备战2025年高考数学压轴题训练专题06一元函数的导数及其应用(利用导函数研究单调性(含参)问题)(解答题)(学生版+解析)

专题06一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题）目录TOC\o"1-2"\h\u一、导函数有效部分为一次型 1二、导函数有效部分为类一次型 2三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 3角度1：最高项系数含参 3角度2：最高项系数不含参 4四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 5五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 6一、导函数有效部分为一次型1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，.(1)讨论的单调性；2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数(1)讨论函数的单调性；4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数．(1)讨论的单调性；二、导函数有效部分为类一次型1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性.2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性.3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数．（1）求函数的单调区间；4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．(1)讨论的单调性；三、导函数有效部分为可因式分解的二次型角度1：最高项系数含参1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数．(1)当时，讨论函数的单调性；2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，.(1)若，求的最大值；(2)若函数，当时，讨论的单调性.3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；4．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，.(1)当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由；(2)求函数的单调区间.四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型1．（2024·陕西西安·二模）设函数.(1)当时，讨论的单调性；2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．(1)讨论的单调性；五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型1．（2024·山东青岛·一模）已知函数．(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；(2)讨论的单调性．2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）已知函数.(1)若，求函数的极值；(2)讨论函数的单调性.3．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性.4．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性.专题06一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题）目录TOC\o"1-2"\h\u一、导函数有效部分为一次型 1二、导函数有效部分为类一次型 3三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 5角度1：最高项系数含参 5角度2：最高项系数不含参 8四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 12五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 15一、导函数有效部分为一次型1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，.(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别得出函数的单调性；【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，则在上单调递减当时，令，解得，当时，，则在上单调递增当时，，则在上单调递减综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见详解【优尖升-分析】（1）求出导函数，分类讨论的正负确定和的解，得单调性；【详解】（1）由，，当时，，即函数在上单调递减，当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，函数在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；【详解】（1）依题意，，当时，，当时，由得，由得，即当时函数在是减函数；当时在是减函数，在是增函数；4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）对求导后，令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解；【详解】（1），令，则，若，则，从而，所以即在定义域内单调递增，若，则当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，综上所述，若，在定义域内是增函数，若，在上是减函数，在上是增函数.二、导函数有效部分为类一次型1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性.【答案】答案见解析【优尖升-分析】求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性.【详解】由题意可得：函数的定义域为，，（i）当时，恒成立，在上单调递增；（ⅱ）当时，令，解得，故当时，，单调递减，当时，，单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【优尖升-分析】由题意可得，按和的取值分类讨论的正负即可得到的单调性；【详解】由题意，令，得，当时，若，则，所以，若，则，，所以；当时，若，则，所以，若，则，，所以；综上，在单调递减，在单调递增.3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数．（1）求函数的单调区间；【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【优尖升-分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；【详解】（1），当时，在R上单调递减；当时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上所述：当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为.4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析；【详解】（1）函数，当时，则在上单调递增；当时，令，得．当时，，单调递减，当时，，单调递增；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在单调递增．5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析；【详解】（1），分当时，恒成立，在上单调递减．当时，令，得；令，得在上单调递增，在上单调递减．综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减．三、导函数有效部分为可因式分解的二次型角度1：最高项系数含参1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数．(1)当时，讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析；【优尖升-分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性；（2）由（1）可知函数的单调性，可求函数的最小值，从而得证.【详解】（1）由题知，函数的定义域为，所以求导得，若，由得或，由得，所以函数在，和上单调递增，在上单调递减，若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，若，由得或，由得，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减．2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，.(1)若，求的最大值；(2)若函数，当时，讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【优尖升-分析】（1）先求出的导函数，分析导函数正负从而得出函数的单调性，由函数单调性可得出函数的最大值.（2）讨论带参函数的单调性，分类讨论导数正负情况即可.【详解】（1）当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为；（2）由已知得，，.，当时，，所以当时，单调递增；当时，，所以当与时，，单调递增，当时，，单调递减；当时，，因而当与时，，单调递增，当时，，单调递减.所以，当时，在与上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在与上单调递增，在上单调递减.3．（2024·河南郑州·二模）已知函数.(1)若是函数的极值点，求a的值；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)1(2)见解析【优尖升-分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可；（2）利用导函数求解函数的单调区间即可.【详解】（1）函数定义域为，，因为是函数的极值点，所以，解得或，因为，所以.此时，令得，令得，∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点.所以.（2）.因为，所以，令得；令得；∴所以时，函数的增区间为,时函数的单调减区间为，单调增区间为.4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性【答案】见解析.【优尖升-分析】对求导后按照两根的大小及函数定义域分类讨论，由此即可得解.【详解】，令得，当即时，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；当，即时，当时，；当或时，，所以在上单调递增，在上单调递减；当即时，在上恒成立，所以在上单调递减；当，即时，当时，；当或时，，所以在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.角度2：最高项系数不含参1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数．(1)当时，求的在上的最大值和最小值；(2)讨论的单调性．【答案】(1)最大值为9，最小值为(2)答案见解析【优尖升-分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值；（2）求导可得，分类讨论当、、时函数对应的单调性，即可求解.【详解】（1）当时，，则，令或，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以在上的最大值为9，最小值为.（2），则，令，解得或，当即时，，所以在上单调递减，在上单调递增；当即时，，在R上单调递增；当即时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.2．（2024·河南·模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）求出导函数，然后根据和分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间；（2）根据（1）的结论知，令得，结合对数运算累加法即可证明.【详解】（1）的定义域为.，①当时，在上单调递增；②当时，时，在上是增函数．时，在上是减函数，时，是增函数.3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调区间；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间；【详解】（1）由函数，可得，①若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；②若时，可得，所以在上递增，无递减区间；③若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；④若，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，①当时，增区间为，减区间为；②当时，增区间为，无减区间；③当时，增区间为，减区间为；④当时，增区间为，减区间为.4．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，.(1)当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)不存在零点，理由见解析(2)答案见解析【优尖升-分析】（1）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到恒成立，即可判断；（2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性.【详解】（1）当时，，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以恒成立，则不存在零点.（2）函数，，则，①当时可知当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；②当，即时，可知当时，当或时，所以在上单调递减，在，上单调递增；③当，即时，恒成立，所以在上单调递增；④当，即时，可知当时，当或时，所以在上单调递减，在，上单调递增；综上可得：当时的单调递减区间为，单调递增区间为；当时的单调递减区间为，单调递增区间为，；当时的单调递增区间为，无单调递减区间；当时的单调递减区间为，单调递增区间为，.四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型1．（2024·陕西西安·二模）设函数.(1)当时，讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）借助导数对、及分类讨论即可得；【详解】（1）的定义域为，，①当时，，由，得，由，得，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减，②当时，，，当时，，的区间上单调递减，③当时，由，得或，且.当变化时，的变化情况如下表：递减递增递减综上所述，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上的单调递减；当时，在区间上的单调递增，在区间和上单调递减区间；2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【优尖升-分析】求出函数的导数，对分类讨论，由导数的正负求出函数的单调区间.【详解】由题意知，函数的定义域为，且①当时，因为，所以，所以.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.②当时，由，解得；由，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增.④当时，由，解得；由，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在，上单调递增.3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.(1)若（其中为的导函数），讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出的单调区间；【详解】（1），则，当时，由得，得，∴在上单调递减，在上单调递增.当时，，∴在上单调递增，当时，令，得或；令，得，∴在上单调递减，在和上单调递增，当时，令，得或；令，得，∴在上单调递减，在和上单调递增.4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数．(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【优尖升-分析】（1）求出函数的导函数得到，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；【详解】（1）函数的定义域为，又，令，解得或．①当时，，则当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减；②当时，，则恒成立，所以在上单调递增；③当时，，则当或时，当时，所以在和上单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在和上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增；当时在和上单调递增，在上单调递减．五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型1．（2024·山东青岛·一模）已知函数．(1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程；(2)讨论的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【优尖升