《2.2用函数模型解决实际问题》导学案

《2.2用函数模型解决实际问题》导学案标题：高中北师大版必修1第四章函数应用§2实际问题的函数建模2.2用函数模型解决实际问题导学案班级：________________姓名：________________【学习目标】1、能识别实际问题中的函数关系，理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具。2、学会根据实际问题建立函数模型，提高运用函数知识解决实际问题的能力。【重点和难点】重点：根据实际问题建立合适的函数模型。难点：如何从实际问题中抽象出函数关系，准确地确定函数的定义域。【创设情境】同学们，咱们先来看个好玩的事儿。假如你去买水果，苹果是按斤卖的，每斤价格是固定的，那你买苹果花的钱和你买的斤数之间有啥关系呢？这就是一种简单的函数关系。那在生活中还有好多这样的事儿呢。比如说出租车计费，有个起步价，然后超出一定里程后又按每公里多少钱来算，这里面也有函数关系。现在我们就来深入研究一下生活中的这些函数关系在实际问题中的建模吧。【合作探究】活动一：阅读与思考大家先阅读课本上的一些实际问题案例，比如说人口增长问题、物体冷却问题等。在阅读的时候，要思考这些问题里有哪些变量，这些变量之间可能存在什么样的函数关系呢？比如说人口增长问题里，时间和人口数量是变量，那人口数量是不是随着时间的变化按照某种规律在增长呢？这个规律可能是一个函数哦。读完之后呢，和你周围的小伙伴讨论一下。提示：注意看问题里有没有一些固定不变的量（常量），还有变量是怎么随着其他因素变化的。活动二：建立函数模型咱们就拿课本上的一个例子来说，有一个工厂生产某种产品，每生产一件产品的成本是固定的，还有一些固定的设备维护费用等等。如果生产的产品数量是x，总成本是y，那怎么建立y和x之间的函数关系呢？大家一起讨论一下，试着写出这个函数关系式。归纳：建立函数模型的时候，首先要确定问题中的变量和常量，然后根据变量之间的关系，选择合适的函数类型（比如一次函数、二次函数等），最后确定函数的表达式。【典型例题】例1：某公司生产一种电子产品，已知每月的固定成本为20万元，每生产一个产品的变动成本为100元，产品售价为200元。设每月生产x个产品，利润为y元。（1）写出利润y与产量x之间的函数关系式。（2）当月产量为多少时，公司不盈不亏（利润为0）？解：（1）总成本为固定成本加上变动成本，即200000+100x元，销售收入为200x元。利润等于销售收入减去总成本，所以函数关系式为：y=200x-(200000+100x)=100x-200000（2）当利润为0时，即100x-200000=0移项可得100x=200000解得x=2000所以当月产量为2000个时，公司不盈不亏。例2：有一个物体在常温下的温度是20°C，把它放在一个温度为100°C的环境中，物体的温度会升高。经过实验发现，物体的温度y（°C）与时间t（分钟）之间近似满足一次函数关系，经过10分钟后，物体温度为30°C。（1）求物体温度y与时间t之间的函数关系式。（2）经过多少分钟后，物体温度能达到50°C？解：（1）设函数关系式为y=kt+b，因为物体初始温度为20°C，所以当t=0时，y=20，即b=20。又因为经过10分钟后，物体温度为30°C，所以把t=10，y=30代入函数关系式得：30=10k+20移项可得10k=10解得k=1所以函数关系式为y=t+20。（2）当y=50时，即50=t+20移项可得t=30所以经过30分钟后，物体温度能达到50°C。练习：课本相关习题。【当堂反馈】1、某商店出售一种商品，每件成本为30元，根据市场调查，当售价为每件50元时，每月能售出200件。若售价每提高1元，每月销售量就减少10件。设每件商品的售价为x元（x≥50），每月的销售量为y件。（1）写出y与x之间的函数关系式：____________。（2）每月的利润为w元，写出w与x之间的函数关系式：____________。2、某放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%。设这种物质最初的质量为1千克。（1）写出经过x年后，这种物质的剩留量y与x之间的函数关系式：____________。（2）经过多少年，这种物质的剩留量是原来的一半（结果保留整数）：____________。答案：1、（1）y=200-10(x-50)=-10x+700（2）w=(x-30)(-10x+700)=-10x²+1000x-210002、（1）y=1×0.84^x（2）由0.5=0.84^x，两边取对数可得x=log₀.₈₄0.5≈4（这里取近似值，具体计算根据对数表或者计算器）【课堂小结】今天我们学习了用函数模型解决实际问题。首先要善于从实际问题中找出变量和常量，然后根据变量之间的关系选择合适的函数类型建立函数模型。在这个过程中，要注意函数的定义域，也就是变量的取值范围，这要根据实际问题的意义来确定。【课后作业】1、某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且每生产一单位产品，成本增加1万元。又知总收入K是单位产品数Q的函数，并且K(Q)=4Q-\frac{1}{200}Q²。那么总利润L(Q)的最大值是多少万元？2、拓展提升：（1）在例1中，如果考虑市场需求，产品的产量x不能超过3000个，那么公司的最大利润是多少？（2）有一种传染病，传播速度很快。假设最初有1个人患病，每轮传染中平均一个人传染给x个人。经过两轮传染后共有121人患病，求x的值。答案：1、总利润L(Q)=K(Q)-(200+Q)=4Q-\frac{1}{200}Q²-200-Q=-\frac{1}{200}Q²+3Q-200。对于二次函数y=ax²+bx+c（这里a=-\frac{1}{200}，b=3，c=-200），当Q=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2×(-\frac{1}{200})}=300时，利润最大，最大值为L(300)=-\frac{1}{200}×300²+3×300-200=250万元。2、（1）利润函数为y=100x-200000（x≤3000），当x=3000时，最大利润为y=