2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区五校联考九年级(上)期中数学试卷-附答案详解

第=page22页，共=sectionpages22页第=page11页，共=sectionpages11页2021-2022学年江苏省苏州市姑苏区五校联考九年级（上）期中数学试卷关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是A. B. C. D.下列四个函数中，图象的顶点在轴上的函数是A. B.

C. D.方程的解为A.， B.，

C.， D.，如图，在中，，，则下列结论中正确的是

A. B. C. D.若关于的一元二次方程有一根是，则的值是A. B. C. D.根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是A. B.

C. D.如图，在一笔直的海岸线上有相距的，两个观测站，站在站的正东方向上，从站测得船在北偏东的方向上，从站测得船在北偏东的方向上，则船到海岸线的距离是．

A. B. C. D.如图，为坐标原点，边长为的正方形的顶点在轴的正半轴上，将正方形绕顶点顺时针旋转，使点落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式为

A. B. C. D.一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面已知球门高是，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是A. B. C. D.如图，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图是关于的函数图象，则图象上最低点的坐标可能为

A. B. C. D.二次函数图象的对称轴是直线______．已知方程的两根分别是和，则的值为______．某商品进货价为每件元，售价每件元时平均每天可售出件，经调查发现，如果每件降价元，那么平均每天可以多出售件，若想每天盈利元，设每件降价元，可列出方程为______．将抛物线的图象绕坐标原点旋转所得的新的抛物线的解析式为______．若点，，都在抛物线上，则、、大小关系为______用“”连接．如图，在由边长为的小正方形组成的网格中．点，，，都在这些小正方形的格点上，、相交于点，则的值为______．

将正方形沿虚线其中剪成，，，四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则______．

如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，轴，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，已知与之间的函数关系如图中的曲线段、线段与曲线段以下说法正确的是______填序号

点的运动速度为；

点的坐标为；

线段段的函数解析式为；

曲线段的函数解析式为；

若的面积是四边形的面积的，则时间或．

计算：．

解方程

；

．

在中，，，，分别是，，的对边．

已知，，求；

已知，，求．

已知是关于的一元二次方程．

求证：方程总有两个不相等的实数根；

若方程的两个实数根为，，且，求实数的值．

如图，在中，，的垂直平分线与，分别交于点和点，且．

求的度数．

求结果保留根号．

先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式的最小值．

解：

的最小值是．

求代数式的最小值；

求代数式的最大值；

某居民小区要在一块一边靠墙墙长的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？

已知关于的方程．

若该方程有一根为，求的值及方程的另一根；

当为何值时，方程仅有一个根？求出此时的值及方程的根．

把抛物线：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线．

求抛物线的函数关系式；

动点能否在抛物线上？请说明理由；

若点，都在抛物线上，且，比较，的大小，并说明理由．

如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，已知．

求的值和直线对应的函数表达式；

为抛物线上一点，若，请直接写出点的坐标；

为抛物线上一点，若，求点的坐标．

如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点．

求抛物线的解析式和的值；

在轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；

轴上有，两点在的左侧，且，若线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值结果保留根号．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键利用一元二次方程的定义判断即可求出的值．

【解答】解：由关于的方程是一元二次方程，得到．

故选B．

2.【答案】

【解析】解：、二次函数，顶点的横坐标，故本项错误；

B、二次函数，顶点的横坐标，故本项错误；

C、二次函数，顶点的横坐标，故本项错误；

D、二次函数，顶点的横坐标，故本项正确；

故选：．

根据二次函数的性质，图象的顶点在轴上，则顶点的横坐标，根据题意，计算出即可解答．

本题主要考查了二次函数的性质，应熟记二次函数的顶点坐标公式，本题读懂题意是关键．

3.【答案】

【解析】解：，

，

则，，

，，

故选：．

首先直接开平方可得一元一次方程，再解即可．

此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

如果方程化成的形式，那么可得．

4.【答案】

【解析】解：在中，，，

设，则，故AB，

故，故A选项错误；

，故B选项错误；

，故C选项错误；

，故D选项正确；

故选：．

分别利用未知数表示出各边长，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．

此题主要考查了锐角三角三角函数关系，正确记忆边角关系是解题关键．

5.【答案】

【解析】解：把代入方程得，

所以．

故选：．

把代入方程得，然后利用代数式变形得到的值．

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

6.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了估算一元二次方程的近似解，关键是观察表格，确定函数值由负到正或由正到负时，对应的自变量取值范围．

观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间．

【解答】

解：由图表分析可知，时，．

故选B．

7.【答案】

【解析】解：过点作于点，

根据题意得：，

，

，

，

，

在中，

．

船到海岸线的距离是．

故选：．

过点作于点，然后根据含度角的直角三角形的性质即可求出答案．

本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

8.【答案】

【解析】解：如图，作轴于点，连接，

正方形绕顶点顺时针旋转，

，

，

，

，

，

，

，

，

点坐标为，

设抛物线的解析式为，

代入得，

．

故选：．

过点向轴引垂线，连接，可得的长度，进而得到点的坐标，代入二次函数解析式即可求解．

本题考查用待定系数法求函数解析式，关键是利用正方形的性质及相应的三角函数得到点的坐标．

9.【答案】

【解析】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为，

将代入解析式得，

抛物线解析式为，

当时，，，满足题意，

故选：．

建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求对应的的值．

本题考查二次函数的实际应用，建立直角坐标系构建二次函数模型是解题关键．

10.【答案】

【解析】解：如图，连接，设正方形的边长为，则．

，，

、关于对称，

，

，

当、、共线时，的值最小，如下图：

在中，，

的最小值为，

点的纵坐标为，

，

，

，

，

点的横坐标为，

．

结合选项可知，当时，点的坐标为

故选：．

连接由、关于对称，推出，推出，推出当、、共线时，的值最小，设正方形的边长为，则，，分别求出的最小值，的长即可解决问题．

本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

11.【答案】

【解析】解：二次函数，

该函数的对称轴是直线，

故答案为：．

先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴．

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

12.【答案】

【解析】解：、是方程的两根，

，，

．

故答案为：．

根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论．

本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．

13.【答案】

【解析】解：设每件应降价元，

由题意，得．

故答案是：．

设每件降价元，根据题意列出方程，即每件的利润销售量总盈利，从而列出方程．

考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解销售量、销售利润之间的关系．

14.【答案】

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点关于原点的对称点为，

抛物线的图象绕坐标原点旋转所得的新的抛物线的解析式为．

故答案为．

求得抛物线的顶点坐标，根据旋转的性质得到旋转后的抛物线的顶点坐标，进而即可求得新的抛物线的解析式．

本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

15.【答案】

【解析】解：函数的解析式是，

开口向上，对称轴是直线，

关于对称轴的对称点，

，

．

故答案为：．

先求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．

本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性．

16.【答案】

【解析】解：过点作，垂足为，

在中，，

由网格可知，是等腰直角三角形，因此是等腰直角三角形，

，

由可得∽，

，

，

在中，，

故答案为：．

通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，求出，再根据∽的相似比为：，根据勾股定理求出的长，从而求出，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．

考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．

17.【答案】

【解析】解：如图，由拼图前后的面积相等得：，

，

，

，

，

，

，

因为，整理得：，

解得：或负值不合题意，舍去．

故答案为：．

已知中的和，和形状大小分别完全相同，结合图中数据可知能拼成一个直角三角形，能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形，利用拼图前后的面积相等，可列：，整理即可得到答案．

本题主要考查了图形的剪拼，此题与平时训练的题正好逆过来，要求由正方形变成矩形，逆向思维．难点是求：“”的值，学生平时没有做过这种类型，丢分率高．

18.【答案】

【解析】解：由题意可得出：当秒时，的面积的函数关系式改变，则在上运动秒，

当秒时，，此时的面积为，

为，

点的运动速度为：，故正确；

当运动到秒时，函数关系式改变，则，

，

可求出，

；故错误；

当点在上时，如图，于点，

，故正确；

如图，，，过点作于点，

则，

，

即曲线段的函数解析式为：；故正确；

，

，

当时，，时，或舍弃，

当时，；；

解得或舍弃，

综上所述：或，的面积是四边形的面积的故错．

故答案为：．

结合函数图象得出当秒时，，此时的面积为，进而求出为，即可得出点的速度，进而求出的长即可，进而判断；过点作于点，根据三角形的面积公式可表达此时的，进而判断；画出图形可得出，，则，求出即可面积可判断；首先得出的面积，分两种情形分别列出方程即可解决问题进而判断．

此题主要考查了动点问题的函数图象以及三角形，面积求法和待定系数法求函数解析式等知识，具体的关键是学会以分类讨论的思想思考问题，学会理由方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

19.【答案】解：

．

【解析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握绝对值、特殊角的三角函数值、平方、二次根式等考点的运算．

20.【答案】解：；，

，

或，

解得，；

，

，

，

或，

解得，．

【解析】方程利用因式分解法求解即可；

方程利用因式分解法求解即可．

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

21.【答案】解：，

；

，

，

．

【解析】根据求值，再根据特殊锐角的三角函数值得出答案；

根据锐角三角函数的定义求出的值，再根据勾股定理求出答案即可．

本题考查特殊锐角的三角函数值，勾股定理，理解锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的关键．

22.【答案】证明：

，

，

，即，

方程总有两个不相等的实数根；

解：根据题意得，，

，

，

，

整理得，解得，，

即的值为或．

【解析】先计算判别式，再进行配方得到，然后根据非负数的性质得到，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；

根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式由得，则，然后解关于的方程即可．

本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．

23.【答案】解：连接．

垂直平分线段，

，

，

，

，

，

，

，

．

设，则，，，

．

【解析】首先证明，再证明即可解决问题．

设，则，，，推出即可解决问题．

本题考查解直角三角形，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用线段的垂直平分线定理解决问题．

24.【答案】解：，

，

，

则的最小值是；

，

，

，

则的最大值为；

由题意，得花园的面积是，

，

，

的最大值是，此时，

则当时，花园的面积最大，最大面积是．

【解析】多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于，即可求出最小值；

多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于，即可求出最大值；

根据题意列出关系式，配方后根据完全平方式恒大于等于，即可求出最大值以及的值即可．

此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

25.【答案】解：将代入方程，

解得：．

将代入原方程得，

解得：，．

，方程的另一根为．

当时，方程为，

解得：；

当时，由得，

解得：或．

当时，原方程为：，

解得：；

当时，原方程为：，

解得：．

【解析】此题考查一元二次方程根的判别式，以及探讨方程有一根的两种情况：一元一次方程和一元二次方程有两个相等的实数根．

把代入方程，求出的值，再把代入原方程，进一步解方程即可；

分两种情况探讨：当时，为一元一次方程；当时，利用求出的值，再代入解方程即可．

26.【答案】解：，

把抛物线：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线：，即，

抛物线的函数关系式为：．

动点不在抛物线上，理由如下：

抛物线的函数关系式为：，

函数的最大值为，

，

动点不在抛物线上；

，理由如下：

抛物线的函数关系式为：，

抛物线的开口向下，对称轴为直线，

当时，随的增大而增大，

点，都在抛物线上，且，

．

【解析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；

根据二次函数的最大值即可判断；

根据二次函数的性质可以求得与的大小．

本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律．

27.【答案】解：将代入，化简得，，

则舍或，

，

．

，

设直线的函数表达式为，

将代入，，可得，

，解得，，

直线的函数表达式为．

如图，过点作，设直线交轴于点，将直线向下平移个单位，得到直线．

由得直线的表达式为，

直线的表达式为，

联立，解得，或，

，

由直线的表达式可得，

，，

直线的表达式为：，

联立，

解得，，或，，

，，；

综上可得，符合题意的点的坐标为：，，；

如图，取点使，作直线，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，

则是等腰直角三角形，

，

≌，

，．

设，则，

由，则，

，解得．

，又，

直线对应的表达式为，

设，代人，

，整理得．

又，则．

【解析】把点坐标直接代入抛物线的表达式，可求的值，进而求出抛物线的表达式，可求出点的坐标，设直线的表达式，把点和点的坐标代入函数表达式即可；

过点作直线的平行线，联立直线与抛物线表达式可求出的坐标；设出直线与轴的交点为，将直线向下平移，平移的距离为的长度，可得到直线，联立直线表达式与抛物线表达式，可求出点的坐标；

取点使，作直线，过点作