备战2025年高考数学压轴题训练专题17解三角形(解答题压轴)(学生版+解析)

专题17解三角形（解答题压轴）目录TOC\o"1-1"\h\u一、三角形中线问题 1二、三角形角平分线问题 3三、三角形周长（边长）（定值） 5四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） 8五、三角形面积（定值） 10六、三角形面积（最值，范围问题） 13一、三角形中线问题1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为．2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量，，，且A为的内角.（1）求角A的大小；（2）若中，角，，的对边分别为，，，，，求边BC上的中线AD的长.3．（2024高三·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若的面积为，求a的最小值；(2)若，BC边上的中线长为，且的外接圆半径为，求的周长．4．（2024·四川）在中，角所对的边分别为，且满足（1）求角;（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积二、三角形角平分线问题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）．(1)若，用，表示；(2)若点为的外心，求、的值；(3)若点在的角平分线上，当时，求的取值范围．2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在中，点在边上，点在线段上．(1)若．①如图1，若，，过作于点，直接写出的值为；②如图2，若，求的值．(2)如图3，已知为的角平分线，，，直接写出线段的长度．3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求C；(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为，求OC．4．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知的内角的对边为，且.(1)求；(2)若的面积为；（i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值；（ii）求内角的角平分线长的最大值.5．（23-24高一下·重庆·期末）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求；(2)若，，求边上的角平分线长；(3)若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围.三、三角形周长（边长）（定值）1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.(1)若，求；(2)点在边上且平分，若，求三角形的周长.2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，且的面积为，求的周长．3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在中，角的对边分别为．(1)求；(2)若的面积边上的中线，求的周长．4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且．(1)证明：；(2)若，的面积为，求的周长．5．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在中，角所对的边分别为，，，且(1)求角的大小；(2)若，的面积为，求的周长．四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求；(2)若．（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．（ii）求周长的取值范围．2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知是边长为的正三角形，点在边上，且，点为线段上一点.(1)若，求实数的值；(2)求的最小值；(3)求周长的取值范围.3．（2024·云南曲靖·二模）在中，角的对边分别为，且.(1)求角的取值范围；(2)已知内切圆的半径等于，求周长的取值范围.4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．(1)若，，求AD的长度；(2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．5．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，角的对边分别为，，，已知.(1)当时，求的值；(2)当时，求周长的最大值.6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．(1)求角B的值；(2)若，求的周长的取值范围．五、三角形面积（定值）1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，为内一点.(1)证明：为等腰三角形；(2)若，，，求的最小值；(3)若，，，求的面积.2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形中，，，，．(1)求；(2)求四边形周长的取值范围；(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在中，，，.(1)求A；(2)D为边的中点，E为边上一点，交于P.（i）若E为的中点，求的余弦值；（ii）当时，求的面积.4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且，求的面积.六、三角形面积（最值，范围问题）1．（2024·四川达州·二模）在中，角、、所对的边分别为、、，.(1)求；(2)若，求面积的最小值.2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知，，，．(1)若，求护栏的长度（的周长）；(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养鸡地，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏．已知m，m，，﹒(1)若m，求护栏的长度(的周长)；(2)若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求AM的长；(3)鱼塘的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由．4．（23-24高二上·江西景德镇·期中）在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求A的大小；（2）若，求面积的取值范围.5．（2024高三上·全国·专题练习）中，的面积为.（1）求（2）若为的中点，分别为边上的点（不包括端点），且，求面积的最小值.备战2025年高考数学压轴题训练（新高考版）专题17解三角形（解答题压轴）目录TOC\o"1-1"\h\u一、三角形中线问题 1二、三角形角平分线问题 5三、三角形周长（边长）（定值） 13四、三角形周长（边长）（最值，范围问题） 18五、三角形面积（定值） 29六、三角形面积（最值，范围问题） 38一、三角形中线问题1．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）已知O为△ABC的外心，BC=6,BO⋅AC=4，当【答案】15【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到a2−c2=8【详解】取AC中点D，连接OD、BD，则DO⊥则BO⋅所以BC2−BA2=8，即a2−则cosC当且仅当b2=8，即b=22同时a2=b所以AB边上中线长为CE=A故答案为：15.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化BO⋅AC，得到2．（23-24高一·全国·课后作业）已知向量a=−3,sinA，b=（1）求角A的大小；（2）若ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=14，b=10，求边BC上的中线AD的长.【答案】（1）A=2π3【解析】（1）根据向量共线坐标所满足的关系可得−3cosA=sin（2）根据A=2π3，可以求得sinA=32，根据题中所给的三角形的边长，以及正弦定理可得sinB=b【详解】（1）因为a//b，所以−3因为0<A<π，所以A=2π（2）因为A=2π3，所以sinA=3所以在ΔABC中，由正弦定理，可得sinB=b所以在ΔABC中，cosC在ΔABC中，由余弦定理，可得c2=b在ΔABD中，由余弦定理，得AD所以AD=19【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有向量共线坐标所满足的条件，正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，属于较难题目.3．（2024高三·全国·专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos(1)若△ABC的面积为，求a的最小值；(2)若A=π3，BC边上的中线长为52，且△ABC的外接圆半径为，求【答案】(1)1(2)3+33【分析】（1）由acosC+3asinC−b−c=0和（2）由△ABC的外接圆半径为，结合正弦定理可得a=3.由BC的中点为E，可得c2【详解】（1）a⇒a又12bcsin又A∈0,π，则A=π3又cosA=b则1=b2+c2−a2≥2bc−（2）由正弦定理得a=23设BC的中点为E，则AE=12即52由余弦定理得a2①－②得bc=8，又a2=(b+c)故△ABC的周长为．4．（2024·四川）在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，且满足cosC（1）求角B;（2）若△ABC外接圆的半径为，且AC边上的中线长为172，求△ABC【答案】（1）π3；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式即可得解；（2）由正弦定理得b=3，利用D为中点，结合向量的加法法则得2BD=BA+BC【详解】（1）由cosC=a利用正弦定理得：，即2sinBcos∵C∈0,π，∴sinC≠0，∴又∵B∈0,π，∴（2）由正弦定理得bsin设D为AC边上的中点，则AD=3利用向量加法法则得：2两边平方得：4BD2由余弦定理b2=c两式相减得8=2ac，即ac=4.由三角形面积公式得：S△【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx（2）若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+B+C=π.二、三角形角平分线问题1．（23-24高一下·上海·阶段练习）在△ABC中，AC=2，BC=6，∠ACB=60∘．点O为△ABC所在平面上一点，满足OC=mOA+nOB（(1)若m=n=−1，用CA，CB表示OC；(2)若点O为△ABC的外心，求m、n的值；(3)若点O在∠ACB的角平分线上，当−12≤n≤−【答案】(1)OC=−(2)m=37，(3)3【分析】（1）OC=mOA+nOB可化简OC=m(OC+CA)+n(.（2）由点O为△ABC的外心，可得OCCA=−12CA（3）设CD为∠ACB的平分线，则|CA||CB|=|AD||BD|=26=13，利用平面向量基本定理和共线向量定理可得：【详解】（1）因为OC=mOA+n化简后可得(1−m−n)OC=mCA若m=n=−1，则OC=−（2）如图，设CA,CB的中点分别为E,F，连接，则OE⊥又OCCA=CA又OC·即−12×4=整理得到m+2n=−12m−3n=3，解得m=（3）如图，CD为∠ACB的平分线，则|CA||CB|所以CD=设CO=λ故λ(3因为CA,CB不共线，故mm+n−1因为−12≤n≤−14又CO2所以|CO|=3故OC的取值范围为[3【点睛】本题考查平面向量基本定理、向量的数量积，解题时注意根据外心、角平分线等几何性质实现向量计算时的转化，本题属于难题.2．（23-24高一上·湖北咸宁·自主招生）如图所示，在△ABC中，点D在BC边上，点E在线段AD上．(1)若∠BED=①如图1，若α=90∘，AB=AC，过C作于点F，直接写出BECF的值为②如图2，若，求的值．(2)如图3，已知AD为△ABC的角平分线，AE=DE=2，AC=5,tan∠BED=2【答案】(1)2；13−1(2)EB=4【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定计算即可；构造平行，根据相似三角形的判定与性质计算即可；（2）构造平行线利用等腰三角形的判定与性质结合已知推出AG，根据勾股定理计算FG、CG，再由平行线分线段成比例即可即可.【详解】（1）①若α=90∘，AB=AC，则因为，所以∠ABE=90所以△BAE≅△ACF，即BE=AF,AE=CF，易知△EFC为等腰直角三角形，则CF=EF=AE=1②如图所示，过C作CF//BE交AD于F点，取G点满足CF=CG，根据题意有∠ABE=所以∠AEB=则△AEB∼△CGA，所以CGAE又CF//BE，所以有△DEB∼△DFC，即BECF设CF=x,AE=y，则BE=3x,CG=x=EG,故yx=3x又yx>0，所以故AE（2）

如图过C作CF//AD交BA延长线于F，延长交FC于G，连接AG，则∠BAD=又AD平分∠BAC，则∠BAD=所以AF=AC=5，又AE=ED，所以CG=FG，所以AG⊥因为tan∠所以tan∠GF=A因为DE//CG，所以BEBG【点睛】思路点睛：解三角形线段比值问题，通常需要构造相似三角形来转化线段关系，本题第一问第二小问通过构造平行线借助“X”型相似及构造倍角关系求线段比值；第二问通过构造平行线借助平行线分线段成比例及勾股定理计算线段长度.3．（23-24高一下·河南周口·期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(1)求C；(2)若△ABC的三条角平分线相交于点O，AB＝7，OAB的面积为1534，求【答案】(1)(2)OC=【分析】（1）由正余弦定理及两角和的正弦公式化简可得，据此求解；（2）由三角形面积公式及余弦定理求出，再由定理及正弦定理求解即可.【详解】（1）由a2+b有acos又由正弦定理，有sinA有sinA+BsinC=3又由C∈0,π，可得（2）由，有∠OAB+∠可得∠AOB=π−在△OAB中，由△OAB的面积为1534，有可得AO×OB=15，又由余弦定理及AB＝7，有AO有AO+BO2代入AO×OB=15，有AO＋BO＝8，联立AO+BO=8,AO×OB=15,解得AO=3,BO=5,由对称性不妨设AO=3,在△OAB中，有cos∠OAB=3又由OA为角A的角平分线，有sin∠在△OAC中，由正弦定理有OAsin∠ACO可得OC=154．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）已知△ABC的内角的对边为a,b,c，且3sinA(1)求sinA(2)若△ABC的面积为43（i）已知E为BC的中点，求△ABC底边BC上中线AE长的最小值；（ii）求内角A的角平分线AD长的最大值.【答案】(1)2(2)（i）263【分析】（1）由正弦定理将角的关系转化为边的关系，再用余弦定理求出cosA，进而求出sin（2）由三角形的面积公式12bcsinA=43（3）由于S△ADB+S△ADC=S△ABC，可得AD【详解】（1）由正弦定理，得3a−bc=故cosA=c2+所以sinA（2）（i）由（1）知sinA=223由三角形的面积公式得：12bcsin由于E为BC的中点，则AE=AE由基本不等式可得：14c2所以AE2≥83⇒（ii）因为AD为角A的角平分线，所以sin∠由于S△所以12由于sinA2≠0由于cosA又bc=4，所以ADc+b由于b+c≥2bc=4（当且仅当故86故AD≤263，即角平分线5．（23-24高一下·重庆·期末）在△ABC中，内角所对的边分别为a,b,c，且sin2A(1)求C；(2)若c=3，a+b=6，求边AB上的角平分线(3)若△ABC为锐角三角形，点F为△ABC的垂心，CF=6，求3CF−AF【答案】(1)π(2)2(3)1【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；（2）利用余弦定理求出ab，再由等面积法计算可得；（3）延长交BC于M，延长交AC于E，设∠BCF=θ，θ∈0,π3，分别求出、，再根据三角恒等变换化一，结合正切函数的性质即可得解.【详解】（1）因为sin所以sin由正弦定理得a2则cosC因为C∈0,π，所以（2）因为c=3，a+b=6，即32=6设边AB上的角平分线CD长为x，则S△ABC=1即32=62x，解得x=22（3）延长交BC于M，延长交AC于E，设∠BCF=θ，θ∈0,π3在Rt△CMF中在△CEB中∠ECB=π3，∠BEC=π在Rt△BMF中BF=MF所以3=，因为θ∈0,π3，所以θ2∈即3CF−AFBF的取值范围为【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.三、三角形周长（边长）（定值）1．（23-24高一下·河南漯河·期末）已知三角形ABC的内角所对的边分别为a,b,c，若sinA+CsinA+(1)若B=π6，求(2)点D在边BC上且AD平分∠BAC，若AD=3，求三角形ABC【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果；（2）利用面积关系可得bc=b+c，结合b2【详解】（1）由正弦定理可知asin则sinA+C可得bb−c=a+c由余弦定理知cosA且A∈0,π，可得A=由B=π6知可知△ABC为直角三角形，所以c=a（2）点D在边BC上且AD平分∠BAC，可知S△则12即12bcsin6又因为b2+c2−a①代入②得到(b+c)2−3b+c−4=0所以△ABC的周长为a+b+c=2+4=6.2．（23-24高一下·福建南平·期末）已知△ABC的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且acos(1)求A；(2)若a=3，且△ABC的面积为3164【答案】(1)A=(2)3+【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得4b【详解】（1）由正弦定理可得sinA所以sinA即sinB因为0<B<π，所以sin所以3sinA−cosA又由0<A<π，可得−故A−π6=（2）由已知可得，S=1可得4b2−4bc+c2又由余弦定理可得a2=3联立解得b=1,c=2，所以△ABC的周长为3．（23-24高二下·四川凉山·期末）在△ABC中，角的对边分别为．(1)求C；(2)若△ABC的面积边上的中线CD=7，求△ABC【答案】(1)(2)6+2【分析】（1）根据题意利用正弦定理可得sinB（2）利用面积公式可得ab=8，根据中线性质结合数量积可得a2【详解】（1）因为，整理可得bcosC由正弦定理可得sinB又因为sinB即sinA=2sinAcosC，且即cosC=12，且（2）因为△ABC的面积S=12ab又因为CD为AB边上的中线，则2AD可得4CD则28=a2+可得a+b2=a由余弦定理可得：c2=a所以△ABC的周长为a+b+c=6+234．（23-24高一下·四川成都·期末）在△ABC中，角所对的边分别为a,b,c，△ABC的外接圆半径为，且abc−2cb(1)证明：A−B=π(2)若B=π6，△ABC的面积为2+3【答案】(1)证明见解析(2)2+2【分析】（1）由余弦定理、正弦定理、两角差的正弦展开式得sinA−（2）令a=6+2k,b=2k，再利用【详解】（1）由abc−2可得abc−2cb又由正弦定理asinA=即sinA−cos可得A−π4=B或A−π4所以A−B=π（2）因为B=π6，所以A=5π12，C=π−A−B=5πsin=2所以ab令a=6+2S=2+解得k=1，因此△ABCa+b+c=(65．（23-24高一下·广东深圳·期中）已知在△ABC中，角所对的边分别为a，b，c，且c−acos(1)求角A的大小；(2)若a=23，△ABC的面积为，求△ABC【答案】(1)π(2)2【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得cosAsinB=3（2）由（1）和余弦定理，得到b+c2−3bc=12，再由△ABC的面积为，求得bc=4，得到b+c=26，进而求得【详解】（1）解：因为c−acosB=又因为C=π−(A+B)，可得，所以cosA因为B∈(0,π)，可得sinB>0，所以cosA又因为A∈(0,π)，所以A=π（2）解：由（1）知A=π3，且根据余弦定理得a2=b又因为△ABC的面积为，可得S△ABC=12所以b+c2=24，可得b+c=26，所以△ABC四、三角形周长（边长）（最值，范围问题）1．（23-24高一下·北京大兴·期末）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求∠B(2)若b=3（i）再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求△ABC条件①：a=6；条件②：a=2c；条件③：sin（ii）求△ABC【答案】(1)π(2)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理边化角化简得tanB（2）（i）选择条件①利用正弦定理计算判断三角形不唯一；，选择条件②，利用余弦定理及三角形面积公式计算求解；选择条件③，利用正弦定理计算判断，再求出三角形面积；（ii）利用余弦定理及基本不等式计算即可.【详解】（1）由可得,因为在△ABC中，所以sinB=即tanB=3，因为B∈（2）（i）若选条件①a=6，结合（1）∠B=π3由正弦定理asinA=则满足条件的三角形不存在，故不能选条件①，若选条件②：a=2c，结合（1）∠B=π3及由余弦定理b2=a2+易知a=2c=2，故此时满足条件的三角形唯一.所以.若选条件③：sinC=13，结合（1）因为sinC=1由,可得cosC=因为在△ABC中A+B=π−C所以sinA易知满足条件的三角形唯一.由正弦定理asinA=所以S△（ii）由余弦定理b2可得3=a结合基本不等式ac≤a+c22解得：a+c≤23,当且仅当a=c=又在△ABC中易得a+c>b=3所以△ABC周长C△△ABC周长的取值范围为23【点睛】方法点睛：在求解对边对角模型问题中的周长或面积范围时常见有2种方法：（1）借助余弦定理、基本不等式及三角形的性质，进行适当放缩；（2）利用正弦定理边化角，转化为三角函数求值域问题.2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，点P在边BC上，且3BP=BC，点Q(1)若AQ=λAB+(2)求QA⋅(3)求△QPC【答案】(1)3(2)−(3)8【分析】（1）结合图形，利用平面向量基本定理，以及向量的线性运算，即可求解；（2）首先用基底向量AB,AC表示向量和QC（3）首先在△QPC中，设∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ，再根据正弦定理，利用三角函数表示△QPC【详解】（1）由题意BP=13BC，即AP−AB=设AQ=m又∵BC=AC即23mAB所以23m=λ−1131（2）因为AB⋅由（1）知AP=23QC=所以QA=−=−2设fm当m=37时，所以QA⋅QC的最小值为（3）在△ABP中，AP2=4+在△QPC中，设∠PCQ=α，∠PQC=β，∠QPC=θ在△ABP中，ABsin(π−θ)=APsinπ在△QPC中，PQsinα=∴PQ=所以△QPC​的周长l=PQ+CQ+PC=4∵sinα=令f(β)=cosf(β)=cosβ+1在中，，AC=2，，∠ACB=π3，∴APsin∠ACB=又∵sintan∠CAP=32，设即3x2+4x−3=0，x>0tanθ=33，设tan即33t2+2t−33=0，−2+7−1+27所以−1+27因此△QPC​的周长的取值范围是83【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的表示即运算，以及三角函数的性质和解三角形的综合应用问题，第三问是本题的难点，关键是将周长表示为关于β的三角函数.3．（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角的对边分别为a,b,c，且acosC(1)求角B的取值范围；(2)已知△ABC内切圆的半径等于32，求△【答案】(1)0,(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理可得sinAcosC+3（2）由三角形的面积可求得a=−b−c+bc，结合余弦定理可得(bc)2−2bc(b+c)+(b+c)2△ABC的周长L=a+b+c=b2+c2−2bccosA+b+c【详解】（1）∵由正弦定理得：sinA∴sinAcos∴3∵sin∵−π6<A−π6∴角B的取值范围是0,2π（2）∵S=∴a+b+c=bc，即a=−b−c+bc，由余弦定理得：a2∴(bc∴bc=2b+c−3.∵bc≤b+c22∴2(b+c)−3≤(b+c)24,设△ABC与圆内切于点D,E,F，则AD=AF=rtan∴b+c=AC+AB>AD+AF=3∴b+c≥6（当且仅当b=c=3时取等号）.△ABC的周长L=a+b+c=b==32(b+c)≥9∴L∵c=AB>DB=∴B→0时，c→+∞，L→+∞,∴△ABC的周长的取值范围是.4．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，∠BAC的角平分线AD交BC于点D(1)若b=1，，求AD的长度；(2)若△ABC为锐角三角形，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)AD=(2)(2+2【分析】（1）方法一：由关系S△方法二：由角平分线性质和三角形面积公式证明ABAC=BDCD，再由向量线性运算可得（2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求C，结合正弦定理利用角A表示a+b，结合正弦型函数的性质求a+b的范围，由此可得结论.【详解】（1）方法一：因为AD为∠BAC的角平分线，∠BAC=6所以∠BAD=因为S所以12×2×1×所以AD=23法二：设三角形△ABC的边BC上的高为，因为AD为∠BAC所以S△所以BD=2DC，所以所以AD=1因为b=1，c=2，所以AD2所以AD=2（2）在△ABC中，由正弦定理得，2a所以2sinA又sin(C+B)=sin又sin所以cosC=12，又C在△ABC中，由正弦定理得，，所以

因为△ABC是锐角三角形，所以，于是π6<A<所以A+π所以sin(A+π6所以三角形△ABC周长的取值范围为2+235．（23-24高一下·江苏泰州·期末）在△ABC中，角的对边分别为a，b，c，已知1+cosA(1)当C=π2时，求(2)当a=1时，求△ABC【答案】(1)tan(2)5【分析】（1）根据题意借助于倍角公式整理得，再结合两角和差公式运算求解；（2）以内切圆为基础，设，进而可得AD=OBsinθ+cos【详解】（1）因为1+cosAsin可得，又因为C=π2，则所以1tan解得tanA（2）设△ABC的内切圆的圆心为O，圆O与边AB切于点D，连接OA,OB,OD，设△ABC周长为l，∠OBD=θ可得OD=OBsin由（1）可知：，即1ODAD整理得AD=BD+OD=OBsin可得AB=AD+BD=OBsin根据等面积法可得12即12整理得l=sin其中tanφ当2θ+φ=π2，即tan2θ=tan所以△ABC周长的最大值为5+2

【点睛】关键点睛：本题注意到，故借助于内切球的性质建立边角关系，进而运算求解.6．（2024·湖南长沙·一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinA(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC【答案】(1)π(2)3+【分析】（1）根据正弦定理得到a2+c（2）根据正弦定理得到b=1sinA,c=3sinA+cos【详解】（1）sinA−sin即a2由余弦定理得：cosB因为B∈所以B=π（2）锐角△ABC中，a=2，B=π由正弦定理得：2sin故b=1则b+c==3因为锐角△ABC中，B=π则A∈0,π2解得：A∈故tanA∈3则1tan故b+c∈1+3所以三角形周长的取值范围是3+3【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值五、三角形面积（定值）1．（23-24高一下·山东枣庄·期末）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=ccosB(1)证明：△ABC(2)若A=60°，a=1，∠BPC=150°，求PA的最小值；(3)若cos∠BAC=35，∠PAB=∠PBC=∠PCA，【答案】(1)证明见解析(2)3(3)4【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式计算可得；（2）设，0<α<π6，在△PBC中利用正弦定理表示出PC，再在中利用余弦定理表示出，利用三角恒等变换公式化为α的三角函数，结合正弦函数的性质计算可得；（3）设∠BAC=θ，即可求出，sinθ，由余弦定理得到BC=2ABsinθ2，再由三角形相似得到PB=2PA【详解】（1）因为bcos由正弦定理可得sinBcosC又B,C∈0,π，所以B−C∈−π,π，所以B−C=0，即B=C，则所以△ABC（2）依题意可得△ABC是边长为1的等边三角形，在△PBC中，设，0<α<π由正弦定理PCsin∠PBC在中∠PCA=π由余弦定理P==4=6=31−因为0<α<π6，所以π3<2α+π3<此时PA2min（3）设∠BAC=θ，则cosθ=1−2sin所以sinθ2=在△ABC中，由余弦定理及AB=AC可得B=2AB所以BC=2ABsin由∠ABC=∠ACB=π−θ2=所以∠PBA=∠PCB，又∠PAB=所以△PAB所以PAPB所以PB=2PAsinθ2而∠BPC=π−∠PBC−∠PCB=π−∠所以S=4PA【点睛】关键点点睛：本题第二问解答的关键是转化为α的三角函数，第三问关键是利用整体思想转化为θ2、θ2．（23-24高一下·重庆·期末）平面四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=(1)求BD；(2)求四边形ABCD周长的取值范围；(3)若E为边BD上一点，且满足CE=BE，S△BCE=2S【答案】(1)7(2)3+(3)7【分析】（1）首先求出∠BAD（2）在△BCD中利用余弦定理及基本不等式求出CB⋅CD的取值范围，即可求出CB+CD的范围，即可求出四边形ABCD周长的取值范围；（3）依题意可得BE=2ED，即可求出、CE、ED，再由余弦定理求出CB=2CD，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为∠ABC+∠ADC=π，∠BCD=π3，所以在△BCD中由余弦定理BD==1（2）在△BCD中BD即7=CB所以CB2+CD2又CB+CD2则7<7+3CB⋅CD≤28，即7<CB+CD2≤28所以CABCD即四边形ABCD周长的取值范围为3+7（3）因为S△BCE=2S△CDE，所以所以BE=23BC=273，在△BCE中由余弦定理CB即C在△DCE中由余弦定理CD即CD又∠CEB+∠CED=π，所以cos∠所以CB又7=CB2+C即CB2=2CB⋅CD所以CD2=所以S△.【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到CB3．（23-24高一下·浙江温州·期末）在△ABC中，AB=4，AC=2，sin2(1)求A；(2)D为边AC的中点，E为边BC上一点，AE交BD于P.（i）若E为BC的中点，求∠DPE（ii）当AE⊥BD时，求△PBC【答案】(1)A=(2)（i）−27【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理即可求解；（2）（i）分解向量得AE=12AB+12AC，BD=−AB+【详解】（1）因为sin2A−sin2所以cosA因为A∈所以A=2π（2）（i）若E为BC的中点，D为边AC的中点，则AE=12从而AE=BD=AE=−1所以cos∠所以∠DPE的余弦值为−2（ii）由（2）（i）可知，BD=−因为B,C,E三点共线，所以可设AE=λ当AE⊥BD时，AE=−λ=−16λ−6λ+4+2−2λ=−24λ+6=0，所以λ=1所以AE=因为B,P,D三点共线，所以设AP=μ因为与AP是共线向量，且AC与AB不共线，所以3μ=1−μ2，解得所以AP=17所以点P到BC的距离与点A到BC的距离之比为3sin所以△PBC的面积为S【点睛】关键点点睛：第二问（ii）的关键是得出PEAE4．（23-24高三上·山东青岛·期中）在△ABC，中，记角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(1)求角B；(2)已知点D在AC边上，且AD=2DC,AB=6,BD=27，求△【答案】(1)π(2)9【分析】（1）由正弦定理可得sinBcosC+3（2）在△ABC中由余弦定理建立等式，再利用cos∠ADB+cos【详解】（1）因为cosC由正弦定理可得sinB因为A=π−B−C，所以sinA所以3sin因为0<C<π，则sinC>0，所以3sinB=又0<B<π，所以B−π6=（2）由题意设CD=x，AD=2x，BC=y，由（1）得B=π在△ABC中由余弦定理可得，cosB因为∠ADB+∠BDC=π，所以cos∠即27联立①②，解得x=2y=6则AC=3x=6，BC=6，△ABC所以S△ABC=12AB⋅BC.5．（2024·吉林·模拟预测）△ABC的内角的对边分别是a,b,c，且sinA−(1)求角B的大小；(2)若b=3，D为AC边上一点，，且BD为∠B的平分线，求△ABC的面积．【答案】(1)B=π(2)33【分析】（1）先利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理求角B即可；（2）利用等面积法S△ABC=S△ABD+【详解】（1）因为sinA−sin化简得b2所以由余弦定理得cosB=a所以B=π（2）如图所示因为S△ABC=S化简得BA+BC=3又由余弦定理得AC2=B①②联立解得BA×BC=−2（舍去）或6，所以S△6．（23-24高一下·甘肃定西·阶段练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．且2sin(1)求角B的大小；(2)求sinA(3)若C=π2，BC=2，O为BC中点，P为线段AO上一点，且满足BP⋅CP=0．求AP【答案】(1)B=(2)sin(3)AP=13−1，△BPC的面积S【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理求解即可；（2）根据（1）可得A+C=2π3，得到（3）先根据直角三角形中的关系求解得AP=13−1，再设∠OCP=α，推导可得S=sin【详解】（1）由正弦定理及2sinA−即2ac−1=2a2又B∈0,π，故B=（2）由（1）知，A+C=2π故sin=3又0<A<2π3，则π6故sinA（3）∵BP⋅CP=0，∴PB⊥PC，∵BC=2，O为BC中点，∵a=2，∴AC=23，AB=4，∴AO=23设∠OCP=α，则∠COP=π−2α∴sinα=PB∴S=1在直角△ACO中，sin∠∴当AP=13−1时，△BPC的面积S为六、三角形面积（最值，范围问题）1．（2024·四川达州·二模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，bcos(1)求tanB(2)若bc=3，求△ABC面积S的最小值.【答案】(1)1(2)2【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的余弦公式化简可得出2sinBsin（2）分析可知B、C均为锐角，利用两角和的正切公式结合基本不等式可得出tanA≤−2，求出sin【详解】（1）解：∵b∴b由正弦定理得sinB∴sin因为0<A<π，则sinA∵A+B+C=π，sinB+C则cosA所以，cosA=cos所以，2sin∴2sinBsin（2）解：由（1）得tanB若tanB<0tanC<0，则B所以，tanB>0，tanC>0，此时∴tan当且仅当tanB=tan∵tanA≤−22，则由，解得sinπ−A≥22当且仅当tanB∵bc=3，∴S=因此，△ABC面积的最小值为2.2．（23-24高二上·云南玉溪·期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养