2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωxφ的图象7教学教案新人教A版必修4

PAGE函数y=Asin(ωx+φ)的图象整体设计教学分析本节通过图象变换,揭示参数φ、ω、A改变时对函数图象的形态和位置的影响,探讨函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系,以及A、ω、φ的物理意义,并通过图象的改变过程,进一步理解正、余弦函数的性质,它是探讨函数图象变换的一个延长,也是探讨函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.如何经过变换由正弦函数y=sinx来获得函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探究,让学生体会到由简洁到困难、由特别到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后依次调整后,将影响图象变换这一难点的突破,让学生学会抓住问题的主要冲突来解决问题的基本思想方法;通过对参数φ、ω、A的分类探讨,让学生深刻相识图象变换与函数解析式变换的内在联系.本节课建议充分利用多媒体,提倡学生自主探究,在老师的引导下,通过图象变换和“五点”作图法,正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律,这也是本节课的重点所在.三维目标1.通过学生自主探究,理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响,A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.2.通过探究图象变换,会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图,并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.3.通过学生对问题的自主探究,渗透数形结合思想.培育学生的独立意识和独立思索实力.学会合作意识,培育学生理解动与静的辩证关系,擅长从运动的观点视察问题,培育学生解决问题抓主要冲突的思想.在问题逐步深化的探讨中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求学问的剧烈愿望,树立科学的人生观、价值观.重点难点教学重点:用参数思想分层次、逐步探讨字母φ、ω、A改变时对函数图象的形态和位置的影响,驾驭函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.课时支配1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)在物理和工程技术的很多问题中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如,物体做简谐振动时位移y与时间x的关系,沟通电中电流强度y与时间x的关系等,都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出,因此,我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.思路2.(干脆导入)从解析式来看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看,函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来,我们就分别探究φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.推动新课新知探究提出问题①在同一坐标系中作出y=2sinx及y=sinx的简图，并指出它们与y=sinx图象间的关系。活动:问题①,老师先引导学生阅读课本开头一段,老师引导学生思索探讨问题的方法.同时引导学生视察y=2sinx图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系,获得A对y=Asinx的图象的影响的详细相识.然后通过计算机作动态演示变换过程,引导学生视察改变过程中的不变量,得出它们的横向伸缩的结论.并让学生探讨探究.最终共同总结图1问题②,①作函数y=sin2x及y=sinx的简图，并指出它们与y=sinx图象间的关系。由学生作出取不同值时,函数y=sin2x及y=sinx的图象,并探究它与y=sinx的图象的关系,看看是否仍有上述结论.活动:问题②学生自主完成再进行归纳图2学生得出结论:函数y=sinωx(其中ω>0)的图象,可看作把y=sinx图象上全部点的纵坐标不变横坐标伸长(当0<ω<1)或缩短(当ω>1)到原来的1/ω倍而得到.问题③作函数y=sin(x+)和y=sin(x-)的简图，并指出它们与y=sinx图象之间的关系。老师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的阅历.为了探讨的便利,不妨先取φ=,利用计算机作出在同始终角坐标系内的图象,如图1,分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并保持它们的纵坐标相等,视察它们横坐标的关系.可以发觉,对于同一个y值,y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件,使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等),在改变过程中视察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的改变状况,这说明y=sin(x+)的图象,可以看作是把正弦曲线y=sinx上全部的点向左平移个单位长度而得到的,同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程,以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=,用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.图3假如再变换φ的值,类似的状况将不断出现,这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.问题③,引导学生通过自己的探讨相识φ对y=sin(x+φ)的图象的影响,并概括出一般结论:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上全部的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到.问题④,老师指导学生独立或小组合作进行探究,老师作适当指导.留意提示学生依据从详细到一般的思路得出结论,详细过程是:(1)以y=sin(x+)为参照,把y=sin(2x+)的图象与y=sin(x+)的图象作比较,取点A、B视察.发觉规律:图2如图2,对于同一个y值,y=sin(2x+)的图象上点的横坐标总是等于y=sin(x+)的图象上对应点的倍.教学中应当特别细致地对待这个过程,展示多媒体课件,体现伸缩变换过程,引导学生在自己独立思索的基础上给出规律.(2)取ω=,让学生自己比较y=sin(x+)的图象与y=sin(x+)图象.教学中可以让学生通过作图、视察和比较图象、探讨等活动,得出结论:把y=sin(x+)图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),就得到y=sin(x+)的图象.当取ω为其他值时,视察相应的函数图象与y=sin(x+)的图象的关系,得出类似的结论.这时ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的铺垫已经完成,学生关于ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.老师指导学生将上述结论一般化,归纳y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间的关系,得出结论:函数y=sin(ωx+φ)的图象可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上全部点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.问题⑤,老师点拨学生,探究A对图象的影响的过程,与探究ω、φ对图象的影响完全一样,激励学生独立完成.学生视察y=3sin(2x+)的图象和y=sin(2x+)的图象之间的关系.如图3,分别在两条曲线上各取一个横坐标相同的点A、B,沿两条曲线同时移动这两点,并使它们的横坐标保持相同,视察它们纵坐标的关系.可以发觉,对于同一个x值,函数y=3sin(2x+)的图象上的点的纵坐标等于函数y=sin(2x+)的图象上点的纵坐标的3倍.这说明,y=3sin(2x+)的图象,可以看作是把y=sin(2x+)的图象上全部的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到的.通过试验可以看到,A取其他值时也有类似的状况.有了前面两个参数的探究,学生得出一般结论:函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上全部点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到,从而,函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象改变的影响状况.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象;再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度,得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最终把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.⑥引导学生类比得出.其依次是:先伸缩横坐标(或纵坐标),再伸缩纵坐标(或横坐标),最终平移.但学生很简洁在第三步出错,可在图象变换时,对比变换,以引起学生留意,并体会一些细微环节.由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.老师适时地引导学生回顾思索整个探究过程中体现的思想:由简洁到困难,由特别到一般的化归思想.探讨结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响,然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.②略.③图象左右平移,φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.④纵坐标不变,横坐标伸缩,ω影响了图象的形态.⑤横坐标不变,纵坐标伸缩,A影响了图象的形态.⑥可以.先伸缩后平移(提示学生尽量先平移),但要留意第三步的平移.y=sinx的图象得y=Asinx的图象得y=Asin(ωx)的图象得y=Asin(ωx+φ)的图象.规律总结:先平移后伸缩的步骤程序如下:y=sinx的图象得y=sin(x+φ)的图象得y=sin(ωx+φ)的图象得y=Asin(ωx+φ)的图象.先伸缩后平移的步骤程序(见上).应用示例例1.如何由的图像得到的图像活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学学问方法.(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ＝,ω＝,A＝3,激励学生依据本节所学内容自己写出得到的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上全部点向右平行移动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)而得到函数的图象.(2)学生完成以上变换后,为了进一步驾驭图象的变换规律,老师可引导学生作换个依次的图象变换,要让学生自己独立完成,细致体会改变的实质.(3)学生完成以上两种变换后,就得到了两种画函数,简图的方法,老师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数)的简图,并激励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.知能训练课本本节练习1、2.解答:1.如图6.点评:第(1)(2)(3)小题分别探讨了参数A、ω、φ对函数图象的影响,第(4)小题则综合探讨了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响.2.(1)C;(2)B;(3)C.点评:判定函数y=A1sin(ω1x+φ1)与y=A2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度,在A1与A2,ω1与ω2,φ1与φ2中,每题只有一对数值不同.课堂小结1.由学生自己回顾总结本节课探究的学问与方法,以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的相识,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.2.老师强调本节课借助于计算机探讨并画出y=Asin(ωx+)的图象,并分别视察参数φ、ω、A对函数图象改变的影响,同时通过详细函数的图象的改变,领悟由简洁到困难、特别到一般的化归思想.作业1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=sin(-2x)的图象.2.要得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到?3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x,作图过程:y=sinxy=sin2xy=sin2x.2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+),∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可.3.∵y=cos2x+1,∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍,再将所得曲线上全部的点向上平移1个单位长度,即可得到曲线y=cos2x+1.设计感想1.本节图象较多,学生活动量大,因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具,从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体改变的影响.这符合新课标精神,