2023版 大一轮 数学 人教A版 新教材（京津琼鲁鄂渝湘闽粤冀浙）第1节 随机抽样

9/r;rzHAXG

第1节随机抽样

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.不放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取MlVN)个个

体作为样本，如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体

被抽到的概率都相等，把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

2.最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

3.分层随机抽样的相关概念

(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总

体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽

样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分

层随机抽样，每一个子总体称为层.

(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例,那么

称这种样本量的分配方式为比例分配.

4.样本平均数的计算公式

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为加

和N,抽取的样本量分别为m和〃，第1层和第2层样本的平均数分别为;和外

则样本的平均数8=卓土五"=尚/+祢y

•—常用结论与微点提醒-S

1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

2.分层随机抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大.()

(3)简单随机抽样是一种不放回抽样.()

(4)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)X

►•教材衍化

2.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽

取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读

时间的全体是()

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

答案A

解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民

的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读

时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.

3.一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方法

从全体员工中抽取样本容量为〃的样本，已知某部门有机名员工，那么从该部

门抽取的员工人数是.

nm

答幺:安案R

解析每个个体被抽到的概率是与，设这个部门抽取了x个员工，则康=与，

nm

=犷

＞考题体验

4.(2020•上饶一模)总体由编号为00,01,02,…，48,49的50个个体组成，

利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第

10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为()

附：第6行至第9行的随机数表如下：

26357900337091601620388277574950

32114919730649167677873399746732

27486198716441487086288885191620

74770111163024042979799196835125

A.3B.16C.38D.20

答案D

解析按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右

依次选取两个数字，超出00〜49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,

49,32,则选出的第3个个体的编号为20,故选D.

5.（2020・百校大联考）在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课.我校

高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意

见，计划采用分层随机抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样

本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校

高三年级的人数为（）

A.800B.750C.700D.650

答案D

解析设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数

分别为2x~2,2x~4.

由题意可得2x+（2x—2）+（2x—4）=72,/.x=13.

设我校高三年级的学生人数为N,且高三抽取26人，

由分层随机抽样，得］800=天,.,.N=650（人）.

6.（2018•全国HI卷改编）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价

有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方

法有简单随机抽样和分层随机抽样，则最合适的抽样方法是.

答案分层随机抽样

解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行

分层随机抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一简单随机抽样及其应用自主演练

1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的

方式确定号码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，

称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学

校机构改革的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

答案D

解析A,B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简

单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.故选D.

2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，

其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别

是（）

1131

AA而mDB1015

1_3_3

C-5,10D10,10

答案A

解析在抽样过程中，个体。每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为

10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为

故选A.

3.（多选题）（2021•聊城模拟）要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数

表法抽取50颗种子进行实验.先将850颗种子按001,002,…,850进行编号，

如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4

颗种子中一个的是（下面抽取了随机数表第1行至第3行）.（）

03474373863696473661469863716233261680456011141095

97749467744281145720425332373227073607512451798973

16766227665650267107329079785313553858598897541410

A.774B.946C.428D.572

答案ACD

解析依据题意可知：向右读数依次为：774,946,774,428,114,572,042,

533,…所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774,428,114,572,结合选

项知选ACD.

感悟升华1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个

抽取；（3）是不放回抽取；（4）是等可能抽取.

2.简单随机抽样常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用

于个体数较多的情况）.

考点二分层随机抽样及其应用多维探究

角度1求某层入样的个体数

【例11某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的

一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱喜爱一般不喜欢

4800720064001600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查,

为此要进行分层随机抽样，那么在分层随机抽样时，每类人中应抽取的人数分别

为（）

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析法一因为抽样比为界'=义，所以每类人中应抽取的人数分别为

4800X+=24,7200*;^=36,6400X+=32,1600X+=8.

法二最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800：7200：6400：1600=

6：9：8：2,所以每类人中应抽取的人数分别为X100=24,

b十V十3十，

6+9+8+2X100=36*6+9+8+2X100=32,6+9+8+2X100=8,

角度2求总体或样本容量

【例2】（1）（2020•东北三省四校联考）某中学有高中生960人，初中生480人，

为了了解学生的身体状况，采用分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取容量为

〃的样本，其中高中生有24人，那么〃等于（）

A.12B.18C.24D.36

（2）（2021•重庆调研）甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机

抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品

由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件.

答案（1）D（2）1800

24

解析（1）根据分层随机抽样方法知麻M上记=言'解得〃=36.

vou-r^+ouyou

oni

（2）由题设，抽样比为湍=*.

Y

设甲设备生产的产品为工件，则石=50,...LBOO。.

故乙设备生产的产品总数为4800-3000=1800.

角度3分层随机抽样的平均数

【例3】为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层随机

抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级

干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为

正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两

组各自将预测成绩统计分析如下表：

分组人数平均成绩

正科级干部组a80

副科级干部组b70

(1)求a,b；

（2）求这40名科级干部预测成绩的平均分x.

解（1）样本量与总体中的个体数的比为赤40普而=今1，则抽取的正科级干部人

3ZUI1ZoU-U

数a=320X表=8,副科级干部人数b=l280X^=32.

80X8+70X32

(2)这40名科级干部预测成绩的平均分工==72.

40

感悟升华1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

2.已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层随机抽样就是按比例抽

样，列比例式进行计算.

样本容量

3.分层随机抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=访经

各层样本数量,,

各层个体数量

【训练1](1)(2020•郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构

的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用

分层随机抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居

室满意的人数分别为()

A.240,18B.200,20

C.240,20D.200,18

(2)(2021•合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及

果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进

行食品安全检测，若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果

蔬类食品种数之和是.

(3)总体由100人组成，按以往收入情况分成两层，第一层(高收入层)20人；第二

层(低收入层)80人.从第一层随机抽2人，得月收入的平均数为14000元；从第

二层抽8人，得月收入的平均数为3500元，估计100人的月收入的平均数为

________元.

答案(1)A(2)6(3)5600

解析(1)样本容量/?=(250+150+400)X30%=240,抽取的户主对四居室满意

的人数为150X30%X40%=18.

（2）抽样比为石匚悬在则抽取的植物油类种数是10X^=2,抽取的果

VUI1IDUI/UJJ

蔬类食品种数是20x1=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2+4

=6.

一2—Q—

（3）样本平均数为勿=赤+务=5600元.所以估计100人的月收入的平均数为

5600元.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.（多选题）（2021•武汉调研）下列抽样方法不是简单随机抽样的是（）

A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本

B.某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查

C.某连队从120名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编

号）

答案AC

解析对于A,平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不

相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B,一次性抽取与逐个不放

回地抽取是等价的，故B中的抽样方法是简单随机抽样；对于C,挑选的50名

战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简

单随机抽样；对于D,易知D中的抽样方法是简单随机抽样.

2.（多选题）（2020・泰安质检）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，

6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行

检验，则下列说法正确的是（）

A.应采用分层随机抽样抽取

B.应采用抽签法抽取

C.三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆

D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的

答案ACD

解析因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以采用分层随机抽样，选项A

正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，选项B错误；抽样比为

573

13U/U八十o"O2OO-r2U0U=，=UU，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项

C正确.分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同.故选项D正确.故

答案为ACD.

3.（2020•首都师范大学附属中学月考）从某班50名同学中选出5人参加户外活动，

利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01,02,…，50进行编号，然后

从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选

出的第5个个体的编号为（）

（注：表为随机数表的第1行与第2行）

03474373863696473661469863716297

74246792428114572042533237321676

A.24B.36C.46D.47

答案A

解析由题知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选

取43,36,47,46,24.

4.（多选题）（2021•襄阳联考）某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有

30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中

共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有（）

A.应该采用分层随机抽样法

B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力

答案ABD

解析由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法.由于比例为

2351

20X50+30X45=10,因此高一年级10°。人中应抽取100人，高二年级1350

人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是七，因此只有C不正确，故应

选ABD.

5.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的

高表示喜欢数学的频率.已知该年级男、女生各500名（所有学生都参加了调查），

现从所有喜欢数学的学生中按分层随机抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人

数为（）

A.16

C.24

答案C

解析由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1：3,,所以抽

取的男生人数为24.故选C.

6.某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若

用分层随机抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取（）

A.40人B.200人C.20人D.10人

答案C

解析由题图知，40岁以下年龄段的人数为400X50%=200,若采用分层随机

4（）

抽样应抽取200X布=20（人）.

7.（多选题）（2021•淄博模拟）港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海

和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造

技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄

统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为

5：2：3,现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取〃名，若青年旅客

抽到60人，则（）

A.老年旅客抽到100人

B.中年旅客抽到20人

C.n~~200

D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200人

答案AC

解析由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5：2：3,

若青年旅客抽到60人，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取〃名，

所以解得〃=200人，则老年旅客抽到60X^=100人，中年旅客

n5十2十33

2

抽到60X?=40人，则老年旅客和中年旅客人数之和为160.

8.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为

1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m.由此可估计我国13岁男

孩的平均身高为()

A.1.57mB.1.56m

C.1.55mD.1.54m

答案B

解析由题意知这500名13岁男孩的平均身高是

击(1.6X300+1.5X200)=1.56(m).

二'填空题

9.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚鼠胺是否超标，现从800袋

牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000,

001,…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到

的第4个样本个体的编号是(下面摘取了随机数表第7行至第9行).

87421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

答案068

解析由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.

10.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，

60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了

一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则〃=

答案13

一377

解析依题意得而=]20+80+60,故"=13.

11.（2020•海南质检）《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱

五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以

钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱,

丙带了180钱，三人一起出关,共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，

则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数）钱数为.

答案32

解析因为甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，

关税共100钱.要按照各人带钱多少的比例进行关税.

则乙应付：560+350+180*350=32瓶小32钱.

12.某企业三月中旬生产4B,C三种产品共3000件，根据分层随机抽样的结

果，企业统计员制作了如下的统计表格.由于不小心，表格中4。产品的有关

数据已被污染看不清楚，统计员记得/产品的样本容量比。产品的样本容量多

10件，根据以上信息，可得C产品的数量是_______.

产品类别ABC

产品数量（件）1300

样本容量（件）130

答案800

解析设4c产品数量分别为x件、y件，

fx+y+1300=3000,（_