2024学年重庆市重点中学高二数学上学期10月考试卷及答案解析VIP

学年重庆市重点中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知直线过点且与直线平行，则直线一般式方程为（）A. B.C. D.2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）3.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（）A. B.C. D.4.已知空间三点O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为（）A.8 B.4 C. D.5.已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.C或 D.或6.在棱长为的正四面体中，，，则（）A B. C. D.7.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.与a值有关8.已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（）A. B. C. D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.直线，则（）A.点在上 B.的倾斜角为C.的图象不过第一象限 D.的方向向量为10.下列结论正确的是（）A.两个不同的平面的法向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量，则C.若，则点在平面内D.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥体积的最大值是D.当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知点，则直线的倾斜角是______．13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为______．14.如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知直线过点.（1）若直线与垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.16.已知空间中三点，，．（1）若，，三点共线，求的值；（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点．（1）证明：平面ABP；（2）若，求点P到平面BCE的距离．18.如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）．（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；（2）若点，，求的最大值；（3）已知点，是直线上两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由．2024学年重庆市重点中学高二数学上学期10月考试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1.已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】直线的斜截式方程为，则其斜率为，因为直线过点，且与直线平行，所以，则直线的点斜式方程为，即为．故选：B.2.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（）A.（4，0，3） B.（4，0，3} C.（2，2，-1） D.（2，2，-1）【答案】C【解析】【分析】根据向量在向量上投影向量的概念求解即可.【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：C3.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可得到答案.【详解】因为为与的交点，所以.故选：D.4.已知空间三点O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为（）A.8 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出OA，OB的长度和夹角，再用面积公式求出的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O(0，0，0)，A(1，，2)，B(，-1，2)，所以，，，所以，以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为.故选：D.5.已知，，，直线l过点B，且与线段AP相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】画出图形，数形结合得到，求出，得到答案.【详解】如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足，即且，所以．故选：B．6.在棱长为的正四面体中，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将用、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得.【详解】因为，所以，，又因为，则，所以，，所以，，由空间向量的数量积可得，因此，.故选：B.7.如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，E，F分别是BC，CD上点，且BE＝CF＝a(0<a<1)，则D′E与B′F的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.与a值有关【答案】B【解析】【分析】建立坐标系，利用向量的乘积计算出，即可求解【详解】建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，，，故选：B【点睛】本题考查空间向量的垂直的定义，属于基础题8.已知二面角C-AB-D的大小为120°，CA⊥AB，DB⊥AB，AB=BD=4，AC=2，M，N分别为直线BC，AD上两个动点，则最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将二面角放到长方体中，根据二面角的定义得到，根据几何知识得到最小值为异面直线，的距离，然后将异面直线，的距离转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，最后利用等体积求点到平面的距离即可.【详解】如图，将二面角放到长方体中，取，过点作面交面于点，由题意可知，，所以为二面角的平面角，即，因为，分别为直线，上的两个动点，所以最小值为异面直线，的距离，由题意知，，所以四边形为平行四边形，，因为平面，平面，所以∥平面，则异面直线，的距离可转化为直线到平面的距离，即点到平面的距离，设点到平面的距离为，则，，在直角三角形中，，，所以，，，，直角梯形中，，，，因为，，所以，，，，.故选：D.【点睛】方法点睛：求异面直线距离的方法：（1）找出异面直线的公垂线，然后求距离；（2）转化为过直线甲且与直线乙平行的平面与直线乙的距离.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.直线，则（）A.点在上 B.的倾斜角为C.的图象不过第一象限 D.的方向向量为【答案】BC【解析】【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；求出直线的斜率，可得出直线的倾斜角，可判断B选项；作出直线的图象可判断C选项；求出直线的方向向量，可判断D选项.【详解】对于A选项，，所以，点不在上，A错；对于B选项，直线的斜率为，故的倾斜角为，B对；对于C选项，直线交轴于点，交轴于点，如下图所示：由图可知，直线不过第一象限，C对；对于D选项，直线的一个方向向量为，而向量与这里不共线，D错.故选：BC.10.下列结论正确的是（）A.两个不同的平面的法向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量，则C.若，则点在平面内D.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底【答案】ACD【解析】【分析】根据平面向量的法向量垂直判断A，根据直线与平面的关系判断B，根据空间中共面基本定理判断C，由空间向量基本定理判断D.【详解】因为，所以，故A正确；因为直线的方向向量，平面的法向量，不能确定直线是否在平面内，故B不正确；因为，所以，，共面，即点在平面内，故C正确；若是空间的一组基底，则对空间任意一个向量，存在唯一的实数组，使得，于是，所以也是空间一组基底，故D正确.故选：ACD.11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（）A.存在点，使得B.存在点，使得异面直线与所成的角为C.三棱锥体积的最大值是D.当点自向处运动时，二面角的平面角先变小后变大【答案】ACD【解析】【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，向量法证明线线垂直判断A选项；向量法求异面直线所成的角判断选项B；由，求体积最大值判断C选项；向量法求二面角余弦值的变化情况判断选项D.【详解】平面，四边形是正方形，以A为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，由，；对于A，假设存在点，使得，则，又，，解得：，即点与重合时，，A选项正确；对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为，，，方程无解；不存在点，使得异面直线与所成的角为，B选项错误；对于C，连接；设，，当，即点与点重合时，取得最大值2；又点到平面的距离，，C选项正确；对于D，由上分析知：，若是面的法向量，则，令，则，而面的法向量，所以，令，则，而，由从到的过程，由小变大，则由大变小，即由小变大，所以先变大，后变小，由图知：二面角恒为锐角，故二面角先变小后变大，D选项正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知点，则直线的倾斜角是______．【答案】【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案.【详解】由于，故直线的斜率为，因为直线的倾斜角范围为，故直线倾斜角是，故答案为：13.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，点是的中点，点为线段上靠近的三等分点，则点到直线的距离为______．【答案】3【分析】说明两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.【详解】取的中点为，连接，因为为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又底面是矩形，点是的中点，的中点为，所以，以点为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，由，得，所以，点为线段上靠近的三等分点，则，则，所以，，则，，因此点到直线的距离，故答案为：314.如图，在中，，过的中点的动直线与线段交于点，将沿直线向上翻折至，使得点在平面内的射影落在线段上，则斜线与平面所成角的正弦值的最大值为________．【答案】【解析】【分析】首先求出中边，角的正弦与余弦值，以底面点为空间原点建系（如图1），设点，由，得，求出坐标，由得出满足的关系式，从而可得的范围也即的范围，翻折过程中可得，设，，由向量的数量积为0从而得出关于的表达式，求得的范围，再由线面角的正弦值得出结论．【详解】中，根据余弦定理，，根据正弦定理，得，由知，则，如图1，以底面点为空间原点建系，根据底面几何关系，得点，设点，点的投影在轴上，即，由，根据两点间距离公式，可得，整理为．图1图2如图2，在翻折过程中，作于点，则，并且平面，所以平面平面，所以，即，其中．又动点在线段上，设，所以，且．由，得，又因为，对应的的取值为，即，由已知斜线与平面所成角是，所以．故斜线与平面所成角的正弦值的最大值为．故答案为：．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知直线过点.（1）若直线与垂直，求直线的方程；（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由垂直斜率关系求得直线的斜率，再由点斜式写出方程；（2）分别讨论截距为0、不为0，其中不为0时可设为，代入点P，即可求得参数m【小问1详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，则直线的方程为，即；【小问2详解】当截距为0时，直线的方程为；当截距不为0时，直线设为，代入解得，故直线的方程为.综上，直线的方程为或16.已知空间中三点，，．（1）若，，三点共线，求的值；（2）若，的夹角是钝角，求的取值范围．【答案】（1）；（2）且不同时成立.【解析】【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.【小问1详解】由题设，，又，，三点共线，所以存在使，即，可得，所以.【小问2详解】由，由（1）知：当时，有；而，又，的夹角是钝角，所以，可得；综上，且不同时成立.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，，已知侧棱平面ABCD，设点E为棱PD的中点．（1）证明：平面ABP；（2）若，求点P到平面BCE的距离．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）设为的中点,连接,，利用中位线的性质证明四边形是平行四边形，则可得平面.（2）点为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可.【小问1详解】设为的中点，连接,，是的中点，，,且，，四边形是平行四边形，，又平面平面平面.【小问2详解】由于侧棱平面，面，，，则以点为坐标原点,以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图空间直角坐标系,，，，，，，，，，设平面的法向量,则有，即，令,则，点到平面的距离.18.如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案.【小问1详解】因为，分别为，的中点，所以.因为，所以，所以.又，，平面，所以平面.【小问2详解】因为，，，所以，，两两垂直.以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有A0,0,0，，，D0,1,0，，，则，，，.设平面的法向量，则有令，得，，所以是平面的一个法向量.因为，所以直线与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】假设存在