2024-2025学年高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修5

PAGE3．1不等关系与不等式内容标准学科素养1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系．2.初步学会作差法比较两实数的大小．3.驾驭不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.发展逻辑推理应用数学建模授课提示：对应学生用书第50页[基础相识]学问点一不等关系eq\a\vs4\al(阅读教材P72－74，思索并完成以下问题)“横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同”，不等关系也是自然界中存在着的基本数量关系．(1)限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/提示：v≤40.(2)如图，在日常生活中，我们常常看到下列标记：其含义分别为①最低限速：限制行驶时速v不得低于50km/h；②限制质量：装载总质量m不得超过10t；③限制高度：装载高度h不得超过3.5m；④限制宽度：装载宽度a不得超过3m；⑤时间范围：t∈[7.5,10]．你能用数学式子表示上述关系吗？提示：①v≥50；②m≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.学问梳理(1)我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)不等式中的文字语言与符号语言之间的转换.文字语言大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于符号语言＞≥＜≤≤≥≥≤学问点二作差法比较大小eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)a与b的大小和a－b的运算符号有什么关系？①若a＞b，那么a－b是正是负？②若a＝b，那么a－b如何？③若a＜b，那么a－b如何？提示：①正；②零；③负．学问梳理比较两个实数a，b大小的依据文字语言符号表示假如a>b，那么a－b是正数；假如a<b，那么a－b是负数；假如a＝b，那么a－b等于0，反之亦然a>b⇔a－b>0a<b⇔a－b<0a＝b⇔a－b＝0学问点三不等式的性质eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)若a＞b，可得出哪些不等式成立？若a＞b，①a＋2＞b＋2成立吗？②2a＞2b成立吗？③－2a＞－2b成立吗？④a2＞b2成立吗？提示：①成立；②成立；③不成立；④不肯定成立．学问梳理常用的不等式的性质性质别名性质内容留意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c⇒3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性,a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥2)同正8可开方性,a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N*，n≥2)思索假如a＞b，增加一个什么条件，可得出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)？提示：ab＞0.授课提示：对应学生用书第2页探究一用不等式表示不等关系[阅读教材P72－73问题1、2、3]方法步骤：(1)分析题意理清不等关系．(2)用不等式表示关系．[例1](1)一个工程队规定要在6天内完成300土石方的工程，第一天完成了60土石方，现在要比原支配至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土石方数x应满意的不等式为()A．3x≥300－60 B．4x≥300－60C．5x≥300－60 D．6x≥300－60[解析]由题意知，剩余3天所能完成土石方数应当不小于所剩余的土石方数，因此有3x≥300－60.[答案]A(2)已知某地篮球球迷一行56人从旅馆乘出租车到现场为山东队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部支配乘甲队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有一辆车未坐满，若全部支配乘乙队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．设甲队有x辆车，用不等式将题目中的不等关系表示出来．[解析]因为甲队有x辆车，所以乙队有(x＋3)辆车，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，x∈N*，,x＋3＞0，,5x＜56，,56＜6x＜62，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))方法技巧1．将不等关系表示成不等式的思路(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．(2)用适当的不等号连接．(3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应留意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应留意必需是具有相同性质，可以进行比较的两个(或几个)量，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．第三章不等式数学·必修5跟踪探究1.某校对高一美术生划定录用分数线，专业成果x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成果z超过45分，用不等式(组)表示为()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y≥380，,z＞45)) B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y＞380，,z≥45))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞95，,y＞380，,z＞45)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥95，,y＞380，,z＞45))解析：“不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.答案：D2．某商人假如将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采纳提高售价，削减进货量的方法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应削减10件．若把提价后商品的售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？解析：若提价后商品的售价为x元，则销售量削减10(x－10)件，因此，每天的利润为(x－8)[100－10(x－10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x－8)[100－10(x－10)]≥300.探究二比较大小[阅读教材P75B组第1题的第(4)小题]比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．解析：作差：x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2＋y2－2x－2y＋3.＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．[例2]已知a＞0，试比较a与eq\f(1,a)的大小．[解析]因为a－eq\f(1,a)＝eq\f(a2－1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)，a＞0，所以当a＞1时，eq\f(a－1a＋1,a)＞0，有a＞eq\f(1,a)；当a＝1时，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，有a＝eq\f(1,a)；当0＜a＜1时，eq\f(a－1a＋1,a)＜0，有a＜eq\f(1,a).综上，当a＞1时，a＞eq\f(1,a)；当a＝1时，a＝eq\f(1,a)；当0＜a＜1时，a＜eq\f(1,a).延长探究1.把本例的条件“a＞0”改为“a＜0”，试比较a与eq\f(1,a)的大小．解析：a－eq\f(1,a)＝eq\f(a－1a＋1,a)当a＝－1时，eq\f(a－1a＋1,a)＝0，∴a＝eq\f(1,a)当－1＜a＜0时，a－1＜0，a＋1＞0，∴eq\f(a－1a＋1,a)＞0∴a＞eq\f(1,a)当a＜－1时，a－1＜0，a＋1＜0，∴eq\f(a－1a＋1,a)＜0，∴a＜eq\f(1,a).综上：当a＝－1时，a＝eq\f(1,a)；当－1＜a＜0时，a＞eq\f(1,a)，当a＜－1时，a＜eq\f(1,a).方法技巧作差法比较两个实数(代数式)大小的步骤第一步：作差并变形，其目标是应简洁推断差的符号．变形有两种情形：①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘．②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后推断．其次步：推断差值与零的大小关系．第三步：得出结论．[例3]若a＞b＞0，试比较：aabb与abba的大小．[解析]法一：aabb－abba＝abba(aa－b·bb－a－1)＝abbaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1))∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，∴a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1＞0∴abbaeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b－1))＞0，∴aabb＞abba.法二：eq\f(aabb,abba)＝aa－bbb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b，∵a＞b＞0，∴eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，即eq\f(aabb,abba)＞1，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.方法技巧对于随意两个正数a，b，通过比较eq\f(a,b)与1的大小关系，从而得到正数a，b的大小关系，详细方法如下：当a＞0，b＞0时，eq\f(a,b)＞1⇔a＞b；eq\f(a,b)＝1⇔a＝b；eq\f(a,b)＜1⇔a＜b.延长探究2.将本例变为：设a＞0，b＞0，试比较aabb与abba的大小．解析：∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，abba＞0，∴eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b.当a＞b＞0时，eq\f(a,b)＞1，a－b＞0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴aabb＞abba；当a＝b时，eq\f(a,b)＝1，a－b＝0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＝1，∴aabb＝abba；当b＞a＞0时，0＜eq\f(a,b)＜1，a－b＜0，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))a－b＞1，∴aabb＞abba.综上所述，当a＞0，b＞0时，aabb≥abba，当且仅当a＝b时，等号成立．探究三不等式性质的应用角度1证明不等式[阅读教材P74例1]方法步骤：(1)依据性质4，得出倒数大小eq\f(1,b)＞eq\f(1,a).(2)依据性质4，得出所证：eq\f(c,b)＜eq\f(c,a).[例4](1)给出下列命题：①若ab＞0，a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；②若a＞|b|，则a2＞b2；③若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d；④对于正数a，b，m，若a＜b，则eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m).其中真命题的序号是：________.[解析]对于①，若ab＞0，则eq\f(1,ab)＞0，又a＞b，所以eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)，所以eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，所以①正确；对于②，若a＞|b|≥0，则a2＞b2，所以②正确；对于③，若a＞b，c＞d，则－c＜－d，所以－d＞－c，所以a－d＞b－c，所以a－c＞b－d不成立，③错误；对于④，对于正整数a，b，m，若a＜b，则eq\f(a,b)＜eq\f(a＋m,b＋m)成立，即a(b＋m)＜b(a＋m)，所以am＜bm，所以a＜b，④正确．综上，正确的命题序号是①②④.[答案]①②④(2)已知a＞b＞0，c＜d＜0.求证：eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).[证明]因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.所以0＜－eq\f(1,c)＜－eq\f(1,d).又因为a＞b＞0，所以－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0.所以eq\r(3,\f(－a,d))＞eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))＞－eq\r(3,\f(b,c)).两边同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))＜eq\r(3,\f(b,c)).方法技巧1．运用不等式的性质推断真假的技巧(1)首先要留意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不要想当然随意捏造性质．(2)解决有关不等式选择题时，也可采纳特值法进行解除，留意取值肯定要遵循以下原则：一是满意题设条件；二是取值要简洁，便于验证计算．2．利用不等式的性质证明简洁不等式的实质及留意点(1)实质：利用不等式性质证明简洁的不等式的实质就是依据性质把不等式变形．(2)留意点：①记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用；②应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，且不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．延长探究3.例4(2)中，增加条件：e＜0，证明：eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).证明：eq\f(e,a－c2)－eq\f(e,b－d2)＝eq\f(e[b－d2－a－c2],a－c2b－d2)＝eq\f(eb－d＋a－cb－d－a＋c,a－c2b－d2)＝eq\f(e[a＋b－c＋d][b－a＋c－d],a－c2b－d2).因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0，所以(a＋b)－(c＋d)＞0，(b－a)＋(c－d)＜0.因为e＜0，所以e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]＞0.又因为(a－c)2(b－d)2＞0，所以eq\f(e,a－c2)－eq\f(e,b－d2)＞0，所以eq\f(e,a－c2)＞eq\f(e,b－d2).角度2利用性质比较大小[阅读教材P75A组第2题的第(2)题]比较eq\r(7)＋eq\r(10)与eq\r(3)＋eq\r(14)的大小解析：(eq\r(7)＋eq\r(10))2＝17＋2eq\r(70).(eq\r(3)＋eq\r(14))2＝17＋2eq\r(42)∵70＞42＞0，∴2eq\r(70)＞2eq\r(42).∴17＋2eq\r(70)＞17＋2eq\r(42).即(eq\r(7)＋eq\r(10))2＞(eq\r(3)＋eq\r(14))2，∴eq\r(7)＋eq\r(10)＞eq\r(3)＋eq\r(14).[例5]若P＝eq\r(a＋6)＋eq\r(a＋7)，Q＝eq\r(a＋5)＋eq\r(a＋8)(a＞－5)，则P，Q的大小关系为()A．P＜Q B．P＝QC．P＞Q D．不能确定[解析]P2＝2a＋13＋2eq\r(a＋6a＋7)，Q2＝2a＋13＋2eq\r(a＋5a＋8)，因为(a＋6)(a＋7)－(a＋5)(a＋8)＝a2＋13a＋42－(a2＋13a＋40)＝2＞0，所以(a＋6)(a＋7)＞(a＋5)(a＋8)，所以eq\r(a＋6a＋7)＞eq\r(a＋5a＋8)，所以P2＞Q2，所以P＞Q.[答案]C方法技巧先比较两个基本数的大小，利用不等式性质，加法、乘法和乘方、开方等推导出所要比较的两个数的大小．跟踪探究3.实数a＝eq\r(6)－eq\r(5)，b＝eq\r(7)－eq\r(6)，c＝eq\r(7)－2，则a，b，c的大小关系是()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞b解析：因为eq\r(6)＞2，所以eq\r(7)－eq\r(6)＜eq\r(7)－2，即b＜c.因为a2＝11－2eq\r(30)，c2＝11－2eq\r(28)，且a＞0，c＞0，所以a＜c.由a＝eq\r(6)－eq\r(5)＝eq\f(1,\r(6)＋\r(5))，b＝eq\r(7)－eq\r(6)＝eq\f(1,\r(7)＋\r(6))，得a＞b.综上所述，c＞a＞b.答案：D角度3利用不等式性质求范围[例6](1)已知1＜a＜2，－2＜b＜－1，则eq\f(a,b)的取值范围是________．(答案写成区间或集合)(2)已知a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，则4a－2b的取值范围是________[解析](1)因为－2＜b＜－1，所以－1＜eq\f(1,b)＜－eq\f(1,2)，所以0＜eq\f(1,2)＜－eq\f(1,b)＜1.又因为0＜1＜a＜2，所以eq\f(1,2)＜－eq\f(a,b)＜2，所以－2＜eq\f(a,b)＜－eq\f(1,2).(2)因为a－b∈[0,1]，a＋b∈[2,4]，又4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)，0≤3(a－b)≤3，所以2≤4a－2b[答案](1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))(2)[2,7]延长探究4.若本例(2)的条件不变，求eq\f(4a＋2b,4a－2b)的取值范围．解析：4a＋2b＝3(a＋b)＋(a－b)6≤3(a＋b)≤12∴6≤4a＋2b≤13又∵2≤4a－2b≤7∴eq\f(1,7)≤eq\f(1,4a－2b)≤eq\f(1,2)∴eq\f(6,7)≤eq\f(4a＋2b,4a－2b)≤eq\f(13,2)，即eq\f(4a＋2b,4a－2b)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，\f(13,2))).方法技巧利用不等式性质求代数式的取值范围的留意事项(1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实留意不等式性质的前提条件，切不行用“好像是很明显”的理由，代替不等式的性质，如a＞b及c＞d，推不出ac＞bd；由a＞b，推不出a2＞b2等．(3)精确运用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．授课提示：对应学生用书第54页[课后小结](1)比较两个数的大小，有作差法作商法及不等式性质法．作差法，主要适合于差易变形为积(商)的形式．作商法，主要适合于“幂、指数、对数、含肯定值”的两个数的大小．当作商法、作差法不能干脆比较时，可考虑不等式性质进行推导．(2)不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不行想当然．[素养培优]1．错用不等式的性质致误给出下列命题，其中正确的是________．(只填序号)①若a＞b，则a2＞b2；②若a－d＞b－c，则a＞b，c＜d；③若a＜b，则eq\f(1,ab2)＜eq\f(1