【猜想的思想在数学探析中的应用（论文）5600字】

猜想的思想在数学分析中的应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u摘要 1引言 21.猜想的思想方法与实现途径 32.猜想的思想方法总结 42.1由归纳产生猜想 42.2由直观产生猜想 42.3由类比产生的猜想 53.猜想的思想在数学分析中的举例及应用 63.1由归纳产生猜想在数学分析中的应用 63.2由直观产生猜想在数学分析中的应用 113.3由类比产生猜想在数学分析中的应用 13结束语 17参考文献 18摘要：在数学分析中，猜想的产生主要分为三类，分别是由归纳产生猜想、由直观产生猜想、由类比产生猜想．本文首先概述了猜想思想在数学研究中的意义和在数学分析中的研究现状，然后分别针对三种猜想思想的方法进行了分类讨论，分别举例说明三种猜想方法在数学分析应用中的呈现形式，并进一步探究这些猜想方法的形成过程，体现了猜想思想在数学分析中的地位和作用．关键词：猜想的思想;归纳;直观观察;类比引言牛顿曾说过，没有大胆的假设，伟大的发现是不可能实现的．数学自然而然的逻辑之美都是很受欢迎的．从逻辑上说，猜想的理论得到科学的支持需要理由证明这样的推论结果是正确的，并且这些论据和过程也是创造性的行为，找到论据是找到科学方法的重要过程．在数学发现史上有许多重要的著名猜想，在这些猜想中，数学家做过了许多数学研究，也给出了很多例子，但并没有严格的逻辑，对于数学猜想需要进行严格的证明才能变成结论．在不完美的教学方式与数学学习相结合的情况下，汪树成在文献[1]中提供了关于在实践中学习数学的思维方式和方法，尽量避免填鸭式学习；明廷桥在文献[2]中研究了怎么利用猜想策略进行数学教学的问题，并说明要利用猜想训练学生思维，鼓励学生的创造力和兴趣；刘发证在文献[3]中对在数学教学中的数学思维方式与数学创新能力的培养方法进行了深入探究，介绍了三种猜想思维方式，阐述了猜想思维方式与学生的数学创新能力的密切相关性；刘兆明和崔凤午在文献[4]中提出一种数学猜想方法，并阐述了猜想法在数学研究中的意义，数学研究人员对猜想的态度以及想象力在科学研究中的作用，这种计算方法充分反映了科学研究方法的重要性；冯爱芬和李温利在文献[5]中展示了一种实践方法，可以从辩证角度研究数学猜想的方法并展现了数学猜想方法在数学发展中的地位，进一步对提升教育质量产生了重要影响；吴维炫在文献[6]中研究了猜想的规律和方法，说明了数学猜想不仅提供了研究数学事实的基础，也丰富了数学知识，完美地诠释了数学猜想的意义；王杨和孟秋在文献[7]中研究了四种猜想方法和数学推理的应用，并解释了数学推理的重要性；波利亚在文献[10]中介绍了数学与猜想的联系，诠释了猜想思想在数学中的魅力；在文献[11]中的极限部分展现了猜想思想在数学分析中的具体应用；姜启源和叶俊在文献[12]中介绍了数学猜想在数学模型建立时的作用和意义；杨时川在文献[13]中研究了整数猜想的证明过程，表明了猜想思想在数学教学中的重要地位．本文分别针对三种猜想途径进行分析，从归纳法、直观观察法、类比法进行猜想．通过例题解答过程的形式呈现猜想的过程进而探究猜想方法的形成，彰显了猜想思想在数学分析中的地位．1.猜想的思想方法与实现途径面对大量的观察和实验时，注意到实验对象满足一些特殊规律，将这些规律由特殊推广至一般情况，提出一个待证明的命题，这就是猜想的整个过程[7]．猜想是一种检测方式，用来评估事物的改变方向，然后在没有严格的逻辑基础下提出建议，由事物变化方向进行的试探性判断建立起来的没有严格逻辑证明的新命题，进而经过论证获得问题解法的方法，具有鲜明的新颖性和创造性．猜想的方法有三种，分别如下．归纳猜想，是数学中反映一般科学规律的重要方法．首先，它把一些事物延伸到另一些事物，从而创造出一些事物的共同特征．直观猜想，这种猜想方法是让学生通过观察实体事物的模型和动手实验操作，根据对实体事物的观察、理解和分析，在感性认知的基础上提出合理猜想，这是直观思维的重要部分之一，本能的想象力是创造性思维的重要组成部分，是人们受到事物突然变化的激励，或者从某些预感中得到的启发．类比猜想，是一种数学推理方法，它的基础是两种特征相同或相似的现象，它们一定有着相同或类似的模式．例如，计算平行四边形的基本性质类比矩形的性质，并不是类比矩形为立方体的基本性质．类比的方法为：“观察、联想、类比”，它的相似度基于类比过程中的相似度．数学猜想是以已知的数学的定义和结论为基础来确定未知量及其之间的关系[8]．在数学理论中具有先导性．大多数的数学理论都是经过猜想建立起来的，这就是数学中的合情推理[9]．波利亚认为数学中有两种推理形式：一种是论证推理，另一种是合情推理，但它们并不矛盾，在数学理论的发展过程中，这两个推理的作用是双向的．在严格推理中，首先要区分猜想和伪实验的证据，但讨论时应当区分更多的有效猜想和假说，所以数学猜想是合情合理的，并不是不合理的乱猜．数学猜想有科学、创新、假定三个特点．科学性，数学猜想并不是通常意义上的假设，也不是盲目猜测或主观猜测，而是对数学的合理猜测和评价，未知的数学关系是基于数学经验和数学事实的．创新性，创新是数学猜想的前提，解决问题主要通过产生想法、寻找新的事实和发现新的模型来实现数学猜想的创新．假定性，由上文可知数学猜想是科学的，但是一种看似为真的判断，具有猜测的性质．它是否符合数学的实际，是否把握了真理都有待验证和证明，这就是假定性猜想．现实的猜想可以包括研究实验、类比、联想、建构等，数学猜想是类似于广义定律的一种定律，在证明一个数学问题之前要根据数学知识和经验估算出内容．总之，数学猜想的实现途径主要分为如下几种：①类比猜想；②归纳猜想；③对称猜想；④仿造猜想；⑤逆向猜想．2.猜想的思想方法总结数学分析中的许多理论和解决问题的过程都蕴含着猜想的思想，这些理论和解决问题的过程基本都是先进行细致的观察、分析和归纳，进而对可能出现的结果做出初步的判断产生初步猜想，最后进行严格的推理和论证，在数学分析中，产生猜想的途径主要有下述几种．2.1由归纳产生猜想数学分析中对一些事物的认识是一个无限发展的过程，我们很难把握，只能通过对这些问题做有限次的归纳与验证推测猜想出该事物的无限变化趋势，这就是基于归纳的猜想．如德国数学家哥德巴赫从等算式中观察出两个奇数之和等于一个偶数，然后他做了进一步的实验后发现，，，，，，然后他得出了以下猜想，若任一偶数既不是素数也不是素数平方（大于4的偶数），则它必然是两个奇素数之和．2.2由直观产生猜想通过对事物直观形式的观察，推测猜想出该事物抽象的一般理论，这种猜想方法称为直观产生的猜想，以下对直观的猜想进行分析，分为几何直观思想和数形结合思想．在一般情况下，数学分析中的一些定理和结论都是通过几何直观猜想得到的．几何直观有两个方面：首先就是图形，其次是直觉，直觉不仅是视觉上的，还有在看到数字之后也可以联想到图形．几何直观是通过虚拟的现象来增加对图像的直觉，几何图像可以对问题的发现和描述起到积极的帮助作用，进而加快问题的解决速度．几何直观在数学研究学习中占据着较为重要的地位．此外，数形结合的思想也是靠直觉感受的，它可以体现抽象数学问题的直观性，同时，它也让那些最复杂的数学问题变得简单化，它解决了所有需要用抽象思维和图像来解决的问题，并且促进了抽象思维和想象的共同发展，进而优化解决方案．数形结合是由数字和形态学之间相对和相互变换而成的，数学是一门研究空间形状和数量关系的科学．数字和图像之间的关系是对立及统一的，数形结合方法只有在特定的条件下才能运用，数与形结合的核心是理想的代数和其他不同图形的结合，以此来简化数学问题．例如，凸函数中，对于一元函数，如果任意的，均满足：，利用数形结合思想可以在图像上直观地看出其特点(如图1)：1．一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导函数在该区间上不是单调减函数．2．一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数图像位于它的所有切线上方．3．凸函数的任何极小值也是最小值．图1凸函数的图像．2.3由类比产生的猜想类比法是基于不同的两个对象之间某些相似或相同的方面，猜测到它们在其他方面相似或相同的方法，它是以比较为基础，从特殊到特殊的一种推理方法．但是类比方法也有局限性，应用类比方法时应注意，只有本质上相似或相同的事物才能运用类比，如果仅把形式上相似但本质上不同的事物进行类比就会出现误差．例如，把与或类比，把与类比，常造成下列错误，，，．当运用类比法进行猜想进而解决问题时，其基本过程可由框图表示如下．图2类比法解决问题的基本过程．3．猜想的思想在数学分析中的举例及应用3.1由归纳产生猜想在数学分析中的应用例1求，()．归纳若，则，，，，，，，若，则，，，，，，即当时，增大，也随之增大，且逐渐趋近于1;当时，增大，随之减小，且逐渐趋近于1．猜想．证明1）当时，且．所以只需证明．令，则，且，即，所以，即．2）当时，，所以，，综上可知，猜想正确，即．例2设，．证明存在并求．归纳因，且，，．猜想数列单调下降有下界1．证明显然有，故由（平均值不等式）可得，数列有下界1，又由（）可知，数列单调下降，故由单调有界原理得，存在．设，在等式，两边取极限得，．解得，（舍去），所以．例3求函数在处任意阶导数的值．归纳因当时，．当时，，即．当时，． 当时，，其中表示的6次多项式．即，猜想，证明因当时，，当时，，即，假设，则当时，．例4证明：任意一个面积为1的凸四边形的周长及其两条对角线的长度之和不小于．猜想先考虑面积为1的正方形，其周长恰好为4，对角线之和为即．其次考虑面积为1的菱形．若记它的两对角线分别为、，则其面积，故，菱形周长：．进一步猜想，对一般的凸四边形而言，也可将其周长和对角线长度和分开考虑．图3凸四边形．证明设ABCD为任意一个面积为1的凸四边形，则记与其有关线段和角标如图所示，即，所以，即对角线长度之和不小于．又，故，即其周长不小于4．3.2由直观产生猜想在数学分析中的应用例5设，求．猜想由于的每项因数都是真分数，因此从直观形式上猜想，．证明因（由于）．故，即．由迫敛性定理得．例6设且，试求的值．猜想每一项都收敛于，因此从直观形式上猜想，．证明1）若，由于．（1）一方面，由算术平均收敛定理知， ． （2）另一方面，可由和数列极限的四则运算法则知，．故，（3）由（1）—（3）及两边夹定理得，2）若，由于．由算术平均收敛定理及两边夹定理得．例7设，求和式的值．猜想通过观察发现，待求式中自变量呈对称，有的关系，猜想如果自变量的和是1，那么它的函数值之和必为一个常数．证明由题目，其中有500个函数相加，所以，即和式所求之和为500．3.3由类比产生猜想在数学分析中的应用例8已知是次多项式，证明：．类比所证的等式右边是和式，且有出现，这可以与泰勒公式进行类比．猜想利用泰勒公式来证明所证的等式．证明由于是次多项式，其在处泰勒公式的形式应为：．于是．例9已知在上有连续的导函数，证明：1），使有;2）又若，则．类比所证式的1）不等式形式与拉格朗日公式类比．猜想用拉格朗日公式证明．证明1）对（假设），在上满足拉格朗日中值定理，由已知，在闭区间上连续，因此使，故．2）由可得，．例10求．类比所求的极限与已知的一个极限，进行类比．猜想所求极限的结果也为1，证明方法与类似．证明因，故令（其中），从而．即．由迫敛性定理得，，从而．例11求级数的和．类比所求的数项级数与下面的幂级数类比：，猜想先求出上述幂级数的和函数，在令，得到所求幂级数的和．证明设，则在内收敛．所以，从而，故．又的幂级数展开式在处收敛，所以．例12设在上连续，在上可导．证明：存在使得．类比将所证的形式与拉格朗日公式类比．猜想用拉格朗日公式来证明．证明令，由拉格朗日中值定理知存在使得，，即，即猜想成立．结束语本文对数学分析中猜想的思想进行了分类总结，针对每一种猜想方法的独特的解题技巧进行了总结，并利用数学分析中的实例对这些猜想思想的应用进行了具体展示，其中例1到例4对归纳法产生的猜想进行应用，归纳法产生猜想是观察所求函数的形式，归纳猜想出结果然后进行证明的过程；例5到例7对直观法产生的猜想进行应用，直观法产生猜想是通过观察所求，认真观察每一项的特征推测猜想出结果进而进行证明；例8到例12是对类比法产生猜想的应用，类比法产生猜想是从题目出发推出其他方面，用自己熟悉或者简便的方式间接得证明出结论．总而言之，通过对这三种方法的应用举例，更加详细地阐明了猜想的方法对数学分析解题产生的重要影响，不仅给我们解题提供了直接思路，还简化了解题难度，将难题化身为自己熟悉的简单题，进而求解．通过对猜想思想的举例运用展现了猜想思想在数学分析中的独特魅力，本文只是总结出了数学分析中猜想的部分思想，在数学分析解题时还有更多猜想的思想等着我们去探索．参考文献[1]汪树成．数学思想方法的一支奇葩[J]．甘肃省渭源县五竹中学校报，2009（1）：39-42．[2]名廷桥．数学猜想及其教学策略[J]．湖北师范学院学报（自然科学版），