，解得t=-2.

••£)(—2,—2)

(ID若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方.

・・・如图23存在一种平行四边形，即DBFCD.

F\

(图2-3)

设D(t,t),F(l,m),同理可证：4DHC三ABPF,

：.DH=BP,HC