有限元讲义-6-动力分析有限元

《有限元》讲义PAGEPAGE17第6章结构动力分析有限元法此前述及的问题属于静力分析问题，即作用在结构上的荷载是与时间无关的静力。由此求得的位移、应力等均与时间无关。实际工程中的大部分都可简化成静力问题。但当动载与静载相比不容忽略时，一般应进行动力分析。如地震作用下的房屋建筑，风荷载作用下的高层建筑等，都应计算动荷载作用下的动力反应。研究课题中以动力问题为主。解决动力问题有两大工作要做：一是动荷载的模拟和计算，二是结构反应分析。本章将讨论如何用有限元来解决动力计算问题。6.1结构动力方程一．单元的位移、速度和加速度函数设单元的位移函数为；6—1—1式中：单元位移函数列阵、结点位移函数列阵均是时间t的函数。由6-6—1—26—1—3二．单元的受力分析设图示三角形单元，当它处于运动状态时，其上的荷载一般应包括：单元上的荷载；单元对结点的作用力,单元内部单位体积的：惯性力：6—1—4阻尼力（设正比于运动速度）：6—1—5干扰力（已知的条件）：根据达朗贝尔原理，上述四力将构成一瞬时平衡力系，使单元处于动平衡状态。为此寻求四者之间的关系；三．结点力与结点位移、速度和加速度之间的关系用虚功原理推导：令单元结点发生任意可能的虚位移，它满足单元所定义的位移场，即虚位移场成立。作用在单元上的外力所作的外力虚功：单元内部应力在由于虚位移所引起的虚应变上所做的内力虚功：根据虚功原理（T=W），若将惯性力，阻尼力用上面的6—1—4，6—1—5代替，得：由于虚位移的任意性，可从等式两边各项中消去，得：简写为：6—1—6式中：单刚（第一项为弹性恢复力）单元阻尼矩阵（第二项为阻尼力）质量矩阵（第三项为惯性力）包括由作用在单元上的干扰力转化成的等效结点荷载6—1—6即为单元结点力之间的关系式。四、结构的动力方程有了上述单元力关系式，象在静力问题中对每个结点建立平衡方程一样，根据达朗贝尔原理，对每个结点建立动平衡方程后，即可得到结构的动力方程组：6—1—7式中：分别为总质量、总阻尼、总刚度矩阵。为外力（结点力），实为干扰力（当不考虑静载时）当不计阻尼影响时，上式成为：6—1—8若干扰力为零，得：6—1—9即结构的无阻尼自由振动微分方程组。由此可求得结构的自振特性（频率，振型）。由上可见，动力问题首先要解决及的形成和方程组的求解问题，下面逐一加以讨论。6.2单元质量矩阵和单元阻尼矩阵由于单元质量矩阵表达式中包含了推导单元刚度矩阵时相同的形函数，因此常将按此式形成的称为协调质量矩阵（或一致质量矩阵），下面对此讨论。一、几种常见的协调质量矩阵梁单元（如图）设梁单元位移函数：式中形函数设单元的质量沿梁的长度方向均匀分布，则有：6—2—1二、集中质量矩阵从上可知，单元的协调质量矩阵和单刚具有相同的阶数，因此，从总质量矩阵的阶数也与总刚相同。或者说采用协调质量矩阵后，结构的振动自由度和结构的静力自由度是相同的，动力问题的这种做法，其求解是很费时的：形成质量矩阵的工作量等同于总刚特征值的求解但是工程实际和试验证明，在某种干扰力作用下，结构的动力反应是有明显主次之分的。因为工程上通常把单元的分布质量集中到各结点而成为集中推聚质量，这样可使问题得到很大简化，且计算经验表明，二者给出的计算精度相差无几（如果小而重的物体放置在一个轻型结构的结点上集中质量公式是近乎精确的）质量集中按静力等效原则，且常忽略转动惯量的影响，上述各单元的质量矩阵简化为：梁单元：常应变三角单元：矩形薄板单元：由此可见，采用集中质时，集中质量即采用“就近堆积”的原则。三、阻尼矩阵在结构动力分析中，较多采用的是粘滞阻尼理论，即假定阻尼力与速度成正比，由此得到单元的阻尼矩阵：①这样做，可给方程组的求解带来方便。但这个假定并不能很好的符合结构的实际情况。因此在实际应用中也常采用M和K的线性组合：②或③也可写成更一般的形式：④当取S=0、1两项时，即为式②式中系数由下式假定：由于阻尼矩阵依赖于质量矩阵和刚度矩阵，故可通过、而获得。6.3结构的自由振动和特征值问题一、特征值方程这是一个大家都很熟悉的问题，故着重讨论程序设计上的一些处理方法。结构作无阻尼自由振动的微分方程：6—1—9设结构作简谐振动：将其代回6—1—9得：求解特征方程6—3—1，即可获得几个运动自由度所对应的频率和振型。还有另一种求特征值的频率方程：由结构力学可知，如果从质点的位移方程出发，建立运动方程（柔度法）则n阶自振方程：相应频率方程：6—3—2式中：—柔度矩阵；；—n阶单位矩阵。解此方程亦得到上述相同结果。特征方程的解法很多（迭代法、雅可比、子空间），但无论哪种方法，也不管是6—3—1或6—3—2，对一个大型结构系统来说，如果它的的运动自由度与静力自由度一致的话，其求解是很费时的。工程实际应用中，所要求的运动自由度远小于静力自由度。二、特征值方程求解方法如图示刚架，在水平地震力作用下，我们通常只取各楼层的水平位移为运动自由度，即对该结构来说静力自由度为72，而运动自由度仅6。在运动方程6—1—7里，如果只取与运动自由度有关的位移分量，则可使求解大为简化。此时。可将n阶自由度体系的运动方程改为：6—3—3式中小标E代表只与振动自由度有关的位移分量。从包含运动全部自由度的运动方程6—1—7中分离出只包含运动自由度的运动方程6—3—3，常称为凝聚或缩减。凝聚可采用多种办法：自由度编号分块法（王志楷《高等结构力学》）在形成总刚时，人为地将与运动自由度相应的位移分量排在一起，而将其余自由度另放一起，设与质点运动自由度有关的位移分量为，则总刚可写成如下分块形式：①②因，由①得③将③代入②得简写为式中在房屋建筑结构抗震问题中又称为抗侧刚度矩阵（只含楼层水平位移）此法缺点，带宽大（近乎满阵），存多个矩阵，多矩阵乘，甚大。故只适宜于小问题，研究性问题。书：ConceptsandApplicationsofFiniteElementAnalysisR.D.cook86.21R.D.3分块有程序，并言可不分别编号亦能凝聚2.根据质量矩阵中主元为零的信息，在解方程中直接加以处理（特殊的解频率方程的方法，通常只用于自由振动）3．模态综合法（子结构法用于动力计算）4．直接形成与相应的柔度矩阵这是较好的一种方法，在结构抗震的弹性分析中较多采用。其思路是，根据柔度中柔度系数的物理意义（单位力作用下的位移）可分别在各质点加水平单位力，逐一求出其与运动自由度对应的位移，从而获得。仍以上例为例，其为：式中表示当质点j作用一单位水平力时，质点i所在结点的水平位移。由于求时，总刚已经分解，将每个单位力作为一组独立工况，可很快解出其位移列阵。从中挑出与质点水平位移有关的分量即可组成。计算工作量小，不需附加数组，程序简单，见subroutineDZL()。可由直接代入频率方程求解，也可对求逆得出抗侧总刚形成柔度矩阵的程序段：DO30I=1,MA动力自由度数DO10J=1,NN 未知量总数10P（J）＝0 右端项P（JW（I））＝1只分解加相应单位力CALLJFC（NN，LD，2）解方程DO20J＝1，MA20A（J，I）＝P（JW（I））柔度矩阵30CONTINUE6.4地震反应分析的计算机方法——振型分解反应谱法上节介绍的求解结构自振特性是结构动力分析中很重要的一步。但在工程应用中常需动力反应分析。如地震反应分析。地震反应分析通常采用两种方法：反应谱法和时程分析法（直接积分法）。我国抗震规范提供了三种计算动力反应的方法：底部剪力法、振型分解反应谱法和时程分析法。底部剪力法是一种简化的手算方法。故本次课介绍两种方法。－、振型分解法概念振型分解法是利用振型的正交性，将原来的n阶联立方程①6-4-1李P264~35分解成相互独立的振动方程，把结构的复杂振动，分解成按各个振型的独立振动的叠加，也可理解成把结构结点位移列矢量表达成：②6-4-2式中为上节求得的振型矩阵，称为振型坐标，或广义坐标。将②代入①并利用振型的正交条件：（阻尼亦满足正交条件）便可将式①化为n个独立非耦联的微分方程：③6-4-3若引入记号：第j振型的广义质量…………广义刚度系数………广义阻尼系数则可化成一般形式的单质点振动力方程：④6-4-4李P78式中为第j振型的振型参与系数为第j振型阻尼比省去上式中的下标j，并将右端项换成，便得常见单质点振动微分方程形式。⑤它的解可用杜哈美积分表示：6-4-5>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>二．地震反应谱概念（思路）反应谱理论创立于1940年代，它考虑了结构动力特性与地震动特性之间的动力关系。通过反应谱来计算由结构动力特性（周期、振型和阻尼）所产生的动力效应。反应谱方法基于以下假定（水平振动）假定地震时建筑物的地基只作平行于地面的刚体运动；假定地面运动过程可以用强震仪记录来表示；假定建筑物是弹性体系。这样，就可以利用仪器所记录的地面加速度时程曲线，按振型分解的方法将建筑物在地震作用下的强迫振动化为一系列单自由度体系问题。由6-4-5式，通过数值积分方法便可计算出任何一个频率为，阻尼比为的单质点体系在给定加速度影响下的相对位移反应曲线。在相同作用下，不同的单质点反应各不相同，即各自反应曲线的峰值和频率特性也各不相同，取哪一条呢？好在设计中最关心的往往是最大反应。阻尼比一定时，对于不同的自振周期T（频率）都可以找出相应最大位移反应。于是，对于每一个地震加速度记录（）都可以算出一组以为参数的与周期T之间的关系曲线，这就是我们常说的位移反应谱。工程设计中，一般都采用地震作用（荷载）的概念也就是通过荷载来计算结构的内力。为了计算地震荷载，还要涉及到速度和加速度反应谱，以及这些反应谱之间的关系。最后我们便可以计算出地震作用时在单质点体系上的最大惯性力，即地震作用力。式中：，地震系数，即以重力加速度g为单位的地面运动最大加速度。，动力系数，即以地面最大加速度为单位的加速度反应谱。，地震影响系数。我国抗震规范提供了地震影响系数曲线。规范规定，与自振周期、场地类别等有关（见下面图）对于多自由度体系，即可利用反应谱，查得对应于各振型的绝对最大值的地震反应，得到简化的地震作用计算公式。>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..直线下降段的下斜率调整系数。且阻尼调整系数且阻尼比，建筑结构的阻尼比应取0.05。§5.1.5条。特征周期。按表5.1.4-2取值特征周期值（s）设计地震分组场地类别ⅠⅡⅢⅣ第一组第二组第三组0.250.300.350.350.400.450.450.550.650.650.750.90原分近、远震三．地震作用计算对于多自由度体系，即可利用反应谱，查得对应于各振型的绝对最大值的地震反应，从而得到简化的地震作用计算公式（规范公式）规范给出第j振型i质点上的水平地震作用标准值抗规P31式中：地震影响系数；震型参与系数；比照P2式振型向量中的元素i（j振型i质点的水平相对位移）质点i的重量（重力荷载代表值P27§5.1.3条）对于第j振型对结构的地震作用效应，可将当作一组静载施加于结构，计算其内力、位移（量值）对于各振型的总作用效应：上式称为平方和开方法（SRSS法），适用于平面问题的计算，当用振型分解反应谱法对结构物体作空间分析，也即考虑结构物的空间扭转效应时，采用完整二次项组合法（COC法）eq\o\ac(○,2)单项地震的扭转效应：（规P33）抗规P33(5.2.3-5)式中：：地震作用标准值的扭转效应；、：分别为j、k振型地震作用标准值的效应，可取前9～15个振型；、：分别为j、k振型的阻尼比；：第j振型与k振型的耦联系数；：k振型与j振型自振周期比；采用COC法应组合前9～15个振型。可进一步解释扭转振型的特点。eq\o\ac(○,3)双向水平地震的扭转效应按扭转耦联振型分解法计算，可取两个正交水平位移和一个转角，共三个自由度计算：式中：、、：分别为j振型i层的小方向、y方向和转角方向的地震作用标准值；、：分别为j振型i层质心在x、y方向的水平相对位移；：j振型i层的相对扭转角；：i层转动半径，可取i层绕质心的转动惯量除以该层质量的商的正二次方根；：计入扭转的j振型的参与系数；6.5时程分析法（直接积分法、步步积分、逐步积分）DirectIntegrationMethodsstepbystep前面介绍的反应谱理论尽管考虑了结构的动力特性，然而它仍然是把地震惯性力当作静力来对待，所求的是一个综合的最大值，所以还只是一种准动力方法。时程分析法是采用地震加速度时程曲线作为输入参数，对结构进行地震反应的时间历程分析，是一种完整的动力分析方法。优点：eq\o\ac(○,1)全面考虑了强震中震动的振幅、频谱和持时三要素。eq\o\ac(○,2)全面考虑了长周期分量对高层的不利影响。eq\o\ac(○,3)可了解到地震过程中结构物的屈服机制和较准确地找出结构的薄弱部位。基本思想：将本来应在任何时刻大都应满足的运动方程的位移矢量简化为只要在时间离散点上满足方程。而在一个时间间隔内，对位移、速度、加速度的关系则采用某种假定。依所取假定不同而有各种不同的积分方法。如假定在一个时间间隔内加速度按线性变化的线加速度法，以线加速度法为基础的法，以及Newmark法等。以下介绍法。一．线加速度法的基本原理因为法是以线加速度法为基础的，故首先介绍其基本原理。在时刻ti到ti+1（ti+1=ti＋Δt）之间，假定ti时刻的质点的地震响应（）是已知的，ti＋1时刻的质点的地震响应（）是待求量。线加速度法假定在每个时间间隔内的加速度呈线性变化。因此，位移对时间的三阶导数应为常数，即：（a）将位移反应y（即前面的D）在时刻开始时展开成泰勒级数：（b）将式（a）代入式（b）得：（c）对求导得：（d）当时，即时程由变化到时，由式（c）得：或写成：（e）由式（d）得：或写成：（f）由式（e）得：（g）将式（g）代入式（f）可得：（h）从式（g）和式（h）可看出，速度增量，加速度增量都可以通过位移增量算出，为了求，我们先讨论单自由度的情况，然后再扩展到多自由度。单自由度体系的运动方程为：（i）在时，式（i）同样成立：（j）式（i）、式（j）相减即得增量动平衡方程：（k）将速度增量的表达式（h）和加速度增量表达式（g）代入上式并整理得：（）式中：等效刚度系数（矩阵）等效荷载系数（矩阵）式（）叫增量拟静力平衡方程，据此可算出（因为步长及、等均为已知），再由式（h）、（g）计算出、，于是得到了、和。重复以上过程便可以得到各时刻的地震反应。这便是用线性加速度法计算地震反应的基本原理。对于多自由度体系，也可以用同样的办法来逐步计算。二．法法（法）象上面介绍的线加速度法一样，仍是假定在每个时间间隔内的加速度按直线规律变化，所不同的只是将时间间隔延伸到。所以此法又叫作修正的线加速度法。上述线加速度法是有条件稳定的，而法是无条件稳定的。法的公式推导过程与前面线加速度法基本相同，因此我们这里（6-3-3）式为基础直接给出多自由度体系的迭代步骤和相应公式：（6-3-3）（1）形成等效刚度矩阵：（2）位移、速度、加速度和右端顶项赋初值：（3）形成等效荷载列阵：（4）解方程：（5）计算加速度增量：时间步长为时：正常步长时：（6）时刻的反应：位移反应：速度反应：加速度反应：在上述数值计算