动点的轨迹问题

动点的轨迹问题

根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方

程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲

线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内

容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想

等方面均有体现和渗透。

轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考

的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解

决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映

学生在这些能力方面的掌握程度。

求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验）

建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点

坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”）

求轨迹方程的的基本方法：

1•直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊

的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。

2•定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发

直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

3.代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动

点Q的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x「y’表示

为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代人法也称相关点法。

4.参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间

变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

5.交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用

此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的

一种变种。

6.转移法：如果动点P随着另一动点Q的运动而运动，且Q点在某一已知曲线上运动，

那么只需将Q点的坐标来表示，并代入已知曲线方程，便可得到P点的轨迹方程。

7.几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条

件，然而得出动点的轨迹方程。

8.待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。

9.点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为A（xi,yi）,B（X2,y2）并代

入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

此部分内容主要考查圆锥曲线，圆锥曲线的定义是根本，它是相应标准方程和几何性质的

“源”。对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的

解题策略。

二、注意事项：

1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点等量关P的运动规律，即P点满足的

系，因此要学会动中求静，变中求不变。

2.轨迹方程既可用普通方程F（x,y）0表示，又可用参数方程x他）（t为参数）

yg⑴

来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐

标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要

舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

4.求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不——缓述。

【典型例题选讲】

」、直接法题型：

2.

圆的方程为

例1已知直角坐标系中，点Q（2,0）,CX2V1，动点M到圆C的切线

长与MQ的比等于常数（0）'求动点M的轨迹。

2

解：设切圆于则

MNCN,MNMOONo

设M(x,y)，则x2y2(x2)2y2

化简得（1)(x2y2)42x(142)0

(1)当1时，方程为表示一条直线°

2

1时，方程化为（X孝）2213

)当

(221y22表示一个圆°

CD?

说明：求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

变式-如图，圆。1与圆。2的半径都是1,。1。24，过动点P分别作圆。1、圆。2的

切线PMPN（MN分别为切点），使得PMV2PN•试建立适当的坐标系，并求动点P

的轨迹方程.p

解：以。1。2的中点。为原点，。1。2所在的

直线为X轴>建立平面直角坐标系，M

则。1（2,0）,。2（2,0）

q

由已知PM.2PN可得：PM22PN2

因为两圆的半径均为1,所以PA12（PO21）

设P(x,y)，则(x2)212[(x2)2y21]>即(x6)2y233

所以所求轨迹方程为：（X6）2y233（^x2y212x30）

评析：

1、用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以

省略，但要注意“挖”与“补”。

2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

二、定义法题型：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接

写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

例2已知A、B、C是直线I上的三点，且|AB|=|BC|=6，O。'切直线I于点A,又过B、C作

00'异于I的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程•/一^7

【解析】设过B、C异于I的两切线分别切00'于DE两点，两切线交（

于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，I

|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|\

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|-ABCI

故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以I所在的直线为x

轴，以BC的中点为原点，建立坐标系>

22

可求得动点P的轨迹方程为：一一1

8172

练习：已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆。上任一点，AM的垂直平分

线交OM于点P，求点P的方程。

解：由中垂线知，|PAPM故|PAPOPMPOOM10,即P点的轨迹为

22

以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3,0），故P点的方程为（X3）J125

nc16

评析：定义法的关键是条件的转化------转化成某一基本轨迹的定义条件

三、代入法题型：

22

例3如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点

练习：已知曲线方程f(x,y)=O.分别求此曲线关于原点，关于x轴，关于y轴，关于直线丫=*,关于直

线y=-x,关于直线y=3对称的曲线方程。

P的轨迹方程。

7木

解：设动点P的坐标为(x,y)点Q的坐标为(xi,y1)

则N(2x-xi,2y-y1)代入x+y=2得2x-xi+2y-y1=2①

又PQ垂直于直线x+y=2-故----丫11，即x-y+yi-xi=0②

由①②解方程组得Xi号xM卜力

入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x-2y-2x+2y-1=0

(f(-x,-y)=O,f(x,-y)=O,f(-x,y)=O,f(y,x)=O,f(-x,-y)=O?f(x,6-y)=0)

四、参数法与点差法题型：

求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参

数)，使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例4经过抛物线y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点A作互相垂直的两直线分别交抛物线于BC两

点，求线段BC的中点M轨迹方程。

解：A(-2p,0),设直线AB的方程为y=k(x+2p)(k0).与抛物线方程联立方程组可解得B

点的坐标为(甲2P产)，由于AC与AB垂直，则AC的方程为y-(X2p)-与抛

kkk

物线方程联立方程组可解得C点的坐标为(2k2p2p,2kp)，又M为BC中点，设M(x,y),

xk2p2p

则k，消去k得y2=px,即点M的轨迹是抛物线。

ypkp

k

巩固与提高：1>在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点0的两不同动点A

B满足AOLB0(如图4所示).求AAOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；

【解析】

解法一：以0A勺斜率k为参数由

A(k，k2)•»OALOB

1

­'-OBy.由一x蝌B

设ZAAOB勺重心G(X，y)

消去参数k得重心G勺轨迹方程为3x2

解法二：&△AOB勺重心为G(x,y),A(xi,yi),B(x2,y2),则

TOALOB•••koAkoB1,即X1X2yy1,.......(2)

又点A,B在抛物线上，有yix；,y2xi，代入(2)化简得xix2

.yiy2122121

-y3§1X2)0X1X2)2X1X2]3(；

所以重心为G的轨迹方程为y3x22。

3

2〉如图，设抛物线C:yx2的焦点为F,动点P在直线I:xy20上运动，过P作抛物线C的

两条切线PAPB,且与抛物线C分别相切于AB两点.求么APB的重心G的轨迹方程.

【解析】设切点八B坐标分别为仇凶)和(X"Xj)((X】

•切线AP的方程为：2x°xyx：0;

切线BP的方程为：2xiXyx20；

X。Xi

解得P点的坐标为：VDYM

X-X-XP

所以△APB的重心G的坐标为xGXp

3X-x，XX(X-X-)2X-x.4XP1^

33J

所以yP3yG4XG，由点P在直线I上运动，从而得到重心G的轨迹方

程为：

212

x(3y4x)20,即y(4xx2).

3

评析：

1.用参数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难

掌握的一类问题。

2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截

距、定比、角、点的坐标等。

3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。

4.多参问题中，根据方程的观点，引入n个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊

情况下，能整体处理时，方程个数可减少）。

五、交轨法与几何法题型

求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可

以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变

种。

例5抛物线y4PX（P°）的顶点作互相垂直的两弦如0B求抛物线的顶点0在直线

AB上的射影M的轨迹。（考例5）

解1（交轨法）：点A、B在抛物线y24Px（p。）上，

224

设A'汁YA），B（电，YB）所以

,YA

由OAA垂直0B*得koAkoB=-1

，得yAyB=-16p2,

2

又AB方程可求得yyAf;x&Yg4p

4p4pK

即（yA+ys）y--4px--yAYB=。，把yAYB=-16p

代人得AB方程（yA+yB）y-4px+16p'=°①又勺方程为y池一X

4P

由①②消去得yA+yB即得x2y24Pxo,即得（X2D）?4P2。

22

所以点M的轨迹方程为（x2p）y4p

，其轨迹是以（2p,o）为圆心，半径为2P的圆，

除去点（0-0）。

说明：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交

点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16P2=0可得AB过定点（4p,0）而

垂直AB,所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以（2p,0）为圆心，半径为2p的圆。所以

222

方程为(x2p)y4p-除去点(0，0)。

六、点差法:

2

例6（2oo4年福建，22）如图，P是抛物线C：yX上-一直线।过点P且与抛物线

2・占

C交于另一点Q。若直线I与过点P的切线垂直，求线段RQ秋M的轨迹方（图见教

程。材

Pi29页例2）。点、：

解:设)。），依题意0,

P(xi,yi),Q(X2,y2,M(x0,yXyiQyz

知，

(i)

得y，x,过点P的切线的斜率k切=*1,

i.12i

直线I的斜率ki

x.,直线I的方程为yXi(XX)⑵

Xi2Xi

2

方法一、（利用韦达定中点坐标公式）联立（1）消去y得,X

理、（2）Xi

XiX2

M为PQ的中Xi

点，1x,rX)

消去Xi,得y。Xo三l（Xoo）.

2次

'2l(Xo)

PQ中点为M的轨迹方程为

2X

方法•（点差法）由yx',y2

2X2,Xo

2

得.)Xo(XiX2)

Y22Xj2X2)(xx2

则X。'y2ki1,Xi。

XiXpXXc

1

将上式代入（2）并整理，得y。

。一i(xoo).

2xo'

X2xi(xo)

PQ中点为M的轨迹方程为

2x2

说明：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法，本题的关键

是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题。

七、向量法:

Xy2xy

例7、（1995全国理）已知椭圆如图6,=1,直线L：=1,P是L

2416128

上一点，射线OP交椭圆于点R,又点Q在0P土且满足|0Q•|OP=|OR2.当点P在L上移

动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线

本题解法较多，是一道有难度的多动点轨迹问题，如