2024-2025学年高考数学一轮复习专题4.3应用导数研究函数的极值最值知识点讲解含解析

专题4.3应用导数探讨函数的极值、最值【考纲解读与核心素养】1.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、微小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.2．培育学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.3.高考预料：（1）以探讨函数的单调性、单调区间等问题为主，依据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；（2）单独考查利用导数探讨函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.其中探讨函数的极值、最值，都绕不开探讨函数的单调性．（3）以探讨函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．（4）单独考查利用导数探讨函数的某一性质以小题呈现，综合探讨函数的性质以大题呈现；（5）适度关注生活中的优化问题.4.备考重点：（1）娴熟驾驭导数公式及导数的四则运算法则是基础；（2）娴熟驾驭利用导数探讨函数的单调性、极值（最值）的基本方法，敏捷运用数形结合思想、分类探讨思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【学问清单】1．函数的极值(1)函数的微小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的微小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的微小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b旁边的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【典例剖析】高频考点一：函数极值的辨析【典例1】（2024·江苏高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（）A．是函数的微小值点B．是函数的微小值点C．函数在区间上单调递增D．函数在处切线的斜率小于零【答案】BC【解析】由图象得时，，时，，故在单调递减，在单调递增，故是函数的微小值点，故选：BC．【典例2】（2024·山东高二期中）【多选题】已知函数，则（）A．时，的图象位于轴下方B．有且仅有一个极值点C．有且仅有两个极值点D．在区间上有最大值【答案】AB【解析】由题,函数满意,故函数的定义域为由当时，所以，则的图象都在轴的下方，所以A正确；又，在令则，故函数单调递增，则函数只有一个根使得当时函数单调递減，当时，函数单调递增，所以函数只有极值点且为微小值点，所以B正确，C不正确；又所以函数在先减后增，没有最大值，所以D不正确.故选：AB.【总结提升】1.函数极值的辨析问题，特殊是有关给出图象探讨函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，假如给的是f′(x)的图象，应先找出f′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．2.f(x)在x＝x0处有极值时，肯定有f′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为微小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x1<x0<x2时，f(x1)·f(x2)<0，才可确定f(x)在x＝x0处取得极值．【变式探究】1.（2024·浙江高考模拟）已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a)2lnx（）A．有极大值，无微小值B．有微小值，无极大值C．既有极大值，又有微小值D．既无极大值，又无微小值【答案】C【解析】由题意，，由，得或，由方程，结合函数图象，作出和的图象，结合图象得和的图象有交点，∴方程有解，由此依据函数的单调性和极值的关系得到：函数既有极大值，又有微小值具有极大值，也有微小值，故选C.2.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中肯定成立的是(D)A．函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和微小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和微小值f(2)【答案】D【解析】由函数的图象可知，f′(－2)＝0，f′(1)＝0，f′(2)＝0，并且当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜1，f′(x)＜0，函数f(x)有极大值f(－2)．又当1＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，故函数f(x)有微小值f(2)．故选D．【易错提示】（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．高频考点二：已知函数求极值点的个数【典例3】（2024·河南高考模拟（文））已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极值点个数.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）依题意，，故，又，故所求切线方程为.（2）依题意.令，则，且当时，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，，当时，恒成立，.函数在区间单调递增，无极值点；当时，，故存在和，使得，当时，，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在和单调递增，所以为函数的极大值点，为函数的微小值点.综上所述，当时，无极值点；当时，有个极值点.【易错提示】极值点处的导数为0，而导数为0的点不肯定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．【变式探究】（2024·全国高考模拟（理））设，则函数A．仅有一个微小值B．仅有一个极大值C．有多数个极值D．没有极值【答案】A【解析】，得.设，则.即为增函数，且.所以当,则单调递减；当,则单调递增，且.所以函数仅有一个微小值.故选A.高频考点三：已知函数求极值（点）【典例4】（2024·山东高考真题（文））已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,探讨的单调性并推断有无极值,有极值时求出极值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因为，所以，，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到微小值，微小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无微小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到微小值，微小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有微小值，极大值是，微小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有微小值，极大值是，微小值是.【规律方法】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的全部根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,假如左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,假如左负右正,那么f(x)在x0处取微小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．【变式探究】（2024·山东潍坊中学高二月考）已知是的微小值点，那么函数的极大值为______.【答案】【解析】函数的导数，由题意得，，即，解得．，，，得或，即函数在和上单调递增；，得，函数在上单调递减；故在处取微小值，处取极大值，且为．即故答案为：．高频考点四：已知极值(点)，求参数的值或取值范围【典例5】（2024·北京高考真题（文））设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得微小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得微小值.若，则当时，，所以.所以1不是的微小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的改变状况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的改变状况如下表：x1+0−0+↗极大值↘微小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的改变状况如下表：x+0−0+↗极大值↘微小值↗∴在x=1处取得微小值，即a>1满意题意.（3）当a<0时，令得.随x的改变状况如下表：x−0+0−↘微小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【规律方法】由函数极值（个数）求参数的值或范围．探讨极值点有无(个数)问题，转化为探讨f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特殊留意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不肯定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．【变式探究】（2024·石嘴山市第三中学高二期末（理））设函数在处取得极值为0，则__________．【答案】【解析】，因为函数y=f(x)在处取得极值为0，所以，解得（舍）或，代入检验时．无极值．所以（舍）．符合题意．所以=．填．【特殊提示】已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，留意以下两点：(1)依据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必需验证充分性．高频考点五：利用导数求函数的最值【典例6】(2024北京，理19)已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【规律方法】求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；其次步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的改变表；第四步求极值、端点值，比较大小，确定最值．特殊警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．【典例7】（2024·全国高考真题（文））已知函数.（1）探讨的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【易错提示】求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要探讨其极值状况，还要探讨其单调性，并通过单调性和极值状况，画出函数的大致图象，然后借助图象视察得到函数的最值．【变式探究】1.（2024·浙江宁波诺丁汉附中高二期中）已知函数则的最小值为________，最大值为_______.【答案】【解析】则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则当时，；又，所以.故答案为：；.2.（2024·新疆高考模拟（文））已知函数（其中e是自然对数的底数）．Ⅰ当时，求的最小值；Ⅱ当时，求在上的最小值．【答案】（I）；（II）【解析】（I）时，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增当时，取得最小值（II），令得作出和的函数图象如图所示：由图象可知当时，，即当时，，即在上单调递减，在上单调递增的最小值为高频考点六：依据函数的最值求参数的值（范围）【典例8】（2025届浙江省之江教化评价联盟高三其次次联考）已知函数，其中，，记为的最小值，则当时，的取值范围为___________.【答案】【解析】函数，导数，当时，，在递增，可得取得最小值，且为，由题意可得方程有解；当时，由，可得(负的舍去)，当时，，在递增，可得为最小值，且有，方程有解；当时，在递减，在递增，可得为最小值，且有，即，解得.综上可得的取值范围是.故答案为：.【易错提示】1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的改变，从而导致最值的改变，故含参数时，需留意是否分类探讨．2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，推断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数